Контрольная работа по "Статистике"

Номер предприятия, №	Фондовооруженность рабочих, тыс.руб, xi	Стоимость продукции, млн.руб, yi
1	5,10	6,18
2	4,27	2,86
4	5,15	7,20
5	5,20	6,36
7	4,90	3,12
8	5,11	5,78
9	5,30	6,42
10	5,10	4,80
11	5,25	5,60
13	4,90	5,83
14	5,80	6,07
15	6,20	7,98
16	5,15	4,90
20	5,00	5,96
22	3,95	4,19
23	4,10	3,90
26	3,97	4,88
27	4,64	4,95
28	4,5	3,99
32	4,17	5,24
34	5,38	5,97
35	5,05	4,86
38	4,87	5,29
40	5,20	4,93
42	5,17	4,97
44	5,35	5,78
46	5,43	4,93
48	5,67	4,96
49	6,48	5,91
50	6,25	5,90

 

Факторный признак – фондовооруженность рабочих основными фондами (x); результативный признак – стоимость продукции, выпушенной и реализованной в отчетном году (y).

1. Первичная информация проверяется на однородность по признаку-фактору с помощью коэффициента вариации: Vx = σx / x * 100; x = ∑x / n = (5,1 + 4,27 + 5,15 + 5,2 + 4,9 + 5,11 + 5,3 + 5,1 + 5,25 + 4,9 + 5,8 + 6,2 + 5,15 + 5 + 3,95 + 4,1 + 3,97 + 4,64 + 4,5 + 4,17 + 5,38 + 5,05 + 4,87 + 5,2 + 5,17 + 5,35 + 5,43 + 5,67 + 6,48 + 6,25) / 30 = 152,61 / 30 = 5,087

Для расчета σx воспользуемся вспомогательной таблицей:

 

 

№	xi	x - x	(x – x)²
1	5,10	0,013	0,000169
2	4,27	-0,817	0,667489
4	5,15	0,063	0,003969
5	5,20	0,113	0,012769
7	4,90	-0,187	0,034969
8	5,11	0,023	0,000529
9	5,30	0,213	0,045369
10	5,10	0,013	0,000169
11	5,25	0,163	0,026569
13	4,90	-0,187	0,034969
14	5,80	0,713	0,508369
15	6,20	1,113	1,238769
16	5,15	0,063	0,003969
20	5,00	-0,087	0,007569
22	3,95	-1,137	1,292769
23	4,10	-0,987	0,974169
26	3,97	-1,117	1,247689
27	4,64	-0,447	0,199809
28	4,5	-0,587	0,344569
32	4,17	-0,917	0,840889
34	5,38	0,293	0,085849
35	5,05	-0,037	0,001369
38	4,87	-0,217	0,047089
40	5,20	0,113	0,012769
42	5,17	0,083	0,006889
44	5,35	0,263	0,069169
46	5,43	0,343	0,117649
48	5,67	0,583	0,339889
49	6,48	1,393	1,940449
50	6,25	1,163	1,352569

 

σx = √∑(x - x)² / n = √11,45923/30 = 0,618

Vx = 0,618 / 5,087 * 100 = 12,15% < 33%

Следовательно, совокупность можно считать однородной.

Проверим первичную информацию на нормальность распределения с помощью правила «трех сигм».

Интервалы для значений признака фактора: (x ± σx); (x ± 2σx); (x ± 3σx), то есть (5,087 – 0,618) – (5,087 + 0,618); (5,087 – 1,236) – (5,087 + 1,236); (5,087 – 1,854) – (5,087 + 1,854).

4,469 – 5,705; 3,851 – 6,323; 3,233 – 6,941.

Интервалы значений признака x, тыс.руб	Число единиц, входящих в интервал	Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, в общем числе, %	Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, при нормальном распределении, %
4,469 – 5,705	21	70	68,3
3,851 – 6,323	29	96,7	95,4
3,233 – 6,941	30	100	99,7

 

Первичная информация по признаку-фактору не подчиняется закону нормального распределения, однако это не является основанием для отказа использования корреляционно-регрессионного анализа.

