Контрольная работа по "Статистике"

а) с предыдущим уровнем  при цепном способе;

б) с начальным уровнем при  базисном способе.

,       

где у_i – i-ый уровень ряда,

      у_{i – 1} – i-1-ый уровень ряда.

,        

где у_i – i-ый уровень ряда,

       у₁ – начальный, базисный уровень ряда.

Между цепным и базисным абсолютным приростом существует взаимосвязь – сумма цепных дает соответствующий базисный абсолютный прирост.

Темп роста (Т_р) – это соотношение последующего уровня ряда к предыдущему (цепные темпы роста) или постоянному, принятому за базу сравнения (базисные темпы роста):

Цепные коэффициенты (темпы) роста рассчитываются по формуле:

,  

где у_i – i-ый уровень ряда,

      у_{i – 1} – i-1-ый уровень ряда.

 базисные коэффициенты (темпы) роста рассчитываются  по формуле:

, 

где у_i – i-ый уровень ряда,

 у₁ – начальный, базисный уровень ряда.

Цепной способ характеризует  последовательное изменение, а базисный способ – изменение нарастающим  итогом.

Между цепными и базисными  темпами роста существует взаимосвязь  – произведение цепных темпов роста  дает соответствующий базисный темп роста.

Темп прироста показывает, на сколько процентов изменяется данный уровень по сравнению:

а) с предыдущим уровнем  ряда при цепном способе,

б) с базисным, начальным  уровнем ряда при базисном способе.

,  

где  - цепной абсолютный прирост i-го уровня ряда,

        у_{i – 1} – i-1-ый уровень ряда.

,

где - базисный абсолютный прирост i-го уровня ряда,

       у₁ – начальный, базисный уровень ряда.

Темп прироста обычно выражается в процентах и показывает, на сколько процентов увеличился (+) или уменьшился (-) текущий уровень по сравнению с предыдущим (базисным).

Темп прироста также  можно определить исходя из темпа  роста:

,

, 

где - цепной темп роста (в коэффициентах или в процентах).

,

,

где - базисный темп роста (в коэффициентах или в процентах).

Результаты расчетов по вышеприведенным формулам за 2003 – 2009 гг поквартально представлены в таблице 4.

 

Таблица 4

год	квартал	выручка	Абсолютный прирост		Темп роста, %		Темп прироста, %
			Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной
2004	1	5 524,3	-	-	-	-	-	-
	2	5 742,4	218,0	218,0	103,9%	103,9%	3,9%	3,9%
	3	6 060,6	536,3	318,2	109,7%	105,5%	9,7%	5,5%
	1	6 543,8	1 019,5	483,2	118,5%	108,0%	18,5%	8,0%
2005	4	6 772,4	1 248,1	228,6	122,6%	103,5%	22,6%	3,5%
	2	6 864,3	1 340,0	91,9	124,3%	101,4%	24,3%	1,4%
	1	7 630,4	2 106,1	766,1	138,1%	111,2%	38,1%	11,2%
	3	7 945,5	2 421,1	315,1	143,8%	104,1%	43,8%	4,1%
2006	2	7 990,4	2 466,1	44,9	144,6%	100,6%	44,6%	0,6%
	3	8 858,5	3 334,1	868,1	160,4%	110,9%	60,4%	10,9%
	3	8 938,8	3 414,4	80,3	161,8%	100,9%	61,8%	0,9%
	4	8 941,1	3 416,8	2,4	161,8%	100,0%	61,8%	0,0%
2007	4	9 371,7	3 847,3	430,5	169,6%	104,8%	69,6%	4,8%
	1	9 489,6	3 965,2	117,9	171,8%	101,3%	71,8%	1,3%
	1	9 879,9	4 355,6	390,3	178,8%	104,1%	78,8%	4,1%
	1	10 024,9	4 500,5	144,9	181,5%	101,5%	81,5%	1,5%
2008	2	10 078,4	4 554,1	53,5	182,4%	100,5%	82,4%	0,5%
	2	10 078,5	4 554,1	0,1	182,4%	100,0%	82,4%	0,0%
	3	10 140,8	4 616,5	62,3	183,6%	100,6%	83,6%	0,6%
	3	10 234,0	4 709,7	93,2	185,3%	100,9%	85,3%	0,9%
2009	4	10 255,5	4 731,2	21,5	185,6%	100,2%	85,6%	0,2%
	4	10 388,6	4 864,2	133,1	188,1%	101,3%	88,1%	1,3%
	2	10 468,8	4 944,4	80,2	189,5%	100,8%	89,5%	0,8%
	4	10 499,8	4 975,5	31,1	190,1%	100,3%	90,1%	0,3%

