Расчет и анализ электрических цепей

I6 = I’6 + I"6 = 0.177 + 0.210 = 0.386 A.

 

1.1.4 Анализ результатов расчета с помощью баланса мощности

Источники E1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

E1∙I1 + E2∙I2 = I1²∙(R1 + r01) + I2²∙(R2 + r02) + I3²∙R3 + I4²∙R4 + I5²∙R5 + I6²∙R6

Подставляем числовые значения и вычисляем

40∙0.471 + 30∙0.453 = 0.471²∙53 + 0.453²∙35 +0.538²∙24 +0.067²∙18 +

+0.085²∙25 +0.386²∙42

18.832 + 13.59 = 11.755 + 7.186 + 6.936 + 0.081 + 0.179 + 6.275

32.422 Вт = 32.412 Вт

С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.

 

1.1.5 Сравнение результатов расчета  методами контурных токов и  наложения.

Результаты расчета методами контурных  токов и наложения сведены  в таблицу 1.1.

Таблица 1.1

Ток в ветви   Метод расчета	I1, A	I2, A	I3, A	I4, A	I5, A	I6, A
метод узловых и контурных уравнений	0.471	0.453	0.538	0.067	0.085	0.386
метод контурных токов	0.471	0.453	0.538	0.067	0.085	0.386
метод наложения	0.470	0.454	0.538	0.066	0.086	0.386

 

Расчет токов ветвей обоими методами с учетом ошибок вычислений практически одинаков.

 

1.1.6 Расчет и построение потенциальной диаграммы контура

Возьмем контур АECDFBА. Зададимся обходом контура по часовой стрелке. Заземлим одну из точек контура, пусть это будет точка А. Потенциал этой точки равен нулю φ_А=0 (рисунок 1.1).

Зная величину и направление  токов ветвей и ЭДС, а также  величины сопротивлений, вычислим потенциалы всех точек контура при переходе от элемента к элементу. Начнем обход  от точки А.

φ_E = φ_A – E1 + I1∙r01 = -35.529 B

φ_C = φ_E + I1∙R1 = 1.207 B

φ_D = φ_C + I6∙R6 = -12.916 B

φ_F = φ_D – E2 + I2∙r02 = -28.34 B

φ_B = φ_F + I2∙R2 = -15.03 B

φ_A = φ_B + I3∙R3 = 0 B

Строим потенциальную диаграмму. По оси абсцисс откладываем сопротивления контура в той последовательности, в которой производим обход контура, прикладывая сопротивления друг к другу, по оси ординат – потенциалы точек с учетом их знака.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.4 − Потенциальная диаграмма контура схемы,

включающего обе ЭДС

 

1.2. РАСЧЕТ  НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ  ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

В электрической цепи, изображенной на схеме (см.прилА,рис.А.2.), известны сопротивления R3 = 56 Ом и входное напряжение U = 240 В.

Построить входную вольтамперную характеристику схемы. Определить токи во всех ветвях схемы и напряжения на отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.5 − Схема нелинейной электрической цепи

постоянного тока

 

Расчет цепи производим графическим  методом. Для этого в общей системе координат строим вольтамперные характеристики (ВАХ) линейного и нелинейных элементов: I3 = f(U3),  I3 = f(U2),  I1 = f(U) (рисунок 1.10).

ВАХ линейного элемента строим по уравнению . Она представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Для определения координаты второй точки ВАХ линейного элемента задаемся произвольным значением напряжения. Например, U_R = 192 В, тогда соответствующее значение тока  A

 

 

Соединив полученную точку с началом координат, получим ВАХ линейного элемента.

Далее строится общая ВАХ цепи с учетом схемы соединения элементов. В нашей цепи соединение элементов смешанное. Поэтому графически «сворачиваем» цепь. Начинаем с разветвленного участка. Нелинейный (нэ2) и линейный R₃ элементы соединены последовательно, их ВАХ I3 = f(U3) и I3 = f(U2). С учетом этого строим общую для них ВАХ. Для этого задаемся задаемся током и складываем напряжения при этом токе U = U2 + U3. Точка пересечения этих значений тока и напряжения дает одну из точек их общей ВАХ. В результате получаем множество точек и по ним строим ВАХ I3 = f(U).

