Программирование в пакете MATHCAD: Решение нелинейных уравнений и их систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

 

Учреждение образования «Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

 

Математический  факультет

 

Кафедра вычислительной математики и  программирования

 

 

 

 

 

 

 

ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ПАКЕТЕ MATHCAD:

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И  ИХ СИСТЕМ

 

 

 

К У Р С О В А Я   Р А Б О Т А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель студент группы ####	##########
Научный руководитель к.ф.–м.н., доцент	###########

 

 

Гомель 2012

 

Реферат

 

Курсовая работа 40 страниц, 23 рисунка, 10 источников.

 

Ключевые слова: системы нелинейных уравнений, программирование, простые итерации, рекурсивные вычисления, исследование функции

 

Объект исследования: объектом исследования является система компьютерной математики Mathcad на примере работы решения систем нелинейных уравнений.

 

Цель курсовой работы: получение практических навыков работы в системе компьютерной математики Mathcad на примерах работы решения нелинейных систем уравнений.

 

Выводы: в ходе выполнения данной курсовой работы были получены навыки работы в системе компьютерной математики Mathcad на примерах  решения систем нелинейных уравнений.

 

 

Содержание

 

Введение 4

1 Решение уравнений с одной переменной 6

1.1Постановка задачи 6

1.2Отделение корней 7

1.3Метод половинного деления 7

1.4Метод простой итерации 10

1.5Оценка погрешности метода простой итерации 12

1.6Преобразование уравнения к итерационному виду 13

1.7Решение уравнений методом простой итерации в пакете mathcad 13

1.8Метод хорд 15

1.9Метод касательных 18

2 Методы решения систем нелинейных уравнений 21

2.1Векторная запись нелинейных систем. Метод простых итераций 21

2.2Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений 24

2.3Решение нелинейных систем методами спуска 29

Заключение 36

Список используемых источников 40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Система Mathcad изначально была задумана как система для численных вычислений. Но версия Mathcad 2001 стала настолько «интеллектуальной», что блестяще справляется со множеством аналитических (символьных) вычислений.

Mathcad – это многофункциональная  интерактивная вычислительная система,  позволяющая, благодаря встроенным  алгоритмам, решать аналитически  и численно большое количество  математических задач. Рабочий документ Mathcad – электронная книга с живыми формулами, вычисления в которой производятся автоматически в том порядке, в котором записаны выражения. Отличается простым и удобным интерфейсом, написанием выражений стандартными математическими символами, хорошей двух – и трехмерной графикой, возможностью подключения к распространенным офисным и конструкторским программам, а также к Internet.

Программирование занимает особое место в Mathcad. Для начального обучения изучать его совершенно не обязательно. Возможности Mathcad позволяют решить подавляющее количество задач без  всякого программирования, да к тому же, как правило, несколькими способами. Однако есть класс задач, при решении  которых без программирования не обойтись. Это задачи, в которых  часть документа из нескольких или многих операторов надо выполнить многократно. В таких случаях документ должен состоять из отдельных подпрограмм, объединенных в единую «головную» программу. И в этом случае программирования можно было бы избежать, если бы создатели Mathcad предусмотрели оператор перехода к метке, который есть (был) во многих языках программирования, в частности в FORTRAN.

Mathcad позволяет вводить программы  любой сложности. Образцом достаточно  сложной программы является программа  решения плоской упругопластической  задачи методом конечных элементов.

Программирование в Mathcad чрезвычайно  наглядно и понятно, так как программа  представляет собой последовательность формул. Основные операторы программирования расположены на панели Programming (Программирование), вызываемой щелчком на кнопке Programming Toolbar (Панель программирования) математической панели. Далее программами будем называть не все документы Mathcad, а только те из них, которые написаны с использованием панели программирования.

К важным достоинствам Mathcad относятся  настройка под любой маломальски  известный тип печатающих устройств, богатый набор шрифтов, возможность  использования всех инструментов Windows, прекрасная графика и современный  многооконный интерфейс.

Многие задачи, решаемые с помощью  математических пакетов, сводятся к  решению уравнений – алгебраических, степенных, тригонометрических, к поиску значений неизвестных, превращающих эти уравнения в тождества строго или приближенно. Успех в решении подобных задач зависит не только от мощности соответствующих инструментов, встроенных в Mathcad, но и от знания пользователем их особенностей, нюансов, сильных и слабых сторон.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Решение уравнений с одной переменной

 

Уравнения можно решать различными методами, такими как: метод половинного деления, метод простой итерации, метод хорд, метод касательных. В этой главе рассмотрим подробнее вышеперечисленные методы.

 

1. Постановка задачи

 

Наиболее общий вид нелинейного  уравнения:

                                                 (1.1)

где функция  определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале .

