МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального
образования
«Санкт-Петербургский государственный университет
сервиса и экономики»
Институт региональной экономики
и управления
Контрольная работа по дисциплине «Статистика»
На тему «Анализ вариации»
Выполнила: студент 2 курса
заочной формы обучения
по специальности
080200.62 "Менеджмент"
Проверила:
Санкт-Петербург
2013
Содержание:
- Понятие вариации и ее значение.
- Вариационные ряды и их характеристики.
- Способы графического
изображения вариационных рядов.
- Моменты распределения.
- Задача.
1. Понятие
вариации и ее значение.
Вариация
- различие значений
какого-либо признака у
разных единиц совокупности за
один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения
вариации являются различные условия
существования разных единиц совокупности.
Вариация - необходимое условие существования
и развития массовых явлений. Определение
вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом
моделировании и
планировании экспертных
опросов.
По степени вариации можно судить об однородности совокупности,
устойчивости значений признака, типичности средней,
о взаимосвязи между какими-либо признаками.
2. Вариационные
ряды и их характеристики.
Первым этапом статистического изучения вариации являются построение вариационного ряда -упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (чаще) или поубывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значениемпризнака.
Существуют три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд,интервальный ряд. Вариационный ряд часто назы-вают рядом распределения. Этот терминиспользуется при изучении вариации как количественных, так и неколичественных признаков.Ряд распределения представляет собой структурную группировку (см. гл.
6).
Ранжированный ряд — это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания(убывания) изучаемого признака.
Примером ранжированного ряда может служить
табл.1
Таблица
1
Крупные банки Санкт-Петербурга, ранжированные по размерам
собственного капитала на 01.07.12
Название банка |
Собственный капитал, млрд руб. |
Петроагропромбанк 71
Петровский 146
Балтийский 196
Банк Санкт-Петербург 201
Промстройбанк 731 |
Если численность единиц совокупности достаточно велика, ранжированный ряд становитсягромоздким, а его построение, даже с помощью ЭВМ, занимает длительное время. В такихслучаях вариационный ряд строится с помощью группировки единиц совокупности по значениямизучаемого признака.
Если признак принимает небольшое число значений, строится дискретный вариационный ряд.Примером такого ряда является распределение футбольных матчей по числу забитых мячей.
Дискретный вариационный ряд - это таблица, состоящая из двух строк или граф:конкретных значений варьирующего признака хi и числа единиц совокупности с даннымзначением признака fi частот (f
- начальная буква англ. слова frequency).
Определение числа групп
Число групп в дискретном вариационном ряду определяется числом реально существующихзначений варьирующего признака. Если же признак может принимать хотя и дискретныезначения, но их число очень велико ( например, поголовье скота на 1 января года в разныхсельхозпредприятиях может составлять от нуля до десятков тысяч голов), тогда строитсяинтервальный вариационный ряд. Интервальный вариационный ряд строится и для изученияпризнаков, которые могут принимать любые, как целые, так и дробные, значения в областисвоего существования. Таковы, например, рентабельность реализованной продукции,себестоимость единицы продукции, доход на 1 жителя города, доля лиц с высшим образованиемсреди населения разных территорий и вообще все вторичные признаки, значения которыхрассчитываются путем деления величины одного первичного признака на величину другого.
Интервальный вариационный ряд представляет собой таблицу,
(состоящую из двух граф (илистрок) — интервалов признака, вариация которого изучается, и числа единиц совокупности,попадающих в данный интервал (частот), или долей этого числа от общей численностисовокупности (частостей).
При построении интервального вариационного ряда необходимо выбрать оптимальное числогрупп (интервалов признака) и установить длину интервала. Поскольку при анализевариационного ряда сравнивают частоты в разных интервалах, необходимо, чтобы величинаинтервала была постоянной. Оптимальное число групп выбирается так, чтобы в достаточноймере отразилось разнообразие значений признака в совокупности и в то же времязакономерность распределения, его форма не искажалась случайными колебаниями частот. Еслигрупп будет слишком мало, не проявится закономерность вариации; если групп будет чрезмерномного, случайные скачки частот исказят форму распределения.
Чаще всего число групп в вариационном ряду устанавливают, придерживаясь формулы,рекомендованной американским статистиком Стерджессом (Sturges):
где k - число групп; n - численность совокупности.
Эта формула показывает, что число групп - функция объема данных.
Предположим, необходимо построить вариационный ряд распределения предприятий областипо урожайности зерновых культур за какой-то год. Число сельхозпредприятий, имевших посевызерновых культур, составило 143; наименьшее значение урожайности равно 10,7 ц/га,наибольшее -
53,1 ц/га. Имеем:
Так как число групп целое, следовательно, рекомендуется построить 8 или 9 групп.
