Решение транспортных задач методом потенциалов

 

 

 

 

 

Курсовая работа

"Решение  транспортных задач 

методом потенциалов"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С О  Д Е Р Ж А Н И Е:

 

 

 

1. Линейная  транспортная задача – 3 стр.

2. Математическая  модель транспортной задачи –  4 стр.

   3.  Составление опорного  плана – 5 стр.

  4. Распределительный  метод   достижения оптимального          плана – 8 стр.

5. Решение   транспортной  задачи  методом  потенциалов – 11 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Линейная  транспортная задача.

 

Линейные транспортные задачи составляют особый класс задач линейного программирования. Задача заключается в отыскании такого плана перевозок продукции с m складов в пункт назначения  n который, потребовал бы минимальных затрат. Если потребитель j  получает единицу продукции (по прямой дороге) со склада i, то возникают издержки  С _{i j} . Предполагается, что транспортные расходы пропорциональны перевозимому количеству продукции, т.е. перевозка k единиц продукции вызывает расходы k С _{i j}.

Далее, предполагается, что

               

                               

где a_i есть количество продукции, находящееся на складе i, и b_j – потребность потребителя j.

 

Замечание.  

1. Если сумма  запасов   в  пунктах  отправления   превышает  сумму  поданных  заявок  то количество продукции, равное  остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n +1  с потребностью и положим транспортные расходы p_i,n+1 равными 0 для всех i.

2. Если сумма  поданных  заявок  превышает  наличные  запасы то потребность не может быть покрыта. Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным  балансом,  если  ввести  фиктивный пункт отправления m + 1 с запасом и стоимость перевозок из  фиктивного  пункта  отправления  во  все  пункты  назначения  принять  равным  нулю.  

 

 

 

2. Математическая модель  транспортной задачи.

 

                             

 

где x_ij количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j, а С _{i j} издержки (стоимость перевозок со склада i потребителю j).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Составление  опорного плана.

 

Решение  транспортной  задачи   начинается  с  нахождения  опорного  плана. Для  этого  существуют  различные  способы. Например, способ северо-западного  угла, способ  минимальной  стоимости  по  строке, способ  минимальной  стоимости  по  столбцу  и  способ  минимальной  стоимости  таблицы. 

Рассмотрим  простейший, так  называемый  способ  северо-западного  угла. Пояснить  его  проще  всего  будет  на  конкретном  примере:

Условия  транспортной  задачи  заданы транспортной  таблицей.

 

Таблица № 1

 

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы аi
А1	10	8	5	6	9	48
А2	6	7	8	6	5	30
А3	8	7	10	8	7	27
А4	7	5	4	6	8	20
Заявки bj	18	27	42	12	26	125

 

 

Будем  заполнять  таблицу  перевозками  постепенно  начиная  с  левой  верхней ячейки ("северо-западного угла" таблицы). Будем рассуждать  при  этом  следующим  образом. Пункт  В₁   подал заявку    на  18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 48, имеющегося  в пункте  А₁ , и запишем перевозку 18 в клетке (1,1). После этого заявка  пункта  В₁ удовлетворена, а в пункте  А₁  осталось  ещё 30  единиц  груза. Удовлетворим  за  счёт  них  заявку  пункта  В₂ (27  единиц), запишем 27  в клетке (1,2); оставшиеся  3  единицы пункта  А₁  назначим  пункту  В₃. В составе заявки  пункта  В₃  остались  неудовлетворёнными  39  единиц.  Из  них  30  покроем  за  счёт  пункта А₂, чем его запас будет исчерпан, и   ещё  9  возьмём  из  пункта  А₃. Из  оставшихся  18  единиц  пункта  А₃ 12  выделим пункту В₄;  оставшиеся  6  единиц  назначим  пункту  В₅,  что вместе  со  всеми 20  единицами  пункта  А₄  покроет его заявку.  На  этом  распределение запасов закончено;  каждый  пункт назначения   получил  груз,  согласно  своей  заявки. Это  выражается  в  том, что  сумма  перевозок  в  каждой  строке  равна   соответствующему   запасу, а в столбце - заявке. Таким  образом, нами  сразу  же  составлен  план  перевозок,  удовлетворяющий  балансовым  условиям. Полученное  решение  является  опорным  решением  транспортной  задачи:  

 

     

Таблица № 2

 

ПН   ПО	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы аi
А1	10       18	8     27	5      3	6	9	48
А2	6	7	8     30	6	5	30
А3	8	7	10       9	8     12	7       6	27
А4	7	5	4	6	8      20	20
Заявки           bj	18	27	42	12	26	125

 

 

Составленный нами план перевозок, не является оптимальным  по  стоимости, так  как  при  его   построении  мы  совсем  не  учитывали  стоимость   перевозок  С_ij .

Другой способ - способ минимальной  стоимости по строке - основан на том, что мы распределяем продукцию от пункта A_i не в любой из пунктов B_j, а в тот, к которому стоимость перевозки минимальна. Если в этом пункте заявка полностью удовлетворена, то мы убираем его из расчетов и находим минимальную стоимость перевозки из оставшихся пунктов B_j. Во всем остальном этот метод схож с методом северо-западного угла. В результате, опорный план, составленный способом минимальной стоимости по строке выглядит, так как показано  в таблице № 3.

При этом методе может  получиться, что стоимости перевозок C_ij и C_ik от пункта A_i к пунктам B_j и B_k равны. В этом случае, с экономической точки зрения, выгоднее распределить продукцию в тот пункт, в котором заявка больше. Так, например, в строке 2:  C₂₁ = C₂₄, но заявка b₁ больше заявки b₄, поэтому 4 единицы продукции мы распределим в клетку (2,1).

