Переходные процессы в линейных электрических цепях. Расчёт магнитной цепи

Министерство  транспорта Российской Федерации

 

ФГОУ ВПО

Новосибирская государственная академия

 водного  транспорта

 

 

Кафедра ЭСЭ

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

 

 

 

 

 

Тема: «Переходные  процессы в линейных электрических  цепях.

 Расчёт магнитной  цепи»

 

 

 

 

 

Выполнил:

студент группы: ЭМ-09-78

Шпанова М.А.

Проверил:

преподаватель:

Князева О.А.

 

 

 

 

 

 

 

Тобольск – 2013 

1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНОЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

 

Дано:

R1. Ом	R2. Ом	R3. Ом	E, В	C, мкф	L, мГ
12	10	8	30	2,5	1

Определить: i₂ после коммутации, т.е. закон изменения во времени тока i₂ после коммутации.

Рисунок 1 –  Расчётная схема

Расчёт переходных процессов в линейной электрической  цепи производится двумя методами; классическим и операторным.

 

1 Расчёт  классическим методом

 

Классический метод расчёта заключается в решении дифференциального уравнения, которое представляет собой сумму принуждённой  (установившейся) и свободной составляющих.

 

1. Рассчитываем цепь до коммутации (до замыкания ключа) и определяем ток через индуктивность i₃ (0-) и напряжение на ёмкости U_c(0-).

Так как в  схеме действует источник постоянной ЭДС (Е=const), то принуждённый (установившейся ) ток есть постоянный ток, отсюда:

а) Постоянный ток i₄ через конденсатор С не проходит , поэтому принуждённая (установившиеся) составляющая тока i_{4 уст} (0-) через него равна нулю.

По первому  закону Кирхгофа :  

б) Падение напряжения на индуктивной катушке U_L от постоянного тока (i₄ = i₃) равна нулю

При последовательном соединении сопротивлений R₃, R₁, R₂ по всем сопротивлениям проходит одинаковый общий ток i₁ = i₂, а общее сопротивление равно сумме всех сопротивлений на участке цепи. Отсюда по закону Ома для участка цепи находим общий ток.

Напряжение  на ёмкости определим из уравнения  по второму закону Кирхгофа:

E = U_L + U_c

Так как  U_L = (0-) = 0,то U_c (0- )= E = 30 B

 

2. . Определяем независимые начальные условия на основании законов коммутации.

Момент t = 0  соответствует моменту коммутации.

Время t = (0-)- время до коммутации.

Время t = (0+)- время после коммутации.

Значения тока через индуктивность I₃(0-) и напряжения на конденсатор U_c (0-) до коммутации называют независимыми начальными условиями.

По первому  закону коммутации - ток через индуктивность непосредственно до коммутации  i₃ (0-) равен току через ту же индуктивность после коммутации i₃ (0+):

i₃ (0-) = i₃ (0+) = 0

По второму  закону коммутации – напряжение на конденсаторе до коммутации

U_c (0-) равно напряжению на конденсаторе после коммутации U_c (0+):

U_c (0-) = U_c (0+) = E = 30 B

 

3. Определяем токи и напряжения для нового энергетического состояния цепи в установившемся режиме после коммутации.

 

Рисунок 2 –  Схема после коммутации

После коммутации (ключ замыкается) в установившемся режиме сопротивления R₃ и R₁ замкнутся (короткое замыкание), тока не будет.

i₁ (0+) = i_1уст = 0;

От постоянного  тока на индуктивности нет падения  напряжения, поэтому

U_Lуст (0+) = 0

Постоянный  ток через конденсатор не проходит, поэтому i_4уст (0+) = 0.

Индуктивность L  сопротивления не оказывает , поэтому ток i₃ = i₂ [установившейся ток после коммутации

Согласно второго  закона коммутации :

U_c (0+) = U_{c уст} = Е = 30 В

Все найденные  значения установившихся (принуждённых) токов и напряжений заносим  в табл. 1.

Таблица 1 –  Токи и напряжения после коммутационной схемы

	i1, А	i2, А	i3, А	i4, А	Uc, В	UL
До коммутации при t = (0-)	1	1	0	0	30	0
Установившаяся (принуждённая) составляющая при t = (0+)	0	3	3	0	30	0
Значение в момент t = (0+)	0	3	0	-3	30	0
Значение производной  в  t = (0+)	6·104 А/с	1,2·105 А/с	0	18·104 А/с	1,2·106 В/с	1,2·106 В/с

 

4. Определение характеристического уравнения и его корней

Составим характеристическое уравнение,  используя входное  сопротивление Z_вх (jω) относительно входной ветви схемы. Для этого разрываем ветвь с ЭДС.  ЭДС заменяем короткозамкнутым участком.

Упростим схему, заменив R₁ и R₃ на R₁₃: R₁₃ = R₁ + R₃ = 12 + 8 = 20 Ом

Относительно  разрыва схемы запишем входное  сопротивление для переменного синусоидального тока.

