Цифровая обработка сигналов

 

Используя представление  передаточной функции рекурсивного фильтра (16), определим импульсную характеристику как обратное Z-преобразование от передаточной функции

 

Подставляя  значения в формулу (16), получим:

 

Звено называют базовым, если числитель его передаточной функции иначе звено называют не базовым. В данном случае звено является не базовым.

Для не базового звена 2-го порядка импульсная характеристика определяется:

 

где радиус и угол комплексно-сопряженных полюсов в показательной форме:

Значения связаны между собой соотношениями:

 

 

Вычислим  по формуле:

Вычислим по формуле:

Если , то

Если , то

Если , то

Расчет MathCad:

 Результаты расчетов импульсной характеристики представлены в таблице 5.

Таблица 5.

	0	1	2	3	4	5	6	7
	1.216	-0.281	-0.69	0.732	0.158	-0.8	0.391	0.492

 

Где корни уравнения Вычислим эти корни:

 

 

 

     Они являются полюсами системы.

 корни уравнения .

Вычислим  эти корни:

 

 

     Они являются нулями системы.

Общий вид  импульсной характеристики ЛПП-системы 2-го порядка можно получить путем обратного Z-преобразования из (16)

 

Коэффициент определяется по формуле:

 

 

Таким образом, используя полученное аналитическое  выражение (17) вычислим 8 отсчетов импульсной характеристики . Результаты расчетов импульсной характеристики занесены в таблицу 5.

Таблица 5.

	0	1	2	3	4	5	6	7
	1.216	-0.281	-0.69	0.732	0.158	-0.8	0.391	0.492

 

Результаты  расчетов импульсной характеристики дискретной цепи с использованием метода прямой подстановки и аналитически совпадают, что говорит о правильности проведенных вычислений. Следовательно, можем построить график последовательности .

3. Построить график импульсной характеристики

 

 

 

4. Рассчитать АЧХ и ФЧХ цепи, построить графики

Частотные характеристики фильтров

Комплексные частотные характеристики представляют собой функции частоты , полученные в результате подстановки (j – мнимая единица, T – шаг дискретизации по времени решетчатого сигнала) в передаточную функцию (13).

В предположении  нормировки частот дискретизации получаем .

 

Для рекурсивных  фильтров с вещественными коэффициентами справедливы следующие соотношения  для АЧХ и ФЧХ:

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):

 

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ):

 

В формулах (19) и (20) коэффициент .

С учетом того, что частотная характеристика является непрерывной функцией частоты с периодом , для построения графиков АЧХ и ФЧХ вычислим значения на интервале .

Зададим изменяющуюся на интервале с шагом

Расчет АЧХ  и ФЧХ комплексной функции  произведем по формулам (19) и (20) соответственно.

При расчетах использовали программу MathCad. Результаты расчетов приведены в таблице 6.

Таблица 6.

	0.773	0.774	0.775	0.778	0.782	0.787	0.794	0.803	0.813	0.826	0.841
	0	0.035	0.07	0.106	0.142	0.179	0.216	0.255	0.295	0.336	0.379

 

	0.86	0.884	0.91	0.948	0.994	1.052	1.13	1.235	1.385	1.607
	0.424	0.472	0.522	0.575	0.632	0.692	0.757	0.825	0.897	0.972

 

	1.967	2.623	4.131	9.994	10.265	4.002	2.442	1.775	1.417	1.2
	1.046	-2.032	-2.011	0.876	-0.912	-1.185	-1.152	-1.067	-0.968	-0.864

 

	1.058	0.961	0.893	0.844	0.809	0.784	0.766	0.754	0.747	0.745
	-0.762	-0.663	-0.568	-0.478	-0.392	-0.309	-0.229	-0.151	-0.075	0

 

Построим  АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра (с использованием программы MathCad).

5. Построить картину нулей и полюсов передаточной функции , с помощью которой определить:

• область сходимости z-преобразования импульсной характеристики;
• условия устойчивости цифрового фильтра.

Нуль функции значение аргумента , при котором функция обращается в 0, т.е.

Полюс функции значение аргумента , при котором функция обращается в бесконечность, т.е.

