Анализ динамических рядов

Рассмотрим характеристики данного уравнения, табл. 2.2

 

Таблица 2.2

Характеристики линейной модели ряда экспорт Германии за период с 1977 по 2006 г.г.

 

Multiple R – коэффициент корреляции – показывает тесноту связи между фактором и результатом. В анализе рядов динамики не комментируется, т.к. фактором выступает время – абстрактный фактор.

Multiple R? – коэффициент детерминации – характеризует долю объясненной дисперсии в общей дисперсии. Чем выше доля объясненной дисперсии, тем качественнее построено уравнение и тем точнее будет прогноз.

Adjusted R? – скорректированный коэффициент детерминации. У нас он равен 0,87 – значит, колеблемость объемов экспорта Германии за 30 лет данным уравнением нам удается объяснить на 87%. (его будем использовать для выбора лучшего уравнения)

F-критерий Фишера – показывает значимость уравнения в целом. Расчет F-критерия представлен в таблице дисперсионного анализа, табл. 2.3; в третьей графе таблицы (Mean Squares) в первой строке представлено значение факторной дисперсии, а во второй – значение остаточной дисперсии, Наше уравнение в целом является значимым, т.к. p-level – уровень значимости, меньше 0,05, следовательно, нулевая гипотеза о не значимости критерия отвергается, и значение критерия Фишера значимо.

Std. Err. of Estimate – стандартная ошибка оценки уравнения, используется для расчета доверительных интервалов при прогнозировании (S).

 

Таблица 2.3

Дисперсионный анализ линейной модели динамики экспорта Германии за период с 1977 по 2006 г.г.

 

Далее проверяется  автокорреляция в остатках. Остатки  – разность между фактическими значениями и теоретическими, то, что нам не удалось объяснить найденным нами уравнение, табл. 2.4. Теоретические значения мы получили, подставив в уравнение вместо фактора t числа от 1 до 30. Автокорреляция – связь, зависимость между уровнями внутри одной переменной. Если уровень остатков зависит от предыдущих уровней, значит, в остатках присутствует автокорреляция. Следовательно, если в остатках присутствует автокорреляция, в них остается часть полезной информации, наше уравнение не полностью описывает основную тенденцию, и делать прогноз по такому уравнению не имеет смысла.

Построив автокорреляционную функцию – последовательность коэффициентов автокорреляции, рис. 2.1, можно сделать вывод о том, что автокорреляция в остатках присутствует, т.к. при значении лага равному единице, t-статистика больше двух. t-статистика находится путем отношения коэффициента автокорреляции (Corr.) и его стандартной ошибки (S.E.) – t-статистика = 0,669/0,1738=3,85.  Лаг – временной интервал, который смещает динамический ряд относительно самого себя.

 

Таблица 2.4

Остатки линейной модели динамики экспорта Германии за период с 1977 по 2006 г.г.

Рис. 2.1. Автокорреляционная функция динамики экспорта Германии линейной модели за период с 1977 по 2006 г.г.

 

Далее построив аналогично линейную трендовую модель для импорта, мы также получаем уравнение, не пригодное для прогнозирования. Параметр a₀ равный 21,47 статистически не значим, т.к. его t-статистика меньше двух табл. 2.4.

Таблица 2.4

Расчет и  оценка параметров линейной модели динамики импорта Германии за период с 1977 по 2006 г.г.

 

Не получив качественное линейное уравнение, которое могло  бы описать тренд, попробуем построить уравнение – полином второй степени или параболистическую модель, которая имеет вид:

  (2.5)

 где a₀ a₁ a₂ – параметры уравнения; t – фактор-время.

Таблица 2.5

Расчет и  оценка параметров параболистической модели динамики экспорта Германии с 1997 по 2006 г.г.

 

Как мы видим из табл. 2.5, параметр уравнения a₁ статистически не значим, т.к. значение его t-статистики меньше двух, следовательно, данное уравнения нельзя использовать для прогнозирования. Также можно сказать о том, что коэффициент детерминации  данного уравнения, равный 0,93, довольно таки высокий.

Далее построим параболистическую трендовую модель для объемов импорта Германии. Как видно из табл. 2.6 параметр уравнения a₁ , равный 2,47, как и в случае с экспортом, статистически не значим, и прогнозировать по данному уравнению нет смысла.

