Цифровая обработка сигналов

 

	-1.652	-1.651	-1.585	-1.461	-1.285	-1.071	-0.831	-0.58	-0.332	-0.1
	0.16	0.431	0.696	0.938	1.144	1.307	1.41	1.461	1.456	1.4
	1.66	1.706	1.731	1.736	1.721	1.687	1.637	1.571	1.493	1.404
	-0.097	-0.256	-0.413	-0.571	-0.727	-0.883	-1.038	-1.193	-1.347	-1.499

 

	0.105	0.275	0.405	0.494	0.544	0.558	0.542	0.504	0.451	0.39
	1.301	1.17	1.016	0.851	0.685	0.529	0.388	0.269	0.173	0.1
	1.306	1.202	1.094	0.984	0.875	0.769	0.667	0.571	0.482	0.403
	1.49	1.34	1.191	1.044	0.9	0.759	0.622	0.49	0.366	0.251

 

	0.328	0.271	0.221	0.18	0.15	0.128	0.114	0.105	0.101	0.1
	0.049	0.017	-0.0003	-0.007	-0.008	-0.006	-0.003	-0.001	-0.0001	0
	0.332	0.271	0.221	0.18	0.15	0.128	0.114	0.105	0.101	0.1
	0.149	0.063	0.001	-0.041	-0.054	-0.046	-0.027	-0.01	-0.001	0

 

Построим  АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра (с использованием программы MathCad).

 

 

4. Найти отклик системы  на последовательность двумя способами:

• непосредственно через уравнение свертки;
• с использованием z-преобразования.

Уравнение свертки  имеет вид:

 

Количество  отсчетов последовательности

 

 – количество отсчетов последовательности

 – количество отсчетов последовательности

 – количество отсчетов последовательности

Таким образом,   

1. Найти отклик системы на конечную последовательность можно с использованием уравнения свертки, непосредственно через формулу:

 

Подставляя в формулу значения соответственно, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление  отсчетов проиллюстрируем графическим  построением свертки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты  расчетов отклика системы на конечную последовательность с использованием уравнения свертки приведены в таблице 2.

Таблица 2.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	-0.3	-0.85	-0.25	0.9	1.3	0.95	-0.1	-1.05	-1	-0.1	0.35	0.15

 

Передаточные функции цифровых фильтров

В соответствии с общим определением передаточных функций линейных стационарных систем передаточной функцией ЦФ называют отношение Z-преобразований выходного и входного сигналов фильтра при нулевых начальных условиях:

 

Вычисляя  Z-преобразование сигнала по разностным уравнениям (1) и (2) для рекурсивного фильтра и преобразуя выражение, можно получить более удобные для использования зависимости для передаточных функций рекурсивных фильтров:

 

Передаточная  функция (13) содержит все те параметры  фильтров, что и разностное уравнение, и поэтому дает полное описание ЦФ. Она определяют собой способ аналитического описания ЦФ в Z-области.

2. Найти отклик системы на конечную последовательность можно с использованием z-преобразования

Одностороннее Z-преобразование:

 

Представим  в виде степенного ряда (в виде полинома по )

 

Z-преобразование импульсной характеристики называется передаточной (системной) функцией .

Таким образом,

 

 

Из свойств Z-преобразования следует, что последовательность имеет Z-преобразование

 

Таким образом, после перемножения полиномов 

 

и   

и после приведения подобных членов можно получить:

 

После проведения преобразований запишем значения отсчетов выходной последовательности в виде общих выражений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты  расчетов отклика системы на конечную последовательность с использованием Z-преобразования приведены в таблице 3.

Таблица 3.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	-0.3	-0.85	-0.25	0.9	1.3	0.95	-0.1	-1.05	-1	-0.1	0.35	0.15

 

Результаты  расчетов отклика системы на конечную последовательность с использованием Z-преобразования и с использованием уравнения свертки совпадают, что говорит о правильности проведенных вычислений. Следовательно, можем построить график последовательности .

 

 

 

 

 

Часть 2

Цифровой  фильтр (ЛПП-система) задается в дискретном времени линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами:

 

1.  Составить структурную схему цепи

Существует  большое количество различных форм реализации рекурсивных и нерекурсивных цифровых фильтров. При построении структурных схем, соответствующих этим формам реализации, используем существующие в теории управления графические обозначения операции задержки, сложения, умножения. Операция задержки (запоминание) отсчетов сигнала на шагов дискретизации обозначается квадратиком с записью в нем величины , операция сложения – кружком со знаком å или + внутри, а операция умножения на константу – треугольником. Передача данных отображается на схемах сплошными линиями со стрелками.

Для рекурсивных фильтров можно выделить 4 основные формы реализации:

• прямая
• каноническая
• каскадная (последовательная)
• параллельная

Рассмотрим  более подробно прямую форму и  составим структурную схему.

Прямая форма (рис. 9.) соответствует непосредственной реализации разностного уравнения (1) или передаточной функции (13).

 

 

 

 

 

 

2. Определить импульсную характеристику дискретной цепи двумя способами
1. Определить импульсную характеристику методом прямой подстановки

ИХ  - это отклик системы на воздействие в виде единичного импульса :

 

Используя это  определение импульсной характеристики разностное уравнение ЦФ

 

можно переписать в виде:

 

В нашем случае

 , при

Необходимо  учесть, что единичный импульс  существует в точке, когда аргумент равен 0.

Чтобы необходимо выполнить нормировку. Для этого разделим каждый из коэффициентов на . Получим соответствующие значения нормированных коэффициентов:

 

 

 

Вычислим 8 отсчетов импульсной характеристики при нулевых начальных условиях:

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты  расчетов импульсной характеристики методом прямой подстановки приведены в таблице 4.

Таблица 4.

	0	1	2	3	4	5	6	7
	1.216	-0.281	-0.69	0.732	0.158	-0.8	0.391	0.492

 

2. Определить импульсную характеристику аналитически

Z-преобразование импульсной характеристики называется передаточной функцией 

Таким образом, импульсная характеристика и передаточная функция связаны между собой парой Z-преобразований (прямого и обратного):