Контрольная работа по дисциплине "Статистика"

Пример. Рассчитаем среднюю арифметическую интервального вариационного ряда, построенного по результатам исследования годовой заработной платы 30 рабочих (см. лекцию «Сводка и группировка статистических данных»). 
Таблица 1 – Интервальный вариационный ряд распределения.

Интервалы, грн.	Частота, чел.	Частность,	Середина интервала,
600-700  700-800  800-900  900-1000  1000-1100  1100-1200	3  6  8   9   3  1	0,10  0,20  0,267   0,30  0,10  0,033	(600+700):2=650  (700+800):2=750  850  950  1050  1150	1950  4500  6800  8550  3150  1150	65  150  226,95  285  105  37,95
			-	26100	869,9

грн.  или    грн. 
Средние арифметические, вычисленные на основе исходных данных и интервальных вариационных рядов, могут не совпадать из-за неравномерности  распределения значений признака внутри интервалов. В этом случае для более точного вычисления средней арифметической взвешенной следует использовать не средины интервалов, а средние арифметические простые, рассчитанные для каждой группы (групповые средние). Средняя, вычисленная по групповым средним с использованием взвешенной формулы расчета, называется общей средней. 
Средняя арифметическая обладает рядом свойств.  
1. Сумма отклонений вариант от средней равна нулю: 
. 
2. Если все значения вариант увеличиваются или уменьшаются на величину А, то и средняя величина увеличивается или уменьшается на ту же величину А: 
 
3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в В раз, то  средняя величина также  увеличится или уменьшатся в то же количество раз: 
   или    
4. Сумма произведений вариант на частоты равна произведению средней величины на сумму частот: 
 
5. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая не изменится: 
 
6) если во всех интервалах частоты равны друг другу, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней арифметической: 
, 
где k – количество групп вариационного ряда.

Использование свойств средней позволяет упростить её вычисление.  
Допустим, что все варианты (х) сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в В раз. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение середины интервала, обладающего наибольшей частотой, а в качестве В – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчёта, поэтому этот метод вычисления средней называется  способом отсчёта от условного нуля или  способом моментов.  
После такого преобразования получим новый вариационный ряд распределения, варианты которого равны  . Их средняя арифметическая, называемая моментом первого порядка, выражается формулой   и согласно второго и третьего свойств средней арифметической равна средней из первоначальных вариант, уменьшенной сначала на А, а потом в В раз, т. е.  . 
Для получения действительной средней (средней первоначального ряда)нужно момент первого порядка  умножить на В и прибавить А: 
 
Расчёт средней арифметической по способу моментов иллюстрируется данными табл. 2. 
Таблица 2 – Распределение работников цеха предприятия по стажу работы

Стаж работников, лет	Количество работников	Середина интервала
0 – 5   5 – 10   10 – 15   15 – 20   20 – 25   25 – 30	12  16  23  28  17  14	2,5  7,5  12,7  17,5  22,5  27,5	-15  -10  -5  0  5  10	-3  -2  -1  0  1  2	-36  -32  -23  0  17  28
Итого	110	-	-	-	-46

Находим момент первого порядка  . Затем, зная, что А=17,5, а В=5, вычисляем средний стаж работы работников цеха: 
лет

Средняя гармоническая 
Как было показано выше, средняя арифметическая применяется для расчета среднего значения признака в тех случаях, когда известны его варианты x и их частоты f.  
Если статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x  совокупности, а представлена как их произведение  , применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы вычислить среднюю, обозначим   , откуда   . Подставив эти выражения  в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу  средней гармонической взвешенной: 
, 
где   - объем (вес) значений признака показателя в интервале с номером  i (i=1,2, …, k).

Таким образом, средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:  . 
В тех случаях, когда вес каждой варианты равен единице, т.е. индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу, применяется средняя гармоническая простая: 
, 
где    – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; 
N  – число вариант. 
Если по двум частям совокупности численностью   и   имеются средние гармонические, то общая средняя по всей совокупности рассчитывается по формуле: 
 
и называется взвешенной гармонической средней из групповых средних.

Пример. В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключены три сделки. Данные о сумме продажи гривны и курсе гривны по отношению к доллару США приведены в табл. 3 (графы 2 и 3). Определить средний курс гривны по отношению к доллару США за первый час торгов. 
Таблица 3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже

Номер сделки	Сумма продажи,  млн. грн.,	Курс гривны, грн.,	Частота (количество приобретенных долларов), млн. дол.,
1	2	3	4
1  2  3	45,0  25,2  40,4	5,00  5,04  5,05	9,0  5,0  8,0
Итого	110,6	-	22,0

Средний курс доллара определяется отношением суммы проданных в ходе всех сделок гривен к сумме приобретённых в результате этих же сделок долларов. Итоговая сумма продажи гривны известна из графы 2 таблицы, а количество купленных в каждой сделке долларов определяется делением суммы продажи гривны к ее курсу (графа 4). Всего в ходе трёх сделок куплено 22 млн. дол. Значит, средний курс гривны за один доллар составил 
. 
Полученное значение является реальным, т.к. замена им фактических курсов гривны в сделках не изменит итоговой суммы продаж гривны, выступающей в качестве определяющего показателя:   млн. грн. 
Если бы для расчёта была использована средняя арифметическая, т.е.   гривны, то по обменному курсу на покупку 22 млн. дол. нужно было бы затратить 110,66 млн. грн., что не соответствует действительности.  

