Исследование структуры совокупности

,                                                   (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

 – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                             (10)

где  yi – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                    (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

                                               (12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 11.

 

Таблица 11

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер   предприятия  п/п	Инвестиции в  основные  фонды,  млрд.руб.
1	2	3	4	5
1	0,814	-0,514	0,264	0,663
2	1,98	0,652	0,425	3,920
3	2,112	0,784	0,615	4,461
4	1,496	0,168	0,028	2,238
5	1,32	-0,008	0,000	1,742
6	1,342	0,014	0,000	1,801
7	1,43	0,102	0,010	2,045
8	1,122	-0,206	0,042	1,259
9	0,77	-0,558	0,311	0,593
10	1,54	0,212	0,045	2,372
11	1,76	0,432	0,187	3,098
12	1,628	0,3	0,090	2,650
13	2,024	0,696	0,484	4,097
14	1,276	-0,052	0,003	1,628
15	1,254	-0,074	0,005	1,573
16	1,713	0,385	0,148	2,934
17	1,43	0,102	0,010	2,045
18	1,298	-0,03	0,001	1,685
19	0,352	-0,976	0,953	0,124
20	1,584	0,256	0,066	2,509
21	1,386	0,058	0,003	1,921
22	0,528	-0,8	0,640	0,279
23	0,99	-0,338	0,114	0,980
24	1,254	-0,074	0,005	1,573
25	0,99	-0,338	0,114	0,980
26	1,607	0,279	0,078	2,582
27	1,244	-0,084	0,007	1,548
28	1,47	0,142	0,020	2,161
29	1,107	-0,221	0,049	1,225
30	1,006	-0,322	0,104	1,012
Итого	39,827	0	4,823	57,696

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

 – квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера:

Тогда общая дисперсия:

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

,                         (13)

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии строится  вспомогательная таблица 12. При этом используются  групповые средние значения из табл. 7 (графа 5).

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по размеру нераспределенной прибыли, млрд.руб.	Число предприятий,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
5,00 – 7,00	4	0,616	-0,712	2,028
7,00 – 9,00	5	1,043	-0,285	0,406
9,00 – 11,00	11	1,367	0,039	0,017
11,00 – 13,00	7	1,609	0,281	0,553
13,00 – 15,00	3	1,951	0,623	1,164
Итого	30			4,168

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (13):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

  

или 86,0%

Вывод. 86,0% вариации объема выпуска продукции обусловлено вариацией среднесписочной численности работников, а 14,0% –  влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                              (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 13):

Таблица 13

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

  или 93,5%

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между размером нераспределенной прибыли и инвестициями в основных фондах является весьма тесной.

 

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,683 необходимо определить:

1. ошибку выборки размера нераспределенной прибыли и границы, в которых будет находиться средняя величина размера нераспределенной прибыли для предприятий генеральной совокупности;
2. ошибку   выборки   доли   предприятий размером нераспределенной прибыли 9,00млрд.руб. и более, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий региона границ, в которых будут находиться величина размера нераспределенной прибыли и доля предприятий с размером нераспределенной прибыли не менее 9,00 млрд.руб.

 

1. Определение ошибки выборки  для среднесписочной численности работников и границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно  представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок – среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

,                                                    (15)

где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

       N – число единиц в генеральной совокупности,

        n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

                                ,                                            (16)

где     – выборочная средняя,

          – генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р=0.954, Р=0.997, реже Р=0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки Δ кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р.  Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

                                                       (17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 14):

Таблица 14

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию задачи выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 10% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 300 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 15:

 

 

 

 

 

Таблица 15

Р	t	n	N
0,683	1,0	30	300	10	5,336

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

10-0,160

10+0,160

9,840.

10,160

 

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования предприятий региона с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий размер нераспределенной прибыли находится в пределах от 9,840 млрд.руб.. до 10,160 млрд.руб.

 

2. Определение ошибки выборки  для доли предприятий с размером нераспределенной прибыли 9,00 млрд.руб.  и выше, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

              ,                                                    (18)

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

        n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

                 ,                              (19)

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

       (1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

        N – число единиц в генеральной совокупности,

        n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

                                             (20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение размера нераспределенной прибыли предприятий величины 9,00 млрд.руб.