 

Таблица 2.6

Расчет и  оценка параметров параболистической  модели динамики импорта Германии с 1997 по 2006 г.г.

 

Коэффициент детерминации данного уравнения равен 0,92, это означает, что данным уравнением колеблемость импорта Германии за 30 лет нам удается объяснить на 92%.

Поскольку интенсивность  роста показателей объемов экспорта и импорта Германии на протяжении 30 лет разная, и резкое увеличение показателей темпов роста наблюдается в последние 6 лет, проведем периодизацию ряда и попробуем построить трендовую модель для последнего периода. Проведем периодизацию ряда объемов экспорта Германии с 2001 г. по 2006 г.

Таблица 2.6

Расчет и  оценка параметров линейной модели динамики экспорта Германии за период с 2001 по 2006 г.г.

 

Как видно из табл. 2.6 параметры данного линейного уравнения значимы, т.к. фактическое значение t-статистики обоих параметров больше табличного – 14,086>2,776 и 14,87>2,776. Про значимость уравнения в целом говорит нам F-критерий Фишера. На основании табл. 2.9 рассчитывается F-критерий Фишера = 230813,8/1043,8 = 221,13. Фактическое значение F-критерия Фишера больше табличного: 221,13>7,71, следовательно, уравнение в целом статистически значимо и коэффициент детерминации значим, и нам данным уравнением удается объяснить колеблемость объемов экспорта Германии за 30 лет на 97,8%, табл.2.7. Далее мы проверяем автокорреляцию в остатках, табл. 2.8, рис. 2.2

Таблица 2.7

Характеристики  линейной модели динамики экспорта Германии за период с 2001 по 2006 г.г.

 

Таблица 2.8

Остатки линейной модели динамики экспорта Германии за период с 2001 по 2006 г.г.

 

Таблица 2.9

Дисперсионный анализ линейной модели динамики экспорта Германии за период с 2001 по 2006 г.г.

Рис. 2.2. Автокорреляционная функция динамики экспорта Германии линейной модели за период с 2001 по 2006 г.г.

 

На основании  рис. 2.2 можно сделать вывод о  том, что автокорреляция в остатках отсутствует, т.к. t-статистика первого коэффициента меньше табличного значения: 1,43<2.57, следовательно, данный коэффициент статистически не значим. Попробуем построить еще одну модель по последнему периоду ряда экспорта Германии – полином третьей степени и выбрать лучшее уравнение из линейной модели и модели полинома третьей степени, лучшее будет то, у которого коэффициент детерминации будет выше.

 

Таблица 2.10

Расчет и  оценка параметров модели полинома 3 степени динамики экспорта Германии за период с 2001 по 2006 г.г.

 

Из таблицы 2.10 можно сделать вывод о том, что параметры данной модели значимы, т.к. их значения t-статистики больше табличного: 22,48>2,776 и 102.56> 2,776. Далее проводим расчет F-критерия Фишера, табл. 2.11.

Таблица 2.11

Дисперсионный анализ модели полинома 3 степени динамики экспорта Германии за период с 2001 по 2006 г.г.

 

Полученный F-критерий Фишера больше табличного значения: 2070,43>6,94, следовательно, уравнение в целом и коэффициент детерминации значимы. Коэффициент детерминации данного уравнения равен 98,2%. Затем проверяем наличие автокорреляции в остатках, табл. 2.12, рис. 2.3.

 

Таблица 2.8

Остатки модели полинома 3 степени динамики экспорта Германии за период с 2001 по 2006 г.г.

 

Рис. 2.3 Автокорреляционная функция динамики экспорта Германии модели полинома 3 степени за период с 2001 по 2006 г.г.

 

На основании  рис. 2.3 можно сделать вывод о  том, что автокорреляция в остатках отсутствует, т.к. фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного: |-2,01|<2,78, следовательно, коэффициенты данной модели статистически не значимы и автокорреляция в остатках не присутствует. Данная модель подходит для прогнозирования и ее коэффициент детерминации выше, чем у предыдущей линейной модели: 98,2>97,8. Следовательно, для прогнозирования объемов экспорта мы выбираем модель: Полином 3 степени, которая имеет вид:

 

 Начинаем прогнозирование с точечного прогноза. Вместо фактора-времени t подставляем порядковый номер года, который мы будем прогнозировать: в нашем случае период (с 2001 года по 2006 год), на основании которого мы построили модель для прогнозирования, равен шести, следовательно, чтобы прогнозировать на 2007 год нам нужно вместо t подставить 7: 

млрд. $.  