 

Средняя геометрическая 
Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня к предыдущему. 
Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле: 
, 
где   –  знак произведения,  
N   –  число о сродняемых величин. 
Пример. Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в 1,57 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12 раза. Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет:  , т.е. число зарегистрированных преступлений ежегодно росло в среднем на 12%. 
Средняя геометрическая взвешенная используется, когда временные интервалы неодинаковы: 
, 
где   – временной интервал.

Средняя квадратическая 
Средняя квадратическая применяется, когда в качестве вариант используются отклонения фактических значений признака от средней арифметической или от заданной нормы.  
Средняя квадратическая простая: 
 . 
Средняя квадратическая взвешенная: 
 
Пример. Вычислить среднюю величину измеренных отклонений фактической длины изделий от заданной нормы.

Отклонения, мм,	Число изделий,
-1,8  -0,8  0,2  1,0  1,4	1  3  4  1  1	3,24  0,64  0,04  1  1,96	3,24  1,92  0,16  1  1,96
0	10		8,28

Для расчёта средней квадратической взвешенной определяем и заносим в таблицу   и   .  Тогда средняя величина отклонений длины изделий от заданной нормы равна: 
 

 

Средняя арифметическая в данном случае была бы непригодна, т.к. в результате мы получили бы нулевое отклонение. 
Применение средней квадратической будет рассмотрено далее в показателях  вариации.

 

 

 

 

Задача 19

Заработная плата работников Забайкальского края по отраслям характеризуется следующими данными за 2011 год:

• в промышленности – 15 445 руб.
• в сельском хозяйстве - 12000 руб.
• в торговле - 15587 руб.
• в оборудовании - 13259 руб.

Определить: Во сколько раз заработная плата в сельском хозяйстве меньше заработной платы в других отраслях экономики.

 

Решение.

 

Относительный показатель сравнения:

,

где Зб – зарплата в базовой отрасли (сельское хозяйство);

Зср – зарплата в сравниваемой отрасли.

Расчет:

- сравнение с промышленностью

 или 77,7%

- сравнение с торговлей

 или 77%

- сравнение с оборудованием

 или 90,5%

 Средняя зарплата в сельском хозяйстве ниже чем в промышленности на 22,3% (77,7-100).  Средняя зарплата в сельском хозяйстве составляет 0,777 от средней зарплаты в промышленности.

 Средняя зарплата в сельском хозяйстве ниже, чем в торговле на 23% (77-100). Средняя зарплата в сельском хозяйстве составляет 0,77 от средней зарплаты в торговле.

 По данным расчётов видно, что средняя зарплата в сельском хозяйстве ниже чем в промышленности на 9,5% (90,5-100). Иначе можно сказать, что средняя зарплата в сельском хозяйстве составляет 0,905 от средней зарплаты в оборудовании.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 27

 

Имеются следующие данные по успеваемости студентов гр. ЭБУ-11-1 Торгово-экономического колледжа по статистике за 2012 - 2013 учебный год: 5, 4, 3, 2, 4, 4, 5, 5, 4, 5, 5, 3, 3, 2, 5, 4, 2, 5, 5, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 4, 4, 3, 4, 3.

Постройте ряд распределения студентов по баллам оценок.

 

Решение.

Подсчитаем частоту, с которой встречается каждый балл оценок:

2 = 3 раза,

3= 10 раз,

4= 11 раз,

5=11 раз.

Балл оценок	2	3	4	5
Частота	3	10	11	11
Частность (относительная частота)	0,086	0,286	0,314	0,314
	(3/35)	(10/35)	(11/35)	(11/35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

 

1. Сергеева И. И. Статистика. Москва ИД «Форум» - ИНФРА-М 2009. 272 с. – (Профессиональное образование). ISBN 978-5-8199-0205-9 (ИД «Форум»), ISBN 978-5-16 -002440-0 (ИНФРА-М).
2. Под редакцией Елисеевой И. И. Статистика. Москва Юрайт 2012.- 483 с.- (Бакалавр: Базовый курс). ISBN 978-5-9916-1863-2.
3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – Изд. 5-е, перераб. и доп. - Москва "Финансы и статистика" 2004. - 656 с: ил. ISBN 5-279-02414-7
4. Конспект Лекций по курсу «Общая теория статистики» для студентов очной формы обучения.
5. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%F2%E0%F2%E8%F1%F2%E8%EA%E0