Факторные модели в статистическом изучении эффективности использования оборотных средств

В рассматриваемой совокупности у  половины предприятий материалоотдача составлял не более 4.2, а у другой – не менее 5,8 руб./руб.

Для расчета характеристик ряда распределения строим вспомогательную  таблицу 2.2.

Таблица 2.2

Расчет характеристик ряда распределения

Группы организаций по объему материалоотдачи	Середина интервала, xi	Число предприятий, fi	xifi
1 – 2,6	1,8	3	5,4	34,95
2,6 – 4,2	3,4	4	13,6	46,24
4,2 – 5,8	5	12	60	300,00
5,8 – 7,4	6,6	8	52,8	348,48
7,4 – 9	8,2	3	24,6	201,72
Итого	-	30	156,4	931,39

 

Средний уровень объема реализованной  продукции:

 

Средний объем материалоотдачи по выборочной совокупности предприятий составил 5,21 руб./руб..

Среднее квадратическое отклонение:

То есть отклонение от средней величины в ту или иную сторону составляет в среднем 5,57 руб./руб.

Дисперсия:

Коэффициент вариации:

Значение коэффициента корреляции  превышает 33%, следовательно, это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Средняя арифметическая по исходным данным определяется по формуле:

Средняя величина уровня материалоотдачи, рассчитанная для интервального ряда, равна 5,35 руб./рубю. Это объясняется различием вычислений для сгруппированных и не сгруппированных данных. Простая средняя соответствует простой совокупности, не представленной группами, хотя и определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий. Если же совокупность имеет сложное строение, то осуществляется переход к среднеарифметической взвешенной, где в качестве значений признака берутся середины интервалов  и, следовательно, значение средней будет менее точным.

Вывод. Анализ полученных значений показателей  говорит о том, что средняя  величина уровня мтериалоотдачи составляет 5,21 руб./руб.., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 5,57 руб.ю/руб., наиболее характерные значения величины материалоотдачи находятся в пределах от 4,2. до 5,8 руб./руб. 

 

 

 

Задание 2

 

По исходным данным с использованием результатов выполнения задания 1:

1) установите наличие и характер  корреляционной связи между признаками материалоотдача  и объем выпуска продукции используя метод аналитической группировки;

2) оцените силу и тесноту корреляционной  связи между на званными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение;

3) оцените статистическую значимость показателя силы связи.

Сделайте выводы по результатам  выполнения задания.

 

Решение:

1. Аналитическая группировка строится по факторному признаку и для каждой группы ряда определяется среднее значение  результативного признака. Если с ростом значений фактора от группы к группе средние значения  систематически возрастают (или убывают), между признаками имеет место корреляционная связь.

Таблица 2.3

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

Группы организаций  по уровню материалоотдачи	№ предприятия	Материалоотдача, руб./руб.	Объем выпуска продукции, млн руб.
1 – 2,6	7	1	268,9
	17	1,63	302,1
	19	2,6	345,79
Итого по 1 группе	3	5,23	916,79
2,6 – 4,2	8	2,95	360,72
	14	3,13	375,05
	9	3,18	380,44
	3	4,2	386,54
Итого по 2 группе	4	13,46	1502,75
4,2 – 5,8	10	4,55	410,21
	4	4,73	439,75
	30	4,8	449,22
	13	4,95	455,61
	29	5,02	455,9
	21	5,18	451,8
	25	5,28	463,34
	1	5,37	476,45
	23	5,48	489,58
	28	5,59	509,35
	22	5,68	529,43
	12	5,78	534,32
Итого по 3 группе	12	62,41	5664,96
5,8 – 7,4	24	5,85	558,44
	26	6,23	545,02
	11	6,37	572,42
	16	6,43	586,9
	27	6,83	591,83
	18	7,17	601,22
	2	7,25	620,95
	6	7,39	635,22
Итого по 4 группе	8	53,52	4712
7,4 – 9	15	7,92	656
	5	8,83	681,3
	20	9	716,2
Итого по 5 группе	3	25,75	2053,5
Всего по совокупности	30	160,37	14850

