Технологиия программирования

Технология  программирования.

 

Лабораторная  работа  N  1.

Решение нелинейных  и  трансцендентных  уравнений

 

1.  Разработать   алгоритмы  и  программу  решения  нелинейных  и  трансцендент-     ных уравнений,  приведенных  в  таб. 1.1.

 

2.  Для  каждой  функции  определить  приближенные   значения  корней  уравнений

     и  отрезки,  на  которых сосредоточен  всего  один  корень.

 

3.  Уточнить  значения  корней  уравнений  методами  дихотомии  и Ньютона с точностью EPS=0.0001.  Результаты  работы  отразить в  виде  таб. 1.2. для каждого

метода  по  отдельности. 

 

4.  Заданные  в  п. 1.  функции  отобразить  на  экране  терминала  в  пакете  Maple 9.

 

5.  Решить  уравнения,  используя  команды  пакета  Maple 9.

 

6.  Составить  отчет   по  проделанной  работе.

 

 

 

                                   Таб.  1.1.

Номер Варианта	Номер по порядку	Уравнения
1	1 2 3 4	2x+5*x-3=0 3*x4+4*x3-12*x2-5=0 0.5x-(x-2) 2-1=0 (x-3) cos(x)-1=0, -2p £ x £ 2p
2	1 2 3 4	arctg(x)-1/(3*x3)=0 2*x3-9*x2-60*x+1=0  log[2](-x) *(x+2)+1=0 sin(x+p /3)-0.5*x=0
3	1 2 3 4	5x+3*x=0 x4-x-1=0 x2+0.5x-2=0 (x-1)^2*log[10](x+11)-1=0
4	1 2 3 4	2*exp(x)-5*x-2=0 2*x4-x^2-10=0 x*log3(x+1)-1=0  cos(x+0.5)-x3=0
5	1 2 3 4	3(x-1)-x-2=0 3*x4+8*x3+6*x2-10=0 (x-4) 2*log[0.5](x-3)+1=0  5*sin(x)-x=0
6	1 2 3 4	2*arctan(x)-1/(2*x3)=0 x4-18*x2+6=0  x^2*2x-1=0  tg(x)-x-1=0, -p/2 £ x £ p/2
7	1 2 3 4	exp(-2*x)-2*x+1=0 x4+4*x3-8*x2-17=0 0.5x -(x+2) 2+1=0  x2*cos(2*x)+1=0
8	1 2 3 4	5x-6*x-3=0 x4-x3-2*x*x+3*x-3=0 2x*x -0.5x-3=0 x*log[10](x+1)-1=0
9	1 2 3 4	arctan(x-1)+2*x=0 3*x4+4*x3-12*x*x+1=0  (x-2) 2*2x -1=0  x*x-20*sin(x)=0
10	1 2 3 4	2*arcttan(x)-x+3=0 3*x4-8*x3-18*x*x+2=0 2*sin(x+Pi/3)-0.5x*x+1=0 2*log[10](x)-x*0.5+1=0

 

   

  

                                     Таб. 1.2.       Наименование  метода.

 

N  функции	N  корня	Значение   корня	Значение функции	Кол-во Итераций

 

 

         МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.

 

1. Отделенным считается  корень, если на заданном отрезке  всего один корень.

 

2. Метод   дихотомии  относится к интервальным методам уточнения вещественных корней нелинейных и трансцендентных уравнений. В них заданный отрезок [A,B] делится с коэффициентом  2.  Ниже  дается  алгоритм  метода  дихотомии:

 

      2.0. N = 0 ; А, В, EPS -  вводятся.

      2.1.  С = (A + B)/2 ;  N = N + 1;

      2.2.  Если  ABS(F(C))  <=  EPS ,  то  переход к п . 2.4;

      2.3.  Если  F(A)*F(C) <= 0 ,  то   B=C  и  переход  к  п. 2.1;

                                                 иначе   A=C  и  переход  к  п. 2.1;

      2.4.  Печать  С,  F(С),  N;

      2.5.  Конец.

 

3. Метод  Ньютона (касательных)  использует только  начальную точку c  коорди-натами  [x₀, f(x₀)],  через которую проводится  касательная. Точку пересечения ка-

сательной  с  осью  абцисс [x_1, f(x₁₎] можно считать приближением  к точному значению  корня. Процесс уточнения корня можно продолжить  до  тех  пор, пока

не  выполнится  условие  достижения  корня. Ниже  приводится алгоритм  метода:

     3.0.   N = 0 ; x₀ ,  EPS -  вводятся ;

      3.1.   x_{1 =} x₀  - f(x₀) / f^’(x₀) ; N = N + 1;

      3.2    Если  ABS(f(x₁) < EPS ,  то  переход к  п. 3.4;

      3.3    x₀ = x₁; Переход  к п. 3.1.;

      3.4.  Печать  x_1,  f(x₁), N;

     3.5.   Конец.