Рисунок 3 –  схема для определения характеристического

уравнения через Z_вх(jw)

 

Символом Р заменяем jw, (jw = p) и приравниваем входное сопротивление Z_вх(р) к нулю.

Уравнение Z_вх(р) = 0 и будет характеристическим уравнением рассматриваемой схемы.

_{При определении составляющий свободного тока (j2 св) характеристическое уравнение получается из условия, когда знаменатель дроби равен нулю.}

_{Это вытекает из того ,что в источнике тока и ЭДС свободные составляющие отсутствуют.}

_{Тогда составляющая свободного тока j2 св имеет место только в том случае, если знаменатель дроби равен нулю, т.е. имеет место неопределённость типа 0/0.}

_{Отсюда  характеристическое уравнение будет  иметь вид:}

Подставив числовые значения, получаем:

Из курса  математики корни квадратного уравнения  определяются:

Определяем  корни нашего характеристического  уравнения, где 

Корни характеристического  уравнения:

 

Число корней характеристического  уравнения равно степени этого  уравнения. Так как у нас определилось два корня, то характеристическое уравнение представляет собой уравнение второй степени.

Степень характеристического  уравнения равна числу накопителей  энер-

гии. В нашей  схеме два накопителя энергии: ёмкость  конденсатора С и катушка индуктивности L.

5. Ввиду того, что корни характеристического уравнения Р₁ и Р₂ действительные отрицательные, неравные, то свободная составляющая тока определяется из уравнения вида:

,

а переходный ток  :

,   (1.1)

где А – постоянная интегрирования;

е = 2,718 – основание натурального логарифма.

Так как уравнение (1.1) содержит две постоянные интегрирования  А₁ и А₂, для их нахождения необходимо второе уравнение, которое получают из уравнения (1.1) путём взятия производной от свободной составляющей тока :

Продифференцируем это уравнение по времени

    (1.3)

Получаем:

    (1.2)

6.  Постоянные интегрирования А₁ и А₂, находятся из начальных условий. Для этого уравнения (1.1) и (1.3) необходимо представить в момент времени t = 0  , получим, учитывая, что при t = 0  :

     (1.4)

С учётом значения , имеем:

Таким образом, для определения постоянных интегрирования  А₁ и А₂ необходимо найти значения токов .

Сначала определяем значения токов и напряжений схемы для  в момент времени t = 0 (в момент коммутации).Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы, рис.2. После замыкания ключа, в схеме образовалось три замкнутых контура: I, II. III.

По первому  закону Кирхгофа (для узла «а»):

По второму  закону Кирхгофа:

     (1.5)

Подставив значения сопротивлений в систему уравнений (1.5) и учтём независимые начальные  условия, где ,

получим:

     (1.6)

Из совместного решения уравнений системы (1.6) получаем:

Далее находим  и

Данные расчёта  заносим в таблицу 1.

1.7. Определяем значения производных токов и напряжений схемы для в момент коммутации. Так как законы Кирхгофа справедливы и для производных, поэтому используем систему уравнений (1.6) для их отыскания, учитывая, что производная от постоянной ЭДС (Е) равна нулю.

    (1.7)

Дополняем эту систему (1.7) ещё двумя равенствами:

Определяем  производные токи через индуктивность  и напряжение на конденсаторе в момент времени  t = 0:

Отсюда находим  ток  из системы уравнений (1.7):

Напряжение  на индуктивности  и ток через конденсатор в момент времени  t = 0 получим из после коммутационной схемы, рис. 2, с учётом законов коммутации.

Подставив значения сопротивлений и полученные значения в систему уравнений (1.7), получим:

Откуда:  

Полученные  данные расчёта заносим в таблицу 1.

1.8.  Определяем из системы уравнений (1.4) постоянные интегрирования и для тока , подставляя данные из табл. 1 в выражение (1.1)

,    (1.4)

Записываем  переходный процесс:

   (1.1)

Определяем ток

       (1.8)

    (1.9)

Из (1.8)   

Из (1.9)  

Сопоставляя полученные значения А₁ друг другу из выражений (1.8) и (1.9), получим:

Отсюда  

Получаем  

Из (1.1)   

1.9. Построим график переходного процесса для тока :

Переходный  процесс характеризуется постоянной времени τ, которая определяется как обратная величина корня характеристического уравнения по модулю:

Так как переходный ток  равен сумме и , то каждая составляющая тока будет иметь свою постоянную времени , причём

Следовательно,  

В нашем случае для кривых составляющих тока они будут равны:

Т.е.:     

Если представить    

то из этого  равенства видно, что через интервал времени равный τ т.е. при ,значение свободной составляющей тока уменьшается в е = 2,72 раза.

Значение токов  переходного процесса удобнее откладывать  на графике через интервал времени равный постоянной.

Для построения графика переходного тока рассчитываем первую ординату составляющей через каждую постоянную времени.