Таблица № 3

 

ПН   ПО	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы аi
А1	10	8	5      42	6 6	9	48
А2	6 4	7	8	6	5 26	30
А3	8	7 27	10	8	7 0	27
А4	7 14	5	4	6 6	8	20
Заявки           bj	18	27	42	12	26	125

 

Способ минимальной  стоимости по столбцу аналогичен предыдущему способу. Их отличие  состоит в том, что во втором способе  мы распределяем продукцию от пунктов B_i к пунктам A_j по минимальной стоимости C_ji.

Опорный план, составленный способами минимальных стоимостей, обычно более близок к оптимальному решению. Так в нашем примере общие затраты на транспортировку по плану, составленному первым способом F₀ = 1039, а по второму F₀ = 723.

Клетки  таблицы, в  которых  стоят  ненулевые  перевозки,  являются  базисными. Их  число должно  равняться   m + n - 1.  Необходимо отметить  также, что встречаются такие ситуации, когда количество  базисных    клеток  меньше  чем m + n - 1. В этом   случае распределительная  задача    называется  вырожденной.  И следует  в  одной  из  свободных  клеток поставить  количество  перевозок  равное нулю. Так, например, в таблице № 3:

m + n - 1 = 4 + 5 - 1 = 8,

а базисных клеток 7, поэтому нужно  в одну из клеток строки 3 или столбца 2 поставить значение “0”. Например в клетку (3,5).

Составляя план по способам минимальных стоимостей в отличии  от плана по способу северо-западного  угла мы учитываем стоимости перевозок C_ij, но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным.

 

 

 

 

 

4. Распределительный   метод  достижения 

 оптимального  плана.

 

 Теперь  попробуем   улучшить план, составленный способом  северо-западного угла. Перенесем,  например, 18  единиц  из  клетки  (1,1)  в  клетку  (2,1)  и   чтобы  не  нарушить  баланса   перенесём   те  же  18  единиц  из  клетки  (2,3)  в  клетку  (1,3). Получим  новый  план. Подсчитав  стоимость  опорного  плана (она  ровняется 1039)  и  стоимость  нового  плана (она  ровняется  913) нетрудно  убедиться,  что  стоимость  нового  плана  на 126  единиц  меньше. Таким  образом,  за  счёт  циклической  перестановки  18  единиц  груза  из  одних  клеток  в  другие   нам  удалось  понизить  стоимость  плана:

 

Таблица №4

 

ПН   ПО	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы аi
А1	10	8     27	5      21	6	9	48
А2	6      18	7	8     12	6	5	30
А3	8	7	10       9	8     12	7       6	27
А4	7	5	4	6	8      20	20
Заявки           bj	18	27	42	12	26	125

 

  На  этом   способе   уменьшения  стоимости   в   дальнейшем  и  будет основан алгоритм оптимизации плана перевозок. Циклом  в транспортной  задаче  мы  будем  называть  несколько занятых  клеток,  соединённых  замкнутой,  ломанной  линией, которая в каждой  клетке  совершает поворот на  90°.

Существует  несколько  вариантов цикла: 

                            

1.)                                  2.)                                  3.)

 

 

 

Нетрудно  убедиться, что  каждый цикл имеет чётное число  вершин   и  значит, чётное  число  звеньев (стрелок). Условимся  отмечать  знаком  + те  вершины  цикла, в  которых  перевозки необходимо  увеличить,  а  знаком - , те  вершины , в которых перевозки необходимо уменьшить. Цикл с отмеченными вершинами будем называть означенным. Перенести  какое-то  количество  единиц груза по  означенному  циклу, это  значит  увеличить  перевозки, стоящие в положительных  вершинах цикла, на  это  количество  единиц, а  перевозки, стоящие  в  отрицательных  вершинах  уменьшить  на  то  же  количество. Очевидно, при  переносе  любого  числа  единиц  по  циклу равновесие  между  запасами  и заявками не  меняется: по  прежнему  сумма  перевозок  в  каждой  строке  равна  запасам  этой  строки, а  сумма  перевозок  в  каждом  столбце - заявке  этого  столбца. Таким  образом, при любом циклическом переносе, оставляющем перевозки неотрицательными  допустимый  план  остаётся  допустимым. Стоимость  же  плана  при  этом  может  меняться: увеличиваться  или  уменьшатся. Назовём  ценой  цикла  увеличение  стоимости  перевозок  при  перемещении  одной  единицы груза по  означенному циклу. Очевидно, цена  цикла  ровна  алгебраической  сумме  стоимостей, стоящих  в  вершинах  цикла, причём  стоящие  в  положительных  вершинах  берутся  со  знаком +, а в отрицательных со  знаком  -. Обозначим цену  цикла  через g. При перемещении одной единицы груза по  циклу стоимость  перевозок  увеличивается  на  величину  g. При  перемещении  по  нему k единиц  груза стоимость перевозок увеличиться на  kg. Очевидно, для  улучшения  плана  имеет  смысл перемещать  перевозки только по тем циклам, цена  которых отрицательна. Каждый  раз, когда нам удаётся совершить такое перемещение, стоимость плана уменьшается  на  соответствующую  величину  kg. Так как перевозки не могут быть  отрицательными,  мы  будем  пользоваться  только  такими  циклами,  отрицательные  вершины   которых  лежат  в  базисных  клетках  таблицы, где  стоят  положительные  перевозки. Если  циклов  с  отрицательной  ценой  в  таблице  больше  не  осталось, это  означает, что  дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план  достигнут.