 Далее необходимо  рассчитать доверительные интервалы  с помощью предельной ошибки  уравнения, формула 2.6:

 (2.6)

  

 где  - предельная ошибка уравнения, которая рассчитывается по формуле:

  (2.7)

 где t – коэффициент доверия, равный 2 (т.к. выбранная нами вероятность равна 95%), S – стандартная ошибка оценки уравнения, которая равна квадратному корню из остаточной дисперсии. Исходя из дисперсионного анализа модели полинома 3 степени, табл. 2.11, остаточная дисперсия данной модели равна 1043, следовательно:

  

 

 

  

Прокомментировать данную запись можно следующим образом: объемы экспорта Германии в 2007 году, с вероятностью 95% находились в интервале от 1247,45 млрд. $ до 1376,65 млрд. $.

Далее спрогнозируем объемы экспорта на 2008 год. Для точечного прогноза вместо фактора-времени t подставляем 8:

  млрд. $.  

 Затем рассчитываем  доверительный интервал, уже нами рассчитана, следовательно:

  

 

 Эта запись говорит о том, что объемы экспорта Германии в 2008 году, с вероятностью 95% находились в интервале от 1444,75 млрд. $ до 1573,95 млрд. $. Сравнив наш анализ с фактическими данными, можно сделать вывод – наш анализ был оправдан: объем экспорта Германии в 2007 г. равен 1329,05 млрд. $, в 2008 г .- 1544,55 млрд. $.

 

3. Авторегрессионные модели и прогнозирование

 

Трендовой моделью весь период целиком нам описать не удалось, так как уровни в разные периоды времени ведут себя по-разному. Поэтому была попытка построить авторегрессионные модели – модели, в которых признаком-фактором является значение уровня предшествующего периода:

 (3.1)

 линейная авторегрессионная модель

  (3.2)

авторегрессионная модель второго порядка;

 (3.3)

авторегрессионная модель третьего порядка.

Но для того, чтобы приступить к построению уравнения  авторегрессии, необходимо проверить  наличие автокорреляции в рядах  динамики – зависимость исходного ряда от смещенного ряда на соответствующий временной интервал – лаг. На рис. 3.1 видно, что значение t-статистики с 1 по 5 коэффициент автокорреляции ряда экспорта Германии больше 2: 0,824/0,174=4,74,  значит,  автокорреляция в рядах динамики присутствует. Также на рис. 3.2 видно, что в рядах импорта Германии присутствует автокорреляция, так как коэффициенты с 1 по 6 статистически значимы: 0,819/0,174=4,71.

Далее попробуем  построить уравнения авторегрессии 1, 2, 3 порядка для экспорта и импорта.

Как видно из табл. 3.1-3.6 все найденные нами модели не пригодны для прогнозирования, так  как у всех этих моделей статистически  незначим тот или иной параметр. Теоретически, если бы у нас в табл. 3.1 получились бы статистически значимые параметры, то уравнение имело бы вид как формула 3.1. Для того чтобы прогнозировать объемы экспорта Германии в 2007 году, мы вместо  подставили бы значение объема экспорта Германии в 2006 году, и, рассчитав доверительный интервал с помощью предельной ошибки, нашли бы интервал, в который попадает объем экспорта Германии в 2007 г. с вероятность 95 %.

Рис. 3.1. Автокорреляция в рядах динамики экспорта Германии

 

Рис. 3.2. Автокорреляция в рядах динамики импорта Германии

 

Таблица 3.1

Расчет и оценка параметров линейной авторегрессионной модели динамики экспорта Германии за период с 1977 по 2006 г.г.

 

Таблица 3.2

Расчет и  оценка параметров авторегрессионной  модели второго порядка динамики экспорта Германии за период с 1977 по 2006 г.г.

 

Таблица 3.3

Расчет и  оценка параметров авторегрессионной  модели третьего порядка динамики экспорта Германии за период с 1977 по 2006 г.г.