Контрольная работа по "Статистики"

 С учетом поправки Шеппарда  

        Коэффициент вариации называется отношение среднего квадратического отклонения к средней, выраженное в процентах:

    

 Коэффициент вариации  используется и как показатель  однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент  вариации не превышает 10%, то выборку  можно считать однородной, т.е. полученной  из одной генеральной совокупности.

Размах вариации определяется как абсолютная величина разности между максимальными и минимальными значениями (вариантами) признака:

Размах вариации показывает только крайние отклонения признака и не отражает отдельных отклонений всех вариантов в ряду. Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависим от колебаний двух крайних вариантов и абсолютно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, что придает этой величине, случайный характер. Для анализа вариации нужен показатель, который отражает все колебания вариационного признака и даёт общую характеристику. Простейший показатель такого вида - среднее линейное отклонение.

Начальным моментом k-го порядка hk называется число, определяемое выражением

 Центральный момент k-го порядка mk определяется из выражения

 

Справедливы следующие формулы, выражающие центральные выборочные моменты различных порядков через начальные: 
    

 
      и т.д.

Найдем исправленную выборочную асимметрию, из ее формулы легко вычислить выборочную асимметрию.

Следовательно выборочная асимметрия равна:

, здесь 

Найдем исправленный выборочный эксцесс, с помощью него легко вычислить выборочный эксцесс:

Следовательно выборочный эксцесс равен:

 

4. Используя критерии -Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости , проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону. Построить гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Проверку гипотезы нормального закона распределения вероятности выполняем при помощи критерия согласия Пирсона, т.к. n>50. Расчеты производим в табличной форме . Весь массив эксперементальных данныз разделяем на интервалы  таким образом, чтобы в каждом интервале было не менее пяти независимых значений.

j	интервал Sj-1-Sj		lj	tj	Ф(tj)	Pj	lj-nPj	lj-nPj/n*Pj
1	2		3	4	5	6	7	8
1	-∞-----------50,297		4	-1,3712	-0,4319	0,0681	-1,45	0,293
2	50,297	50,321	16	-1,2619	-0,3749	0,0570	1,44	0,667
3	50,321	50,346	18	-0,6905	-0,2910	0,0839	1,29	0,864
4	50,346	50,371	21	-0,0952	-0,1808	0,1102	2,18	0,829
5	50,371	50,395	6	0,5	-0,0478	0,1330	-1,64	0,542
6	50,395	50,420	6	1,07143	0,2123	0,2601	-1,81	0,129
7	50,420		7	+∞	0,5	0,1011	-1,09	0,112

 

            Границы доверительного интервала определяем по формуле, приняв Коэффициент Стьюдента P(S)=95%

            По формуле (9) определяем, на сколько и в какую сторону отстает от средненго арифметического значения правая граница j-го интервала

Вероятность попадания отдельного независимого значения в j-й интервал определяется интервалом вероятности – функцией Лапласа.  Табличные значения функции вносим в пятую графу таблицы.

По формуле определяем теоретическую вероятность попадания в j-й интервал отдельного независимого значения результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности.

В 7 и 8 графах таблицы 4 производятся вспомогательные вычисления, при этом для удобства вычислений, формула преобразована:

Просуммировав все значения 8 графы, получаем с определенным числом свободы f=8,                                                                          

Определяем ганичные значения , Следовательно условие выполняется, тогда гипотеза о подчинении результата измерения нормальному закону распределения вероятности принимается, и доверительная погрешность определяется по формуле

При этом результат измерения можно записать в виде

5. Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (X) получены статистические данные по 65 предприятиям за год.

Y	X, тыс.руб.
	32-52	52-72	72-92	92-112	112-132	132-152	152-172
48-68	5
68-88	2	3	4
88-108		2	7	6
108-128			3	8	4
128-148			1	1	5	3
148-168						5
168-188							4
188-208							2

А) вычислить групповые средние и построить корреляционные поля;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y		X, тыс.руб.
	сред	32-52	52-72	72-92	92-112	112-132	132-152	152-172
		42	62	82	102	122	142	162
48-68	58	5							210	5	42
68-88	78	2	3	4					598	9	66,44
88-108	98		2	7	6				1310	15	87,33
108-128	118			3	8	4			1550	15	103,3
128-148	138			1	1	5	3		1220	10	122
148-168	158						5		710	5	142
168-188	178							4	648	4	162
188-208	198							2	324	2	162
		446	430	1490	1670	1162	1204	1108
		7	5	15	15	9	8	6		65
		63,71	86	99,33	111,33	129,11	150,5	184,67

Условные средние посчитаны по формулам :

;           

	58	78	98	118	138	158	178	198
	42	66,44	87,33	103,3	122	142	162	162

 

	42	62	82	102	122	142	162	162
	63,71	86	99,33	111,3	129,11	150,5	184,67	184,67

 

Рис. Корреляционные поля

Рис. Регрессия X на Y

Рис. Регрессия Y на X

Коэффициент корреляции посчитаем с помощью функции Excel КОРРЕЛ по регрессии Y на X:

= 0,9976

Коэффициент корреляции близок к 1, значит, между основными фондами и объемом производства существует тесная прямая связь.

Коэффициент детерминации: =0,9952. Вариация объема производства на 99,52 % объясняется вариацией основных фондов.

Уравнение регрессии Y на X выведено с помощью табличного процессора Excel на рисунке:

Посчитаем среднюю абсолютную процентную ошибку

42	58	56,128	-1,872	-0,0061	0,00614
62	78	78,374	0,374	0,00117	0,00117
82	98	99,954	1,954	0,0059	0,0059
102	118	121,2	3,2	0,00932	0,00932
122	138	134,557	-3,443	-0,0099	0,0099
142	158	156,248	-1,752	-0,0049	0,00486
162	178	179,606	1,606	0,00428	0,00428
162	198	198,519	0,519	0,00135	0,00135
					0,00144