Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Марта 2014 в 08:42, контрольная работа
Задача 1. Построить экспериментальную и теоретическую кривые распределения плотности вероятностей результатов испытания образцов из бетона и определить близость распределения к нормальному с помощью χ2 критерия.
Задача 2. Вычислить коэффициенты уравнения регрессии. Определить выборочный коэффициент корреляции между плотностью древесины маньчжурского ясеняи его прочностью. Необходимо: построить поле корреляции, по виду поля определить вид зависимости, написать общий вид уравнения регрессии Y на Х, определить коэффициенты уравнения регрессии и вычислить коэффициент корреляции между двумя заданными величинами.
Задача 1.
Построить экспериментальную и теоретическую кривые распределения плотности вероятностей результатов испытания образцов из бетона и определить близость распределения к нормальному с помощью χ2 критерия.
Табл.1
строка |
Значения параметров по интервалам прочности, МПа |
Число значений прочности в области каждого интервала mi |
1 |
38,1 - 40 |
6 |
2 |
40,1 - 42 |
15 |
3 |
42,1 - 44 |
19 |
4 |
44,1 - 46 |
32 |
5 |
46,1 - 48 |
39 |
6 |
48,1 - 50 |
46 |
7 |
50,1 - 52 |
48 |
8 |
52,1 - 54 |
41 |
9 |
54,1 - 56 |
22 |
10 |
56,1 - 58 |
14 |
11 |
58,1 - 60 |
7 |
Решение.
Найдем плотность вероятностей для каждого интервала.
Длина интервала h=40-38,1=1,9
Табл.2
Строка |
Значения параметров по интервалам прочности, МПа |
Середина интервала, хi |
Число значений прочности в области каждого интервала mi |
Относительные частоты, wi= mi/n= mi/289 |
1 |
38,1 - 40 |
39,05 |
6 |
0,021 |
2 |
40,1 - 42 |
41,05 |
15 |
0,052 |
3 |
42,1 - 44 |
43,05 |
19 |
0,066 |
4 |
44,1 - 46 |
45,05 |
32 |
0,111 |
5 |
46,1 - 48 |
47,05 |
39 |
0,135 |
6 |
48,1 - 50 |
49,05 |
46 |
0,159 |
7 |
50,1 - 52 |
51,05 |
48 |
0,166 |
8 |
52,1 - 54 |
53,05 |
41 |
0,142 |
9 |
54,1 - 56 |
55,05 |
22 |
0,076 |
10 |
56,1 - 58 |
57,05 |
14 |
0,048 |
11 |
58,1 - 60 |
59,05 |
7 |
0,024 |
Итого |
- |
- |
289 |
1 |
Экспериментальную кривую представим как полигон распределения относительных частот.
Графическое изображение указывает на нормальное распределение параметров прочности.
Рис.1
Найдем параметры нормального распределения , где
- математическое ожидание,
- среднее квадратическое отклонение.
Составим расчетную таблицу.
Табл.3
N |
xi |
wi |
xi2 |
хiwi |
xi2wi |
1 |
39,05 |
0,021 |
1524,9 |
0,820 |
32,02 |
2 |
41,05 |
0,052 |
1685,1 |
2,135 |
87,62 |
3 |
43,05 |
0,066 |
1853,3 |
2,841 |
122,32 |
4 |
45,05 |
0,111 |
2029,5 |
5,000 |
225,27 |
5 |
47,05 |
0,135 |
2213,7 |
6,352 |
298,85 |
6 |
49,05 |
0,159 |
2405,9 |
7,799 |
382,54 |
7 |
51,05 |
0,166 |
2606,1 |
8,474 |
432,61 |
8 |
53,05 |
0,142 |
2814,3 |
7,533 |
399,63 |
9 |
55,05 |
0,076 |
3030,5 |
4,184 |
230,32 |
10 |
57,05 |
0,048 |
3254,7 |
2,738 |
156,22 |
11 |
59,05 |
0,024 |
3486,9 |
1,417 |
83,68 |
- |
- |
Итого |
49,293 |
2451,08 |
а=49,293; σ2=2451,08-49,2932=21,28; σ=4,613
Т.е. теоретическая функция распределения имеет вид: .
Построим ее график этой функции.
Рис.2
Проверим близость распределения к нормальному с помощью χ2 критерия.
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что n=289, h=1,9, σ=4,613.
Тогда .
Составим расчетную таблицу.
Табл.4
N |
xi |
φ(ui) |
||
1 |
39,05 |
-2,220 |
0,0340 |
4,047 |
2 |
41,05 |
-1,787 |
0,0808 |
9,618 |
3 |
43,05 |
-1,353 |
0,1598 |
19,021 |
4 |
45,05 |
-0,920 |
0,2614 |
31,114 |
5 |
47,05 |
-0,486 |
0,3546 |
42,208 |
6 |
49,05 |
-0,053 |
0,3985 |
47,433 |
7 |
51,05 |
0,381 |
0,3711 |
44,172 |
8 |
53,05 |
0,815 |
0,2863 |
34,078 |
9 |
55,05 |
1,248 |
0,1832 |
21,806 |
10 |
57,05 |
1,682 |
0,0970 |
11,546 |
11 |
59,05 |
2,115 |
0,0427 |
5,083 |
Сравним эмпирические и теоретические частоты.