 

4. В  пакете  MAPLE  выполнить  следующие  операторы:

    > restart:

    > f 1:= proc(x)

    > evalf( 2*x^4 – 5*x^2-4 ):   # здесь в  скобках  функция  пользователя

    > end;

    >  plot ( f1(x) , x= -5 .. 5, color=red );   #  Рисуем  график  функции

>  solve ( f(x)=0, x);  # Решаем  нелинейное  уравнение

        # всего  должно  быть 4  функций:  f1, f2 ,f3 , f4 

 

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

 

  1. Какие уравнения в задании нелинейные и трансцендентные?

  2. Какой корень уравнения  считается отделенным? Укажите способы  отделения    вещественных корней.

  3. Приведите алгоритмы отделения  вещественных и комплекс ных  корней уравнений.

  4. На какие группы делятся методы уточнения корней?

  5. Что такое сходимоть методов?

  6. Что такое устойчивость  и надежность методов? Перечислите  методы по убыванию надежности.

  7. От чего зависит сходимость  метода итераций? Каков признак  сxодимости?

  8. Какие особенности метода касательных?

  9. Какие модификации метода  Ньютона Вы знаете? Их особенности?

10. Дать сравнительный анализ  методов уточнения корней по  бы стродействию, сходимости и  надежности.

11. Что такое априорная и апостериорная  оценки методов уточ нения  корней?

12. Какова априорная оценка метода  половинного деления?

13. Как можно определить количество  повторяющихся корней в многочленах  n-ой степени?

14. Приведите алгоритм реализации  схемы Горнера для многочленов.

15. Перечислите достоинства и  недостатки исследуемых в лабораторной работе методов уточнения корней нелинейных и трансцендентных уравнений.

16. Перечислите виды погрешностей  вычислений. Что такое сомнительные  и верные цифры числа? Как  вычисляются погрешности суммы,  разности, произведения, частного и возведения в степень чисел?

17. Как определить погрешности  функций одной и многих аргументов  при заданных их   погрешностях?

18. Что такое априорная и апостериорная  погрешности методов вычислений?

19. Как можно определить погрешности  математических моделей?

20. Как вычислить погрешности  округлений результатов?

21. Какую  задачу можно считать корректно  поставленной?

22. Как можно  доказать сходимость(расходимость) метода простой итерации?

23. Какой  подход используется в методе  Линя для уточнения комп лексных корней?

24. В чем  суть метода Бэрнстоу уточнения  комплексных корней?

25. Каков  алгоритм метода Хичкока уточнения  комплексного корня?

26. Приведите сравнительный анализ  результатов расчета по методам,  исследованным в лабораторной  работе.

 

             Лабораторная  работа  N  2

 

            Методы численного интегрирования функции.

 

 ЗАДАНИЕ:

 

1. Методами  численного интегрирования (таб. 4.1 ) найти значения эллиптического  интеграла с точнастями e =1E-2, 1E-3, 1E-5.

2. Подинтегральная  функция:

 

f(x)=1/sgrt(1-(sin(N)^2)*(sin(x)^2)), где

 

 N - порядковый номер студента в журнале;

[A,B]=[1,3].

   3. В  пакете  MAPLE  вычислить  определенные  интегралы  для  четырех   функций,                         приведенных  в  табл. 1.1.  на  [A,B]=[-1, 3].

      

 

 ОТЧЕТ ПО РАБОТЕ:

 

1. Титульный лист.

2. Задание на лабораторную работу.

3. Алгоритм численного интегрирования  функции и текст программы.

4. Результаты численного интегрирования.

5. График зависимости числа  итераций по правилу Рунге  от заданной точности.

6. Анализ результатов численного  интегрирования.

7. Выводы по работе.

 

 

 Таблица 2.1

 

№	Наименование методов
1	левых прямоугольников
2	правых прямоугольников
3	прямоугольников со средней точкой
4	Трапеций
5	Симпсона
6	трех восьмых
7	Ньютона-Котеса четвертого порядка
8	Ньютона-Котеса  пятого порядка
9	Гаусса четвертого порядка
10	Гаусса пятого порядка
11	Гаусса шестого порядка

 

 

 ВЫБОР МЕТОДА:

 

 Первый метод - порядковый  номер студента в журнале по  модулю 11.

