Контрольная работа по "Статистике"

Задание 1.

На основании исходных данных, выданных преподавателем, необходимо:

1. Построить интервальный ряд распределения, определив величину интервала с помощью формулы Стерджесса.
2. Определить показатели центра распределения.
3. Вычислить показатели вариации.
4. Рассчитать показатели формы распределения.
5. Проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона (или Романовского)

Задание 2.

Считая первые 4 значения первой строки исходных данных уровнями интервального временного ряда, определить показатели динамики. При расчете базисных показателей в качестве базы сравнения принять первый уровень ряда.

Задание 3.

Считая исходные данные 10%-ой простой случайной бесповторной выборкой определить:

1. Пределы, в которых будет находиться генеральное среднее значение признака для всей совокупности с доверительной вероятностью 0.954.  
2. Пределы в которых будет находиться генеральная доля единиц совокупности, обладающих значением признака большим или равным нижней границе 5-го интервала, с доверительной вероятностью 0.997.
3. Объем выборки, обеспечивающий получение среднего значения признака с предельной ошибкой не превышающей (σ/5), и вероятностью 0.954.

 

Вариант № 38

48	53	20	19	24	23	36	21	32	34
29	16	41	35	47	30	49	33	16	36
22	32	13	35	24	32	29	20	49	18
46	43	15	28	25	41	36	10	42	31
42	23	40	19	40	16	23	22	20	47

 

Задание 1.

1. Построение интервального вариационного ряда распределения

Ряд распределения представляет собой таблицу, которая состоит  из двух основных колонок. В первой указываются значения, которые принимает признак в изучаемой совокупности, а во второй – количество, того или иного значения, т.е. частота. Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный ряд распределения. При его построении отдельные значения признака указываются в первой колонке в виде интервалов «от - до».

 

 

Для построения интервального  ряда вначале определяем размер интервала:

,

где x_max – максимальное значение признака в совокупности =53

x_min - минимальное значение признака в совокупности =10

m – число интервалов =50

Количество интервалов определим с помощью формулы  Стерджесса:

,

где n – объем совокупности (количество исходных значений). В нашем случае n=50.

Количество интервалов обязательно должно быть целым числом. Поскольку формула Стерджесса дает лишь приблизительную оценку количества интервалов, то можно принять либо m=6, либо m=7. Тогда размер интервала будет равен:

Для удобства дальнейших вычислений примем  m=7.

Определяем границы  интервалов. Нижняя граница первого  интервала равна минимальному значению признака в совокупности, т.е. в нашем  случае равна 10. Верхняя граница первого интервала равна нижней границе плюс размер интервала, т.е. 10+7=17. Нижняя граница второго интервала равна верхней границе первого, т.е. 17. Верхняя граница второго интервала равна нижней границе второго интервала плюс размер интервала, т.е. 10+7=17 и т.д. В итоге получаем границы для семи интервалов. Заносим границы интервалов в таблицу (табл. 1, колонка 2).

Далее подсчитываем количество значений признака из заданной совокупности, попавших в тот или иной интервал и заносим это число в колонку «Частота». Если значение попадает на границу между k-ым и (k+1)-ым интервалами, то его относят в (k+1)-ый интервал. Сумма всех частот обязательно должна совпадать с объемом совокупности (в нашем случае со значением 50).

Вычисляем частости, т.е. частоты, выраженные в процентах к общему объему совокупности:

;

;   ;

;    ;

 ;     ;

 

 

 

Таблица 1.

Интервальный ряд распределения

№ Инт.	Значение признака (х) от - до	Частота (f)	Частость (w), %	Накопленная частота (S)	Плотность распределения (ρ)
1	10 – 17	6	12	6	0.857
2	17 – 24	12	24	18	1.714
3	24 – 31	7	14	25	1
4	31 – 38	11	22	36	1.571
5	38 – 45	7	14	43	1
6	45 – 52	6	12	49	0.857
7	52 – 59	1	2	50	0.143
итого:		50	100	-	-

  

Накопленная частота вычисляется по формуле:

 

; ;  ; ; ; ;

Последнее значение накопленной  частоты должно быть равно объему совокупности.

Плотность распределения показывает сколько единиц совокупности приходятся на единицу длины интервала:

.

     ; 

  ;

 ;         ;

Строим графические изображения  ряда распределения.

Рис. 1. Структурная диаграмма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2. Полигон распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 2.Гистограмма распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 4. Кумулятивная кривая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Определение показателей центра распределения

 

К показателям центра распределения относятся: средняя  арифметическая, мода и медиана.

 

Средняя арифметическая

где x_i –середина i-го интервала.

 

Для нахождения моды по интервальному  ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с  максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 31 до 38 (4-й интервал). Далее величину моды вычисляем по формуле  

,

где – нижняя граница модального интервала = 31

- размер модального интервала  = 7

- частота модального интервала  = 11

- частота интервала, предществующего модальному =7

- частота интервала, следующего  за модальным = 7 

Для нахождения медианы по интервальному ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый с верху интервал, в котором накопленная частота равна 25 – это интервал от 24до 31 (в нем накопленная частота равна 25), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы вычисляется  по формуле

где – нижняя граница медианного интервала = 24

- размер медианного интервала =7

- частота медианного интервала  = 7

- накопленная частота интервала, предществующего медианному =18

 

 

3. Определение показателей вариации

 

Для характеристики изменчивости отдельных значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации. 

 

Абсолютные показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

 

Дисперсия

 

Среднее квадратическое отклонение

 

Относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции

 

Относительное линейное отклонение

 

Коэффициент вариации

 

4. Определение показателей формы распределения

 

Показатель асимметрии

 

Если As < 0, то асимметрия левосторонняя.

Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

 

Показатель  эксцесса (островершинности)

,

где μ₄ – центральный момент 4-го порядка

Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное.

 

5. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону

 

Теоретические частоты  для нормального распределения  вычисляются по формуле

 

Таблица 2

Вычисление теоретических  частот

№ Инт.	Середина интервала
1	13.5	- 1.178	0.307	3.4
2	20.5	- 0.450	0.637	7
3	27.5	- 0.07	0.932	10.3
4	34.5	- 0.025	0.975	10.7
5	41.5	- 0.328	0.720	7.9
6	48.5	- 0.974	0.377	4.1
7	55.5	- 1.964	0.140	1.5

 

По результатам вычислений строим график (рис. 5).

 

 

Рис. 5. Эмпирическое и  теоретическое распределения

 

Для проверки соответствия эмпирического и теоретического

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

Применение критерия Пирсона требует выполнения следующих  условий:

1)  число наблюдений должно быть достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

2) теоретические частоты в интервалах должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов –последнего и предпоследнего. Таким образом из 7 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 6.

Таблица 3

Расчет критерия Пирсона

№ Инт.	fi
1	6		3.4		1.988
2	12		7		0.714
3	7		10.3		1.057
4	11		10.7		0.008
5	7		7.9		1
6	6 1	7	4.1 1.5	5.5	0.409
7
χ2=					4.176

 

Применение критерия согласия Пирсона требует использования специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где γ=m^*-l-1 – число степеней свободы;

m^* - число интервалов после объединения (в нашем случае m^* =6);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).