Исключение из первичной информации резко выделяющихся единиц, которые по признаку фактору не попадают в интервал x – 3σx ≤ xi ≤ x + 3σx, то есть по имеющимся данным: 5,087 – 1,854 ≤ xi ≤ 5,087 + 1,854; 3,233 ≤ xi ≤ 6,941.  
Резко выделяющихся единиц в первичной информации нет.

2. Произведем аналитическую группировку по признаку-фактору. Число групп:

m = 1 + 3,322*lgn = 1 + 3,322*lg30 = 1 + 3,322 * 1,477 = 5,9 ~ 5.

Величина интервала:

i = (xmax – xmin) / m = (6,48 – 3,95) / 5 = 0,506.

 

Фондовооруженность рабочих, тыс.руб	3,95 – 4,456	4,457 – 4,962	4,963 – 5,468	5,469 – 5,974	5,975 – 6,48
Номер предприятия	2; 22; 23; 26; 32	7; 13; 27; 28; 38	1; 4; 5; 8; 9; 10; 11; 16; 20; 34; 35; 40; 42; 44; 46	14; 48	15; 49; 50

 

Фондовооруженность рабочих, тыс.руб	Число предприятий, fi	S
3,95 – 4,456	5	5
4,456 – 4,962	5	10
4,962 – 5,468	15	25
5,468 – 5,974	2	27
5,974 – 6,48	3	30

 

Как видно из данных групповой таблицы, с увеличением фондовооруженность рабочих возрастает средняя стоимость  продукции.

x = ∑xi´fi/∑fi = (4,203*5 + 4,709*5 + 5,215*15 + 5,721*2 + 6,227*3) / 30 ~ 5,1

Mo = X^HMo + iMo(fMo – fMo-1) / (fMo – fMo-1) + (fMo – fMo+1) = 4,963 + 0,506(15 – 5)/ (15 – 5) + (15 – 2) = 5,183

Me = X^HMe + iMe(NMe – S(-1)) / fMe

NMe = n/2 = 15

Me = 4,963 + 0,506(25 – 10) / 15 = 5,469

Me ≠ Mo ≠ x, следовательно, распределение не является симметричным.

R = Xmax – Xmin = 2,53

d = ∑|xi - x|fi / ∑fi = (|4,203 – 5,1|*5 + |4,709 – 5,1|*5 + |5,215 – 5,1|*15 + |5,721 – 5,1|*2 + |6,227 – 5,1|*3) / 30 ~ 12,8

σ² = ∑(xi – x)²fi / ∑fi = = ((4,203 – 5,1)²*5 + (4,709 – 5,1)²*5 + (5,215 – 5,1)²*15 + (5,721 – 5,1)²*2 + (6,227 – 5,1)²*3) / 30 ~ 9,53

σ ~ 3,1

KR = (Xmax – Xmin)*100 / x = 49%

Kd = d*100 / x = 250%

Vx = 12,15%

As = (Me – Mo) / σ ~ 0,46

4. x - ∆x ≤ x ≤ x + ∆x

x = ∑xi´fi/∑fi ~ 5,1

∆x = tµx

P = 0,954, следовательно, t = 2

µx = √S²/n * (1 – n/N)

S² = ∑(xi´ - x)²fi / ∑fi ~ 9,53

µx = 9,53/30 * (1 – 30/300) ~ 0,285

∆x = 0,285*2 = 0,57

4,53 ≤ x ≤ 5,67

 

 

5. а)

Фондовооруженность рабочих, тыс.руб	3,95 – 4,456	4,457 – 4,962	4,963 – 5,468	5,469 – 5,974	5,975 – 6,48
Номер предприятия	2; 22; 23; 26; 32	7; 13; 27; 28; 38	1; 4; 5; 8; 9; 10; 11; 16; 20; 34; 35; 40; 42; 44; 46	14; 48	15; 49; 50
Стоимость продукции, млн.руб	2,86; 4,19; 3,9; 4,88; 5,24	3,12; 5,83; 4,95; 3,99; 5,29	6,18; 7,2; 6,36; 5,78; 6,42; 4,8; 5,6; 4,9; 5,96; 5,97; 4,86; 4,93; 4,97; 5,78; 4,93	6,07; 4,96	7,98; 5,91; 5,9

 

Фондовооруженность рабочих, тыс.руб	Число предприятий, fi	∑yi	Средняя стоимость продукции, млн.руб, yi
3,95 – 4,456	5	21,07	4,214
4,456 – 4,962	5	23,18	4,636
4,962 – 5,468	15	77,94	5,196
5,468 – 5,974	2	11,03	5,515
5,974 – 6,48	3	19,79	6,6
Итого	30	159,71	-

 

Как видно из групповой таблицы, с увеличением фондовооруженность рабочих возрастает и стоимость  продукции.