Далее мы имеем характеристики нелинейного элемента (нэ1)  I1 = f(U) и нелинейного элемента (нэ23) I3 = f(U), которые соединены между собой параллельно. Строим для них общую ВАХ. В данном случае задаемся напряжением и складываем токи. Проделываем это многократно. По полученным точкам строим общую ВАХ цепи I = f(U).

Дальнейший расчет цепи производим по полученным графикам.

Чтобы найти токи и напряжения на всех элементах цепи, поступаем так: по оси напряжений находим значение напряжения, равное 200 В (точка «а»). Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей ВАХ I = f(U), получим точку «b». Из точки «b» опускаем перпендикуляр на ось тока (точка «с»). Отрезок «ос» дает нам искомое значение общего тока I = 7 А. Когда опускаем перпендикуляр из точки «a» на ВАХ I = f(U), то пересекаем ВАХ I3 = f(U) и I1 = f(U) в точках «d» и «e» соответственно. Опуская перпендикуляры из этих точек на ось тока, получим токи на каждом участке цепи: I3 = 1.4 A и I1 = 5.6 A. Когда опускаем перпендикуляр из точки «d» на ось тока, то пересекаем ВАХ I3 = f(U3) и I3 = f(U2) в точках «g» и «f» соответственно. Опуская перпендикуляры из этих точек на ось напряжений, получаем искомые напряжения на участках цепи U2 = 160 В и U3 = 80 В при I3 = 1.4 A.

В результате имеем следующие значения токов и напряжений на всех элементах  цепи: I1 = 5.6 А; I3 = 1.4 A; I = 7 A; U2 = 160  В; U3 = 80 В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.6 − Вольтамперные характеристики элементов нелинейной электрической цепи постоянного тока

 

 

2. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА: ОДНОФАЗНЫХ, ТРЕХФЫЗНЫХ, ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

 

2.1 Расчет  однофазных линейных электрических  цепей переменного тока

 

К зажимам  электрической цепи, схема замещения которой приведена на рисунке     2.1,     подключен     источник     синусоидального     напряжения     U = 311∙sin(ωt + 30°) В с частотой f = 50 Гц.

Параметры   элементов   схемы замещения: R1 = 20 Ом,   R2 = 30 Ом,  L1 = 63.6 мГн, L2 = 127.2 мГн, С1 = 79.5 мкФ, С2 = 53 мкФ. Выполнить следующее:

1. определить реактивные сопротивления элементов цепи;
2. определить действующие значения токов во всех ветвях цепи;
3. записать уравнение мгновенного значения тока источника;
4. составить баланс активных и реактивных мощностей;
5. построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.

Решение:

1) Реактивные  сопротивления элементов цепи:

Ом

Ом

 Ом

 Ом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.1 – Схема электрической цепи

переменного тока

 

2) Расчет  токов в ветвях цепи выполняем  методом эквивалентных преобразований.

Представим схему, приведенную на рисунке 2.1, в следующем виде (рисунок 2.2):

 

 

 

 

 

Рисунок 2.2 − Схема замещения электрической цепи

переменного тока

 

Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

Ом

Ом

Ом

Ом

 Ом

 Ом

Выразим действующее значение напряжений в  комплексной форме:

 В.

Вычисляем токи ветвей и общий ток цепи:

 А

 В

 А

 А

3) Уравнение  мгновенного значения тока источника:

 А

4) Комплексная  мощность цепи:

 В∙А

где S_ист = 1584В∙А,

Р_ист = 1475.6 Вт,

Q_ист = 74.5 вар (знак «+» определяет индуктивный характер нагрузки в целом).

Активная  Р_пр, и реактивная Q_пр мощности приемников:

 Вт

 вар

Полная мощности приемников:

В∙А

 –  баланс практически сходится.