 

Средний уровень и  среднегодовой темп ряда динамики

Средний уровень ряда = (у₁ + у₂ + …. + у_n) / n = 8696,8 тыс.руб.

Среднегодовой абсолютный прирост определяется по формуле

∆у_ср = ∑∆у_цепн / (n - 1), где

n – число цепных (погодовых) абсолютных приростов.

∆у_ср = 216,3 тыс.руб.

Средний темп роста можно  определить исходя из цепных коэффициентов (темпов) роста:

,

или абсолютных уровней  ряда (базисного темпа роста):

,

где - соответствующие цепные темпы роста (y_i / y_i-1),

       - базисный темп роста за весь период (y_n / y₀),

       n-1 – количество изменений за данный период. 

Тр_ср = 1,0283 = 102,83 %

Средний темп прироста ( ) – характеризует темп прироста в среднем за период  и определяется на основе среднего темпа роста:

,

, 

где - средний темп роста (в коэффициентах или в процентах).

Тпр_ср = 2,83%

Произведем выравнивание ряда методом скользящей трехчленной  средней.

Результаты выравнивания в таблице 5.

Таблица 5

год	квартал	выручка	Скользящая  средняя
2004	1	5 524,3
	2	5 742,4	5775,8
	3	6 060,6	6191,8
	4	6 772,4	6459,0
2005	1	6 543,8	6726,9
	2	6 864,3	7117,9
	3	7 945,5	7917,0
	4	8 941,1	8172,3
2006	1	7 630,4	8187,3
	2	7 990,4	8159,8
	3	8 858,5	8740,2
	4	9 371,7	9239,9
2007	1	9 489,6	9776,7
	2	10 468,8	9632,4
	3	8 938,8	9887,7
	4	10 255,5	9691,4
2008	1	9 879,9	10071,3
	2	10 078,4	10064,1
	3	10 234,0	10233,7
	4	10 388,6	10215,8
2009	1	10 024,9	10164,0
	2	10 078,5	10081,4
	3	10 140,8	10239,7
	4	10 499,8

 

График исходных и  выровненных данных представлен  на рис.2

Рис.2

Выявим наличие тренда в рассматриваемых рядах при  помощи проверки существенности разности средних.

За основу проверки берется t-критерий Стьюдента. При t ≥ t_табл гипотеза об отсутствии тренда отвергается, и наоборот, при t меньше или равном tα гипотеза (H₀ ) принимается. Здесь t - расчетное значение, найденное для анализируемых данных. t_табл - табличное значение критерия при уровне вероятности ошибки, равном α. Разделим совокупность на две части – данные за 2004 год – 2006 года и 2007 – 2009 гг.

В случае равенства или  при несущественном различии дисперсий  двух исследуемых совокупностей  определение расчетного значения t производится по формуле:

где и - средние для первой и второй половин ряда динамики;

n₁ и n₂ — число наблюдений в этих рядах;

σ — среднеквадратическое отклонение разности средних, определяемое по формуле:

Дисперсии для первой и второй частей ряда рассчитываются по формуле:

Дисперсия для первой половины выборки  = 1 685 169

Дисперсия для второй половины выборки  =159 954,6

= 3216,55

= -2,045

Табличное значение t-критерия Стьюдента составляет при m = n – к – 1, к = 1 и α = 0,05

Tтабл = 2,07

Поскольку tрасч < t табл, то гипотеза об отсутствии тренда принимается.

