ПроЕктирование устройств фильтрации

 

3 ВИДЫ АППРОКСИМАЦИИ  ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК -  БАТТЕРВОРТА  И ЧЕБЫШЕВА (ИНВЕРСНАЯ)

 

3.1 Общие сведения

 

Задача аппроксимации  состоит в том, что чтобы синтезировать  некоторую функцию частоты, удовлетворяющую  требованиям к АЧХ или ХРЗ  разрабатываемого фильтра. Наиболее удобно функцию частоты представить  в виде ХРЗ, которая выражается формулой (2.1). Для функции фильтрации , входящей в данную формулу, желательны значения, близкие к нулю в полосе пропускания и как можно большие в полосе задерживания, при этом сама в общем случае есть дробная функция.

Функция фильтрации также может быть получена из коэффициента передаточной функции фильтра через следующее соотношение:

 

,

(3.1)

 

где неравномерность в ПП, %.

Известные в инженерной практике способы получения функции фильтрации и, следовательно, комплексной передаточной функции удобно классифицировать по критерию аппроксимации АЧХ:

1. равноволновое (равномерно колебательное) приближение в полосе пропускания и в полосе задерживания;
2. равноволновое приближение в полосе пропускания;
3. максимально плоское приближение в полосе пропускания.

В последних двух случаях  затухание в полосе задерживания монотонно возрастает с удалением  от граничной частоты. В качестве функции фильтрации может использоваться достаточно большое число разновидностей полиномов и дробей, однако наибольшей популярностью на сегодняшний день пользуются аппроксимации Баттерворта, Чебышева прямая и инверсная, Золотарева-Кауэра и Бесселя.

 

 

 

 

3.2 Аппроксимация с помощью  полиномов Баттерворта

 

Широко используемым на практике способом аппроксимации идеализированной характеристики ФНЧ является нахождение ХРЗ с максимально плоским  приближением. Функция фильтрации в  этом случае представляется полиномами Баттерворта:

 

(3.2)

 

Учитывая последнее выражение  и выражение (2.1), приходим к модели ХРЗ фильтров Баттерворта в следующем  виде:

 

(3.3)

 

Если  и _, то дБ, что соответствует потере половины мощности. На рисунках 3.1-3.7 приведены основные частотные и временные характеристики фильтров Баттерворта разных порядков (ХРЗ, АЧХ, ФЧХ, ХГВЗ, ПХ, ИХ).

 

 

Рисунок 3.1 –  Характеристики рабочего затухания  фильтров Баттерворта разных порядков (1-n=3; 2-n=4; 3-n=5; 4-n=6)

 

 

Рисунок 3.2 –  Амплитудно-частотные характеристики фильтров Баттерворта разных порядков (1-n=3; 2-n=4; 3-n=5; 4-n=6)

 

Рисунок 3.3 - Фазочастотные характеристики фильтров Баттерворта разных порядков (1-n=3; 2-n=4; 3-n=5; 4-n=6)

 

 

Рисунок 3.4 –  Характеристики группового времени  запаздывания фильтров Баттерворта  разных порядков (1-n=3; 2-n=4; 3-n=5; 4-n=6)

 

Рисунок 3.5 –  Переходные характеристики фильтров Баттерворта  разных порядков (1-n=3; 2-n=4; 3-n=5; 4-n=6)

 

 

Рисунок 3.6 - Импульсные характеристики фильтров Баттерворта  разных порядков (1-n=3; 2-n=4; 3-n=5; 4-n=6)

 

Анализ частотных характеристик  фильтров Баттерворта показывает следующее.

ХРЗ (АЧХ) имеют монотонно  нарастающий (спадающий) характер в  полосе пропускания (вплоть до частоты  среза) и монотонный характер в переходной области и полосе задерживания. Степень  приближения характеристик к  идеализированным (П-образным) возрастает с увеличением порядка полинома Баттерворта (порядок фильтра). Характеристике на частоте, равной нулю, имеют одинаковое затухание для четного и нечетного  порядков. ФЧХ с увеличением порядка  фильтра все более отличается от линейной, увеличивается её наклон. ХГВЗ монотонно возрастает с приближением к частоте среза, что обусловлено монотонным поведением ХРЗ (АЧХ) в полосе пропускания.

Анализ временных характеристик  говорит о том, что с увеличением  порядка фильтра увеличиваются  длительность переходного процесса и  амплитуда колебаний, уменьшается  размах основного лепестка характеристики при одновременном увеличении длительности по уровню 0,5.

 

3.2 Аппроксимация Чебышева инверсная второго рода

 

При аппроксимации АЧХ  многочленами Чебышева задавалась допустимая неравномерность АЧХ фильтров в  полосе пропускания при помощи параметра  εp . Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра , тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением  

 

,

 

а квадрат модуля АЧХ  представляется в виде:

 

 

 

На рисунках показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода порядка N=4 при   (уровень подавления в полосе заграждения равен )

Рисунок 3.6 - Аппроксимирующая функция фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка

 

Рисунок 3.4 - Квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка

 

Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте   «пропускает» сигнал, т.к. . Близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте «подавляет» сигнал, т.к.           , дБ.

Фильтры Чебышева второго рода целесообразно использовать для полосозаграждающих фильтров с  заданным коэффициентом подавления.