Определение величины интервала
Зная число групп, рассчитывают величину интервала:
В нашем примере величина интервала составляет:
а) при 8 группах
б) при 9 группах
Для построения ряда и анализа вариации значительно лучше иметь по возможностиокругленные значения величины интервала и его границ. Поэтому наилучшим решением будетпостроение вариационного ряда с 9 группами с интервалом, равным 5 ц/га.
Границы интервалов могут указываться разным образом: верхняя граница предыдущегоинтервала повторяет нижнюю границу следующего или неповторяет.
В последнем случае второй интервал будет обозначен как 15,1-20, третий как 20,1-25 и т.д.,т.е. предполагается, что все значения урожайности обязательно округлены до одной десятой.Кроме того, возникает нежелательное осложнение с серединой интер- вала 15,1-20, которая,строго говоря, уже будет равна не 17,5, а 17,55; соответственно при замене округленногоинтервала 40-60 на 40,1-6,0 вместо округленного значения его середины 50 получим 50,5,Поэтому предпочтительнее оставить интервалы с повторяющейся округленной границей идоговориться, что единицы совокупности, имеющие значение признака, равное границеинтервала, включаются в тот интервал, где это точное значение впервые указывается. Так,хозяйство, имеющее урожайность, равную 15 ц/га, включается в первую группу, значение 20 ц/га -во вторую и т. д.
Рисунок
1
Распределение хозяйств области по урожайности зерновых культур
Таблица
2
Группы хозяйств поурожайности,
ц/га хj |
Число хозяйств
fj |
Серединаинтервала,
ц/га хj' |
x’j |
Накопленнаячастота f’j |
10- 15 |
6 |
12,5 |
75,0 |
б |
15-20 |
9 |
17,5 |
157,5 |
15 |
20-25 |
20 |
22,5 |
450,0 |
35 |
25 -30 |
41 |
27,5 |
1127,5 |
76 |
30-35 |
26 |
32,5 |
845,0 |
102 |
35-40 |
21 |
37,5 |
787,5 |
123 |
40-45 |
14 |
42,5 |
595,0 |
137 |
45 - 50 |
5 |
47,5 |
23-7,5 |
142 |
50-55 |
1 |
52,5 |
52,5 |
143 |
Итого |
143 |
|
4327,5 |
|
Графическое изображение вариационного ряда
Существенную помощь в анализе вариационного ряда и его свойств оказывает графическоеизображение. Интервальный ряд изображается столбиковой диаграммой, в которой основаниястолбиков, расположенные на оси абсцисс, — это интервалы значений варьирующего признака,а высоты столбиков - частоты,
-соответствующие масштабу по оси ординат.
Графическоеизображение распределения хозяйств области по урожайности зерновых культур
приведено на рис.1. Диаграмма этого рода часто называется гистограммой (от греческого слова «гистос»
-ткань, строение).
Данные табл.2 и рис.1 показывают характерную для многих признаков формураспределения: чаще встречаются значения средних интервалов признака, реже - крайние;малые и большие значения признака.
Форма этого распределения близка к рассматриваемому вкурсе математической статистики закону нормального распределения. Великий русскийматематик А. М. Ляпунов (1857-1918) доказал, что нормальное распределение образуется,если на варьирующую переменную влияет большое число факторов, ни один из которых неимеет преобладающего влияния. Случайное сочетание множества примерно равных факторов,влияющих на вариацию урожайности зерновых культур, как природных, так иагротехнических, экономических, создает близкое к нормальному закону распределенияраспределение хозяйств области по урожайности.
Если имеется дискретный вариационный ряд или используются середины интервалов, тографическое изображение такого вариационного ряда называется полигоном (от греч. слова -многоугольник). Каждый из вас легко построит этот график, соединяя прямыми точки скоординатами х, и /.
Понятие частости
Если в табл.2число хозяйств с тем или иным уровнем урожайности выразить в процентах китогу, принимая все число хозяйств (143) за 100%, то средняя урожайность может бытьвычислена так:
где w - частость 7-й категории вариационного ряда;
Кумулятивное распределение
Преобразованной формой вариационного ряда является ряд накопленных частот, приведенныйв табл.2 графа 5. Это ряд значений числа единиц совокупности с меньшими и равныминижней границе соответствующего интервала значениями признака. Такой ряд называетсякумулятивным. Можно построить кумулятивное распределение «не меньше, чем», а можно«больше, чем». В первом случае график кумулятивного распределения называется кумулятой,во втором - огивой (рис.2).