Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

 

Поскольку наилучшее значение порядка фильтра в авторегрессионной модели, как правило, не известно, на практике приходится испытывать несколько порядков моделей. Базируясь на этом, вводят тот или иной критерий ошибки, по которому затем определяем требуемый порядок модели. Если порядок модели выбран слишком  малым, получаются сильно сглаженные спектральные оценки, если излишне большим - увеличивается разрешение, но в оценке появляются ложные спектральные пики. Таким образом, применительно к авторегрессионному спектральному оцениванию  выбор порядка моделей эквивалентен компромиссу между разрешением и величиной дисперсии для классических методов спектрального оценивания. Очевидно, что следует увеличивать порядок АР-модели до тех пор, пока вычисляемая ошибка предсказания не достигнет минимума. Однако во всех исследованных методах оценка дисперсии монотонно уменьшается с увеличением порядка модели. Следовательно, одной дисперсии обычно не достаточно для того, чтобы определить момент окончания процедуры изменения порядка.

Для выбора порядка АР-модели предложено много различных критериев - своего рода целевых функций. Рассмотрим некоторые из них. Первый критерий называется окончательная ошибка предсказания(ООП). Согласно этому критерию, выбор порядка осуществляется таким образом, чтобы минимизировать среднюю дисперсию ошибки на каждом шагу предсказания.

, где   

N - число отсчетов данных, p- порядок АР-процесса и - оценочное значение дисперсии белого шума (которая будет использоваться в качестве ошибки линейного предсказания).Выбирается такое значение порядка, при котором величина ООП минимальна. Однако использование этого и последующих критериев дает отличные результаты только  для идеальных авторегрессионных процессов, а в случае реальных данных результат оказывается сильно заниженным.

Вторым критерием, основанным на методике максимального правдоподобия является информационный критерий Акаике(он представляет исключительно теоретический интерес, а на практике используется как нижняя граница порядка модели)  

На практике обычно порядок модели выбирают в интервале от N/3 до N/2 где N - длина обрабатываемой последовательности отсчетов. В приложении Н приведены графики оценок СПМ, полученных при различных значениях порядка модели.

 

Особенности реализации

Для решения поставленных задач был разработан и реализован язык проектирования алгоритмов, включающий в себя средства межзадачного обмена данными, то есть построение распределенных по процессам вычислительных алгоритмов, определенные части которого исполняются параллельно несколькими процессам. Дальнейшим развитием этого подхода является построение сетевых распределенных  схем алгоритмов. Существует большое количество приложений этого подхода.

 

Заключение

В данной работе :

1. Tеоретически проанализированы  методы спектрального анализа, а также возможность применения этих методов в современных вычислительных системах для обработки данных в реальном масштабе времени.
2. Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе выбран наиболее подходящий метод оценивания спектральной плотности мощности в аддитивной смеси комплексных синусоид и окрашенного стационарного шумового процесса для каждого из типов экспериментов, сформулированных в разделе экспериментальных результатов.
3. Дано описание и выполнена реализация  схемы управления процессом обработки данных в реальном времени, использующая преимущества параллельной архитектуры вычислительных систем.
4. Cформулирован ряд требований по вычислительным ресурсам при реальной обработке, сделан анализ длины выборки данных при различном представлении входного сигнала.
5. Получены результаты по эксперименту вычисления характеристик окон и на их основе выбрано наилучшее решение в смысле разрешения (недостаточное качество разрешения по частоте в классических спектральных методах может быть улучшено исключительно выбором весового окна, а выбор параметров метода второстепенен по отношению к  выбору окна)  в каждом эксперименте по оцениванию спектральной плотности мощности тест-сигнала.

 

Приложениe А.

Смещение периодограммы Уэлча.

Здесь доказывается факт, который используется в разделе классических методов. Среднее периодограммы Уэлча можно записать в следующем виде:

Докажем, что его можно представить в виде свертки истинного спектра (спектральной плотности мощности) и нормированного квадрата модуля дискретно-временного преобразования используемого окна данных, то есть как

 

, где и

Рассмотрим выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот :

 

Найдем непосредственно квадрат модуля в последнем равенстве

Подставив в формулу для математического ожидания периодограммы Уэлча, получим следующее выражение:

 

Введем в рассмотрение следующее окно данных (свертка используемого окна данных с тем же комплексно сопряженным, но в обратном времени, окном):

Его дискретно-временное преобразование Фурье равно, по теореме о свертке во временной области, произведению преобразований Фурье окна данных  и окна . Если заметить, что преобразование окна равно комплексно-сопряженному преобразованию окна , то искомое выражение для будет равно квадрату  модуля , где

 

Заменяя кратную сумму в выражении

 

и учитывая, то обстоятельство, что за пределами интервала шириной D отсчетов окно данных тождественно равно нулю, имеем:

 

Приложениe I.

Список используемой литературы.