 

Для установления наличия и характера  связи между материалоотдачей и объемом выпуска продукции построим итоговую  аналитическую таблицу (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Аналитическая группировка предприятий

№ группы	Группы организаций  по уровню материалоотдачи	Всего предприятий	Материалоотдача, руб./руб.		Объем выпуска продукции, млн руб.
			Всего	В сред.	Всего	В сред.
1	1 – 2,6	3	5,23	1,74	916,79	305,60
2	2,6 – 4,2	4	13,46	3,37	1502,75	375,69
3	4,2 – 5,8	12	62,41	5,20	5664,96	472,08
4	5,8 – 7,4	8	53,52	6,69	4712	589,00
5	7,4 – 9	3	25,75	8,58	2053,5	684,50
Итого		30	160,37	25,58	14850,00	2426,86

 

Анализ данных табл. 2.4 показывает, что с увеличением уровня материалоотдачи от группы к группе систематически возрастают и объем выпуска продукции, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Оценим тесноту корреляционной связи с помощью коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения, которые рассчитываются на основе дисперсионного анализа.

Коэффициент детерминации  η² характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии σ²:

,

Где σ² – общая дисперсия признака Y,

       – межгрупповая дисперсия признака Y.

Общая дисперсия σ² характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле:

,

Где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

      – общая средняя значений результативного признака;

      n – число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

,

Где –групповые средние,

        – общая средняя,

         f_i – число единиц в j-ой группе.

Общая средняя значений результативного  признака

Для расчета общей дисперсии σ² строится вспомогательная таблица 2.5.

 

Таблица 2.5

Расчет общей дисперсии

№ предприятия	Объем выпуска продукции, млн. руб.
1	476,45	344,1025
2	620,95	15863,4
3	386,54	11763,57
4	439,75	3052,563
5	681,3	34707,69
6	635,22	19661,65
7	268,9	51121,21
8	360,72	18031,12
9	380,44	13123,99
10	410,21	7189,344
11	572,42	5993,856
12	534,32	1546,062
13	455,61	1551,572
14	375,05	14388
15	656	25921
16	586,9	8445,61
17	302,1	37210,41
18	601,22	11282,69
19	345,79	22263,62
20	71 6,20	48929,44
21	451,8	1866,24
22	529,43	1185,425
23	489,58	29,3764
24	558,44	4024,634
25	463,34	1002,356
26	545,02	2502
27	591,83	9376,049
28	509,35	205,9225
29	455,9	1528,81
30	449,22	2095,808
Иторго	-	376207,5

 

Общая дисперсия:

Для  расчета межгрупповой дисперсии строится  вспомогательная таблица 2.6. При этом используются  групповые средние значения .

Таблица 2.6

Вспомогательная таблица для расчета  межгрупповой дисперсии

Группы предприятий  по материалоотдачи, руб./ руб.	Число организаций, fi	Средний уровень объемы выпуска продукции, млн.руб.,
1 – 2,6	3	305,60	107620,87
2,6 – 4,2	4	375,69	56941,89
4,2 – 5,8	12	472,08	6303,92
5,8 – 7,4	8	589,00	70688,00
7,4 – 9	3	684,50	107730,75
Итого	30	2426,86	349285,43

 

Межгрупповая дисперсия:

Коэффициент детерминации:

Эмпирическое корреляционное отношение:

Таким образом, 92,8% вариации уровня материалоотдачи обусловлено вариацией объема выпуска продукции, а 7,2% – влиянием прочих, неучтенных факторов. Значение эмпирического корреляционного отношения говорит о том, что корреляционная связь между рассматриваемыми признаками существенна.

3. Для оценки статистической значимость показателя силы связи постоим корреляционную таблицу.

Корреляционная таблица строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками – прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная – по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Величина интервала для совокупности предприятий по объему выпуска продукции:

 

Таблица 2.5

Корреляционная таблица зависимости