5) Напряжения  на элементах схемы замещения  цепи:

U_ab = I∙XL1 = 143.3 B;

U_be = U₂₃ = 154.1 B;

U_ef = I∙R₁ = 143.3 B;

U_bc = I₂R₂ = 128.2 B;

U_cd = I₂X_C2 = 256.4 B;

U_de = I₂X_L2 = 170.9 B.

6) Строим топографическую векторную диаграмму на комплексной плоскости. Выбираем масштаб: M_I = 1 А/см, М_U = 40 В/см.

Определяем  длины векторов токов и напряжений:

 см;          см;        

 см;      см;

 см;       см;

 см;        см;

 см;      см.      

На комплексной  плоскости, изображенной на рисунке 2.3, в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчетными значениями. При этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Топографическая векторная диаграмма напряжений характерна тем, что каждой точке диаграммы соответствует определенная точка электрической цепи. Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно векторов тока: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90°, а на емкостном напряжение отстает от тока на 90°. Направление обхода участков цепи выбираем, как принято, противоположно положительному направлению токов. Обход начинаем от точки «a», потенциал которой принимаем за исходный (φ_a = 0). Точку «a» помещаем в начало координат комплексной плоскости. При переходе от точки «a» к точке «b» потенциал повышается на величину падения напряжения на индуктивном сопротивлении Х_L1_. Вектор этого напряжения опережает по фазе вектор тока на 90°. Конец вектора определяет потенциал точки «b». От точки «b» откладываем вектор , отстающий от вектора тока на 90°, т. к. участок «be» содержит емкостное сопротивление X_С1. Конец вектора определяет потенциал точки «e». Потенциал точки «f» выше, чем потенциал точки «e», на величину падения напряжения . Вектор откладываем от точки «e» параллельно вектору тока . Конец определяет потенциал точки «f». Соединив отрезком прямой «a» и «f», получим вектор напряжения на зажимах цепи:

 B

Аналогично  строим векторы напряжений другого  участка цепи, сохраняя обход навстречу  току. Потенциал точки «c» выше, чем потенциал точки «b», на величину падения напряжения . Вектор откладываем от точки «b» параллельно вектору тока . Конец определяет потенциал точки «c». От точки «c» откладываем вектор , отстающий от вектора тока на 90°, т. к. участок «cd» содержит емкостное сопротивление X_С2. Конец вектора определяет потенциал точки «d».При переходе от точки «d» к точке «e» потенциал повышается на величину падения напряжения на индуктивном сопротивлении Х_L2_. Вектор этого напряжения опережает по фазе вектор тока на 90°. Конец вектора определяет потенциал точки «e». Соединив отрезком прямой «b» и «e», получим вектор напряжений: B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.3 − Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

на комплексной  плоскости

 

2.2 Расчет  трехфазных  электрических цепей переменного тока

 

В цепи, изображенной на схеме (см.прилА,рис.А.5.), потребители трехфазного тока соединены треугольником.

Известно  линейное  напряжение  U_Л = 127 В и сопротивления  фаз:  R_AB = 45 Ом, R_CA = 20 Ом, L_BС = 35 мГн, С_CA = 50 мкФ.

Определить:

1) сопротивление  элементов схемы приемников;

2) фазные  и линейные токи в номинальном  режиме и при обрыве провода  фазы АB;

3) построить  совмещенные векторные диаграммы  токов и напряжений для обоих  режимов;

4) из  векторных диаграмм векторно, а также аналитически найти линейные токи для обоих режимов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.4 − Схема трехфазной электрической цепи

переменного тока

 

 При  соединении трехфазной цепи треугольником  расчет будем вести символический  методом.

 

 

1. Реактивные сопротивления элементов цепи:

Ом

 Ом

2. Модули фазных напряжений при соединении треугольником равны линейным напряжениям

U_Ф = U_Л = 127 В, то есть U_AB = U_BC = U_CA = 127 В.

Комплексы данных напряжений запишем из условия, что вектор совмещен с действительной осью комплексной плоскости,

В;