Определение 1.1. Всякое число обращающее функцию F(x) в нуль, называется корнем уравнения (1.1).

Определение 1.2. Число , называется корнем – ой кратности, если при вместе с функцией равны нулю ее производные до –го порядка включительно:

                           (1.2)

Определение 1.3. Однократный корень называется простым.

Определение 1.4. Уравнения и называются равносильными (эквивалентными), если множества решений данных уравнений совпадают.

Нелинейные  уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Определение 1.5. Уравнение (1.1) называется алгебраическим, если функция является алгебраической.

Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения  можно получить уравнение в канонической форме:

                            (1.3)

где – действительные коэффициенты уравнения; – неизвестное.

Из алгебры  известно, что всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один вещественный или два комплексно сопряженных корня.

Определение 1.6. Уравнение (1.1) называется трансцендентным, если функция не является алгебраической.

Определение 1.7. Решить уравнение (1.1) означает следующее:

– установить имеет ли уравнение корни;

– определить число корней уравнения;

– найти значения корней уравнения с заданной точностью.

2. Отделение корней

 

Определение 1.8. Отделение корней – процедура нахождения отрезков, на которых уравнение (1.1) имеет только одно решение.

В большинстве случаев отделение  корней можно провести графически. Для этого достаточно построить  график функции  и определить отрезки, на которых функция имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс.

В сомнительных случаях графическое  отделение корней необходимо подкреплять вычислениями. При этом можно использовать следующие очевидные положения: если непрерывная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков (т. е. ), то уравнение (1.1) имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень;

если  функция к тому же и строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

 

3. Метод половинного деления

 

Пусть уравнение (1.1) имеет на отрезке единственный корень, причем функция на данном отрезке непрерывна (рисунок 1.1).

Разделим  отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая:

– функция меняет знак на отрезке ;

– функция меняет знак на отрезке .

Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного  деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего  корень уравнения.

 

Рисунок 1.1 – К объяснению метода половинного деления

 

Пример 1.1

Решение в пакете Mathcad методом половинного  деления уравнения

 

1. Задание функции:

 

2. Построение графика функции (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – График функции

 

3. Задание функции, реализующей метод половинного деления (Рисунок 1.3). Здесь аргументы функции: – имя функции, – левая и правая координаты концов отрезка; – точность вычисления корня.

 

4. Вычисление значения корня уравнения:

5. Проверка найденного значения корня:

Для рассмотрения процесса нахождения корня уравнения в динамке  необходимо сохранить значение корня  на каждом шаге вычислительной процедуры и построить зависимость значения корня от номера шага. Функция, возвращающая значение корня на каждом шаге метода половинного деления, представлена на рисунке 1.4. Аргументы функции: – имя функции,– левая и правая координаты концов отрезка, –точность вычисления корня.

Рисунок 1.3 – Функция, реализующая метод половинного деления

Рисунок 1.4 – Функция, реализующая метод половинного деления и возвращающая значение корня уравнения на каждом шаге процесса вычислений

 

После создания функции необходимо дополнить описанный выше документ следующей последовательностью  команд.

1. Вычисление матрицы, первый столбец которой содержит номер итерации, второй – значение корня:

2. Визуализация зависимости значения корня от номера шага вычислительной процедуры (рисунок 1.5).

 

Рисунок 1.5 – Зависимость значения корня от номера шага вычислительной процедуры

 

4. Метод простой итерации

 

Заменим уравнение (1.1) равносильным уравнением

.                                                     (1.4)

Пусть – корень уравнения (1.4), а , полученное каким–либо способом нулевое приближение к корню . Подставляя в правую часть уравнения (1.4) , получим некоторое число . Повторим данную процедуру с и получим . Повторяя описанную процедуру, получим последовательность

                                                 (1.5)

называемую  итерационной последовательностью.

Итерационная последовательность, вообще говоря, может быть как сходящейся, так и расходящейся, что определяется видом функции .

Теорема 1.1. Если функция непрерывна, а последовательность (1.5) сходится, то предел последовательности (1.5) является корнем уравнения (1.4).

Действительно, пусть . Перейдем к пределу в равенстве

  .          (1.6)

Условие сходимости итерационного  процесса определяется теоремой о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

 

Геометрическая  интерпретация данного алгоритма представлена на рисунке 1

 

Рисунок 1.6 – К объяснению метода простой итерации

 

Теорема 1.2. Пусть уравнение имеет единственный корень на отрезке и выполнены условия:

1. определена и дифференцируема на .
2. для всех .
3. Существует такое вещественное , что для всех .

Тогда итерационная последовательность сходится при любом начальном приближении

Доказательство. Построим итерационную последовательность вида (1.5) с любым начальным значением . В силу условия 2 теоремы 1.2 все

члены последовательности находятся в отрезке .