Нули и  полюса мы нашли в задании 2.2.2.

 

Полюса системы:                                                                      Нули системы:

                                                           

                                                           

 

 

Система является устойчивой, так как все полюсы расположены внутри единичного круга z-плоскости и область сходимости содержит единичную окружность. 

Часть 3

Нерекурсивный цифровой фильтр имеет импульсную характеристику

На вход системы  подается конечная последовательность .

1. Описать процедуру вычисления Дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ):

• алгоритм БПФ с прореживанием по времени

Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, реализация которых приводит к существенному уменьшению вычислительной сложности ДПФ.

Исходная  идея алгоритма БПФ состоит в  том, что N-точечная последовательность разбивается на 2 более короткие, например на 2 (N/2)-точечных последовательности, вычисляются ДПФ для этих более коротких последовательностей и из этих ДПФ конструируется ДПФ исходной последовательности.

Существуют  различные алгоритмы БПФ:

• алгоритм с прореживанием по времени;
• алгоритм с прореживанием по частоте.

В данной курсовой работе рассматривается алгоритм с прореживанием по времени.

Описание  алгоритма с прореживанием по времени:

 

 

 

 

 

-точечная последовательность ( – количество отсчетов последовательности

 

разбивается на 2 (N/2)- точечные последовательности и , состоящих из четных и нечетных членов соответственно, т.е.

 

 

Таким образом, последовательности и будут иметь вид:

 

 

 

 

 

 

N-точечное ДПФ последовательности

 

где – дискретная комплексная экспонента – поворачивающий множитель.

В данном преобразовании использовано:

(N/2)- точечные ДПФ последовательностей и

- прямое ДПФ для 

 – прямое ДПФ для 

Поскольку определено при , а и определены при , необходимо доопределить формулу (21) для . Это определение достаточно очевидно и может быть записано следующим образом:

 

В данном преобразовании использовано:

Вычисление  по и можно представить в виде:

 

 

Вычисления

     Подставим значения:

;

     Вычислим (N/2)- точечные ДПФ последовательности по формуле:

 

     Вычислим (N/2)- точечные ДПФ последовательности по формуле:

 

     Вычислим  по и :

 

 

На рис. 14. с помощью направленного графа представлена последовательность операций при вычислении восьмиточечного ДПФ с использованием двух четырехточечных ДПФ.

 

 

Введены обозначения:

 

 

 

Незачерненный кружок графа означает операцию сложения/вычитания, причем верхний выход соответствует сумме, а нижний – разности. Стрелка обозначает операцию умножения на значении множителя а, указанного над стрелкой. Входная последовательность сначала разбивается на 2 последовательности и из четных и нечетных членов , после чего рассчитываются их преобразования и . Затем в соответствии с формулой (29) получают

Выражение (25) соответствует разбиению исходного N-точечного вычисления ДПФ на два N/2-точечных вычислений.

Если N/2 – четное число, что имеет место всегда, когда N равно степени 2, то можно вычислять каждое N/2-точечное ДПФ в (25) путем разбиения сумм на два N/4-точечных ДПФ, которые затем объединяются, давая N/2-точечное ДПФ.

Каждая из последовательностей  и разбивается на две последовательности, состоящие из четных и нечетных членов.

Аналогично N/2-точечные ДПФ могут быть записаны как комбинации двух N/4-точечных ДПФ.

Процесс уменьшения размера ДПФ от L до L/2, где L равно степени 2, может быть продолжен до тех пор, пока не останутся только двухточечные ДПФ.

Двухточечное  ДПФ может быть рассчитано без  использования умножений по формулам :

 

Таким образом, восьмиточечное ДПФ в итоге сводится к алгоритму, описываемому направленным графом, представленным на рис. 15.

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ графа  на рис. 15. и процедуры последовательного  сокращения вдвое размеров показывает, что на каждом этапе БПФ (т.е. при каждом сокращении размеров ДПФ) необходимо выполнить N/2 комплексных умножений.

Поскольку общее количество этапов равно , то число комплексных умножений, необходимое для нахождения -точечного ДПФ, приблизительно равно .