Произведем аналитическое  выравнивание ряда при помощи уравнения прямой, которая имеет вид

У = а + bt, где

У – численность незанятых

t – фактор времени

а и b – параметры уравнения

а = ∑у / n

b = ∑у*t / ∑t²

Для расчета параметров уравнения составим таблицу 6.

Таблица 6

год	квартал	выручка	t	уt	t2	урасч
2004	1	5 524,3	-23	-127060	529	6197,4
	2	5 742,4	-21	-120590	441	6414,7
	3	6 060,6	-19	-115152	361	6632,0
	4	6 772,4	-17	-115132	289	6849,4
2005	1	6 543,8	-15	-98157,5	225	7066,7
	2	6 864,3	-13	-89236,3	169	7284,1
	3	7 945,5	-11	-87400,3	121	7501,4
	4	8 941,1	-9	-80470,3	81	7718,8
2006	1	7 630,4	-7	-53412,9	49	7936,1
	2	7 990,4	-5	-39952,1	25	8153,4
	3	8 858,5	-3	-26575,5	9	8370,8
	4	9 371,7	-1	-9371,67	1	8588,1
2007	1	9 489,6	1	9489,598	1	8805,5
	2	10 468,8	3	31406,27	9	9022,8
	3	8 938,8	5	44693,87	25	9240,2
	4	10 255,5	7	71788,63	49	9457,5
2008	1	9 879,9	9	88919,42	81	9674,8
	2	10 078,4	11	110862,6	121	9892,2
	3	10 234,0	13	133042,4	169	10109,5
	4	10 388,6	15	155828,6	225	10326,9
2009	1	10 024,9	17	170422,8	289	10544,2
	2	10 078,5	19	191491,3	361	10761,6
	3	10 140,8	21	212957,2	441	10978,9
	4	10 499,8	23	241496,3	529	11196,2
Итого		208 723,2		499888,9	4600

а = ∑у / n = 8696,8

b = ∑у*t / ∑t² = 499 888,9 / 4600 = 108,67

Уравнение ряда имеет  вид

У = 8696,8 + 108,67t

Эмпирические и аналитические  значения представлены на рисунке 3.

Рис.3

Сделаем прогноз на 3 периода вперед при помощи уравнения.

Прогноз величины выручки на первый квартал 2010 года = 8696,8 + 108,67t  = 8696,8 + 108,67* 25 =11 413,55 тыс.руб.

Прогноз величины выручки на второй квартал 2010 года = 8696,8 + 108,67t  = 8696,8 + 108,67* 27 = 11630,89 тыс.руб.

Прогноз величины выручки на третий квартал 2010 года = 8696,8 + 108,67t  = 8696,8 + 108,67* 29 = 11848,23 тыс.руб.

Расчет индексов сезонности

Индекс сезонности можно  рассчитать как процентное отношение  средней величины из фактический  уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню

В данном случае нет зависимости  величины выручки от сезона, поэтому  анализ сезонности не имеет значения.

Проведем экспоненциальное сглаживание динамического ряда при помощи пакета анализ данных Excel (вкладка «экспоненциальное сглаживание»). Результаты расчета представлены в таблице 7.

Таблица 7

год	квартал	выручка	экспоненциальное сглаживание
2004	1	5 524,3
	2	5 742,4	5 524,3
	3	6 060,6	5 677,0
	4	6 772,4	5 945,5
2005	1	6 543,8	6 524,4
	2	6 864,3	6 538,0
	3	7 945,5	6 766,4
	4	8 941,1	7 591,8
2006	1	7 630,4	8 536,3
	2	7 990,4	7 902,2
	3	8 858,5	7 963,9
	4	9 371,7	8 590,1
2007	1	9 489,6	9 137,2
	2	10 468,8	9 383,9
	3	8 938,8	10 143,3
	4	10 255,5	9 300,1
2008	1	9 879,9	9 968,9
	2	10 078,4	9 906,6
	3	10 234,0	10 026,9
	4	10 388,6	10 171,9
2009	1	10 024,9	10 323,6
	2	10 078,5	10 114,5
	3	10 140,8	10 089,3
	4	10 499,8	10 125,4