Составим расчетную таблицу, в которой определим наблюдаемое значение критерия .
Табл.5
i |
ni |
n’i |
ni- n’i |
(ni- n’i)2 |
|
1 |
6 |
4,047 |
1,953 |
3,814 |
0,942 |
2 |
15 |
9,618 |
5,382 |
28,966 |
3,012 |
3 |
19 |
19,021 |
-0,021 |
0,0004 |
0 |
4 |
32 |
31,114 |
0,886 |
0,785 |
0,025 |
5 |
39 |
42,208 |
-3,208 |
10,291 |
0,244 |
6 |
46 |
47,433 |
-1,433 |
2,054 |
0,043 |
7 |
48 |
44,172 |
3,828 |
14,654 |
0,332 |
8 |
41 |
34,078 |
6,922 |
47,914 |
1,406 |
9 |
22 |
21,806 |
0,194 |
0,038 |
0,002 |
10 |
14 |
11,546 |
2,454 |
6,022 |
0,522 |
11 |
7 |
5,083 |
1,917 |
3,675 |
0,723 |
- |
- |
- |
- |
∑= |
7,251 |
Найдем по таблице
критических точек по
Т.к. , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно.
Задача 2.
Вычислить коэффициенты уравнения регрессии. Определить выборочный коэффициент корреляции между плотностью древесины маньчжурского ясеняи его прочностью.
Необходимо: построить поле корреляции, по виду поля определить вид зависимости, написать общий вид уравнения регрессии Y на Х, определить коэффициенты уравнения регрессии и вычислить коэффициент корреляции между двумя заданными величинами.
Табл.6
Строка |
Плотность, кг/м3 |
Прочность, МПа |
1 |
0,55 |
35,7 |
2 |
0,69 |
51,7 |
3 |
0,65 |
43,7 |
4 |
0,65 |
43,2 |
5 |
0,68 |
46,5 |
6 |
0,64 |
46,9 |
7 |
0,59 |
44,2 |
8 |
0,68 |
50,3 |
9 |
0,63 |
51,0 |
10 |
0,59 |
47,0 |
11 |
0,65 |
41,0 |
12 |
0,63 |
41,9 |
13 |
0,50 |
25,2 |
14 |
0,69 |
39,9 |
15 |
0,64 |
34,1 |
16 |
0,50 |
28,0 |
17 |
0,64 |
48,4 |
18 |
0,66 |
51,0 |
19 |
0,61 |
43,8 |
20 |
0,65 |
49,3 |
Решение.
Определим тип связи по графическому изображению. Построим поле корреляции.
Рис.3
Предположим, что зависимость линейная. Уравнение регрессии имеет вид:
где a и b определим из системы нормальных уравнений
коэффициенты системы см. в таблице
Табл. 7
№ |
х |
у |
x2 |
y2 |
xy |
y(x) |
1 |
0,55 |
35,7 |
0,3025 |
1274,49 |
19,635 |
1 |
2 |
0,69 |
51,7 |
0,4761 |
2672,89 |
35,673 |
2 |
3 |
0,65 |
43,7 |
0,4225 |
1909,69 |
28,405 |
3 |
4 |
0,65 |
43,2 |
0,4225 |
1866,24 |
28,080 |
4 |
5 |
0,68 |
46,5 |
0,4624 |
2162,25 |
31,620 |
5 |
6 |
0,64 |
46,9 |
0,4096 |
2199,61 |
30,016 |
6 |
7 |
0,59 |
44,2 |
0,3481 |
1953,64 |
26,078 |
7 |
8 |
0,68 |
50,3 |
0,4624 |
2530,09 |
34,204 |
8 |
9 |
0,63 |
51,0 |
0,3969 |
2601,00 |
32,130 |
9 |
10 |
0,59 |
47,0 |
0,3481 |
2209,00 |
27,730 |
10 |
11 |
0,65 |
41,0 |
0,4225 |
1681,00 |
26,650 |
11 |
12 |
0,63 |
41,9 |
0,3969 |
1755,61 |
26,397 |
12 |
13 |
0,50 |
25,2 |
0,3025 |
635,04 |
12,600 |
13 |
14 |
0,69 |
39,9 |
0,4761 |
1592,01 |
27,531 |
14 |
15 |
0,64 |
34,1 |
0,4096 |
1162,81 |
21,824 |
15 |
16 |
0,50 |
28,0 |
0,2500 |
784,00 |
14,000 |
16 |
17 |
0,64 |
48,4 |
0,4096 |
2342,56 |
30,976 |
17 |
18 |
0,66 |
51,0 |
0,4356 |
2601,00 |
33,660 |
18 |
19 |
0,61 |
43,8 |
0,3721 |
1918,44 |
26,718 |
19 |
20 |
0,65 |
49,3 |
0,4225 |
2430,49 |
32,045 |
20 |
∑= |
12,52 |
862,8 |
7,896 |
38281,86 |
545,99 |
- |