Эмпирическая линия связи приближается к прямой линии. Следовательно, можно считать наличие прямолинейной корреляции.

б) σo² = σj² + δ²

σo² = ∑(yi – yo)²/n

yo = ∑yi/n = (6,18 + 2,86 + … + 5,9)/30 = 159,71/30 ~ 5,3

σo² = ((6,18 – 5,3)² + (2,86 – 5,3)² + … + (5,9 – 5,3)²)/30 ~ 1,12

σ1² = ∑(yi1 – y1)²/n = ((2,86 - 4,214)² + (4,19 - 4,214)² + (3,9 - 4,214)² + (4,88 - 4,214)² + (5,24 - 4,214)²)/5 ~ 0,7

σ2² = ((3,12 - 4,636)²+ (5,83 - 4,636)²+ (4,95 - 4,636)²+ (3,99 - 4,636)² + (5,29 - 4,636)²)/5 ~ 0,9

σ3² = ((6,18 – 5,196)² + ... + (4,93 – 5,196)²)/15 ~ 0,7

σ4² ~ 0,31

σ5² = 0,96

σj² = ∑σj²nj / ∑nj = 0,73

δ² = ∑(yj – yo)nj / ∑nj = (5*(4,214 – 5,3)² + 5*(4,636 – 5,3)² + 15*(5,196 – 5,3)² + 2*(5,515 – 5,3)² + 3*(6,6 – 5,3)²)/30 = 0,45

σo² = 0,73 + 0,45 = 1,18

η = √δ²/σo² = 0,45 / 1,18 ~ 0,62 => 62%, следовательно, связь существенна.

в) Для измерения степени тесноты используется линейный коэффициент корреляции:

r = (∑xy - ∑x*∑y/n) / √[∑x² - (∑x)²/n][ ∑y² – (∑y)²/n]

№ предприятия	Фондовооруженность рабочих, x	Стоимость продукции, y	x²	y²	xy
1	5,10	6,18	26,01	38,1924	31,518
2	4,27	2,86	18,2329	8,1796	12,2122
4	5,15	7,20	26,5225	51,84	37,08
5	5,20	6,36	27,04	40,4496	33,072
7	4,90	3,12	24,01	9,7344	15,288
8	5,11	5,78	26,1121	33,4084	29,5358
9	5,30	6,42	28,09	41,2164	34,026
10	5,10	4,80	26,01	23,04	24,48
11	5,25	5,60	27,5625	31,36	29,4
13	4,90	5,83	24,01	33,9889	28,567
14	5,80	6,07	33,64	36,8449	35,206
15	6,20	7,98	38,44	63,6804	49,476
16	5,15	4,90	26,5225	24,01	25,235
20	5,00	5,96	25	35,5216	29,8
22	3,95	4,19	15,6025	17,5561	16,5505
23	4,10	3,90	16,81	15,21	15,99
26	3,97	4,88	15,7609	23,8144	19,3736
27	4,64	4,95	21,5296	24,5025	22,968
28	4,5	3,99	20,25	15,9201	17,955
32	4,17	5,24	17,3889	27,4576	21,8508
34	5,38	5,97	28,9444	35,6409	32,1186
35	5,05	4,86	25,5025	23,6196	24,543
38	4,87	5,29	23,7169	27,9841	25,7623
40	5,20	4,93	27,04	24,3049	25,636
42	5,17	4,97	26,7289	24,7009	25,6949
44	5,35	5,78	28,6225	33,4084	30,923
46	5,43	4,93	29,4849	24,3049	26,7699
48	5,67	4,96	32,1489	24,6016	28,1232
49	6,48	5,91	41,9904	34,9281	38,2968
50	6,25	5,90	39,0625	34,81	36,875
	152,61	159,71	787,7863	884,2307	824,3266