 Второй метод - номер первого  метода + 6 по модудю 11.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ:

 

 1. Для достижения заданной точности численного интегрирования функции на [A,B] необходимо воспользоваться правилом Рунге:

 

 ABS(I(x,h)-I(x,0.5*h)) £ e, где

 

 h=(B-A)/N - шаг численного интегрирования;

N - количество разбиений;

I(x,h) - значение интеграла с шагом  h;

I(x,0.5*h) - значение интеграла с  половинным шагом:

 e - точность вычисления численного интеграла.

 

 При выполнении данного условия  знчение интеграла вычислено с точностью e. Если условие не выполнено, то необходимо выполнить:

- присвоить I(x,h)=I(x,h*0.5):

 - определить N=N*2;

- вычислить I(x,h*0.5).

 

 2. Необходимо предусмотреть возможнсть выхода из цикла по максимальному количеству разбиений заданного отрезка.

 

 3. График зависимости числа итераций от точности построить в логарифмическом масштабе для точности.

 

4. В  пакете  MAPLE  определенные  интегралы  определяются следующим  образом:

    >  restart:

    >  f 1:= proc(x)

    > evalf( 2*x^4 – 5*x^2-4 ):   # здесь в  скобках  функция  пользователя

    > end;

    >  plot ( f1(x) , x= -5 .. 5, color=red );   #  Рисуем  график  функции

    >  Int( f1(x), x= -1 .. 3) = int (f1(x), x= -1 .. 3);  # Вычисляем  определенный  интеграл

        #  Повторить  для  четырех функций из  табл.  1.1.

 

 

 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

 

1. В каких случаях требуется  численное интегрирование функции?

 Определенные интегралы.

2. Какие особенности могут возникнуть  при численном интегрировании  функции?

3. Что такое весовая функция?

4. Квадратурные формулы.Что такое  весовой коэффициент?

5. Какие группы методов численного  интегрирования Вы знаете?

6. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. К какому типу методовони относятся?

7. Каким многочленом аппроксимируется  подинтегральная функция в методе Ньютона-Котеса?

8. Преимущества и недостатки  метода Ньютона-Котеса.

9. Свойства коэффициентов Котеса.

10. Ортогональные многочлены. Их  использование при численном  интегрировании функции.

11. Графическое представление ортогональных  многочленов.

12. Рекуррентные соотношения для  ортогональных многочленов.

13. Основная теорема для построения  квадратурной формулы Гаусса-Кристофеля.

14. Разновидности квадратурных  формул Гаусса-Кристофеля.

15. Как определяются узловые  точки в методе Гаусса-Кристофеля?

16. Указать, какой степенью многочлена  аппроксимируется подынтегральная  функция в методе Гаусса-Кристофеля, если взять n-узлов?

17. Составные квадратурные формулы.  Примеры.

18. Преимущества методов открытого  типа перед закрытыми методами.

 

            

               Лабораторная  работа  N 3

       Приближенные методы решения  обыкновенных

                      дифференциальных уравнений.

 

 ЗАДАНИЕ:

 

1. Составить решение задачи  Коши для обыкновенного ДУ  из таб. 3.1 методами из таб.    3.2  на отрезке [0,2;1.2] c точностями e =1E-2,1E-3,1E-4.

 

2. Построить график зависимости  количества итераций от точности  решения eps на терминале.

 

3.  Инструментальными  средствами  пакета  MAPLE  получить  график  интегральной

      функции  при   Y(0)= -1.0,  Y(0)= 0  и  Y(0)= +1.0.  на  [-3.0, +5.0].

 

  ОТЧЕТ ПО РАБОТЕ:

 

1. Титульный лист.

2. Задание и исходные данные  для лабораторной работы.

3. Алгоритм метода решения ДУ  и текст программы.

4. Результаты решения ДУ для  указанных точностей.

5. График зависимости количества итераций от точности.

6. Анализ результатов решения  ДУ.

7. Выводы по работе

 

 Таб. 3.1

№	У р а в н е н и я
1	y'=1+0.2*y*sin(x)-y*y
2	y'=cos(x+y)+0.5*(x-y)
3	y'=cos(x)/(x+1)-0.5*y*y
4	y'=(1-y*y)*cos(x)+0.6*y
5	y'=1+0.4*y*sin(x)-1.5*y*y
6	y'=cos(y)/(x+2)+0.3*y*y
7	y'=cos(1.5*x+y)+x-y
8	y'=1-sin(x+y)+0.5*y/(x+2)
9	y'=cos(y)/(1.5+x)+0.1*y*y
10	y'=0.6*sin(x)-1.25*y*y+1