Краткий очерк развития теории вероятностей

Министерство  образования и науки, культуры и  спорта Украины

Одесский национальный экономический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

по теории вероятностей

на тему:

«Краткий очерк развития теории вероятностей»

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2-го курса ФЭФ

Боз Виктория

Проверила:

преп. Мискевич Ю.А.

 

 

 

 

ОДЕССА-2012

 

План:

1. Предыстория теории вероятностей
2. Возникновение теории вероятностей как науки
3. Я. Бернулли "Искусство предположений"
4. Петербургская математическая школа
5. Современный период развития теории вероятностей

 

Предыстория теории вероятностей

Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы обоснованным оно не казалось. У нас не может  быть абсолютной уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто опытом.

 Допустим, что некоторый  простой закон подтверждается  для большого числа случаев.  Является ли это просто случайным  совпадением, или все-таки это  - закономерность? Получается, что ученый  часто находится в положении игрока; опираясь на метод индукции, он сознательно или не очень вычисляет вероятность.

 История теории  вероятности содержит очень много  неожиданных парадоксов. По мнению  Карла Пирсона, в математике  нет другого такого раздела  науки, в котором так же легко совершить ошибку. Даже само высказывание "вычислить вероятность" содержит парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?

Теория вероятностей (теория вероятности) — раздел математики, изучающий случайность. Современная трактовка данной дисциплины основана на теории меры. Теория вероятностей используется в таких разделах математики как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания. Она находит применение в физике, в анализе азартных игр, в страховании и в расчете пенсионных схем. На теории вероятностей основана разработка, применение и анализ недетерминированных (вероятностных) алгоритмов.

В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано,  Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), мы встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятных) и т. п.

Еще  в древности  делались попытки сбора и анализа  некоторых статистических материалов — все это (а также и другие проявления внимания к случайным  явлениям} создавало почву для  выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности.

Но античная наука  не дошла до выделения этого понятия. В философии вопрос о случайном, необходимом и возможном  всегда был одним из основных. Философская  разработка этих проблем также оказывала  влияние на формирование понятия  вероятности.

В целом в средневековье  мы наблюдаем только разрозненные попытки  осмыслить встречающиеся вероятностные  рассуждения.

 

Возникновение теории вероятностей как  науки.

К середине, XVII в. вероятностные  вопросы и проблемы, возникающие  в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли  внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это относится к        Б. Паскалю, П. Ферма и X. Гюйгенсу. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.

Ферма и Паскаль действительно  стали основателями математической теории вероятностей. Блез Паскаль (1623—1662) родился в Клермоне. Вся семья Паскалей отличалась выдающимися способностями. Что касается самого Блеза, он с раннего детства обнаруживал признаки необыкновенного умственного развития.

В области математики Паскаль в  первую очередь известен своим вкладом  в теорию вероятностей. Как выразился Пуассон, «задача, относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом светским человеком, была источником теории вероятностей». Этим светским человеком был кавалер де Мере, а «суровым янсенистом» — Паскаль. Считается, что де Мере был азартнейшим игроком. На самом деле он серьезно интересовался наукой.

Как бы там ни было, де Мере задал  Паскалю следующий вопрос: каким  образом разделить старку между  игроками в случае, если игра не была окончена? Решение этой задачи совершенно не поддавалось всем известным до того времени математическим методам.

Здесь предстояло решить вопрос, не зная, который из игроков мог бы выиграть в случае продолжения игры? Ясно, что речь шла о задаче, которую  надо было решить на основании степени  вероятности выигрыша или проигрыша того или другого игрока. Но до тех пор ни одному математику еще не приходило в голову вычислять события только вероятные. Казалось, что задача допускает лишь гадательное решение, то есть что делить ставку надо совершенно наудачу, например, метанием жребия, определяющего, за кем должен остаться окончательный выигрыш.

Необходим был гений Паскаля  и Ферма, чтобы понять, что такого рода задачи допускают вполне определенные решения и что «вероятность»  есть величина, доступная измерению. Допустим, требуется узнать, как велика вероятность вынуть белый шар из урны, содержащей два белых шара и один черный. Всех шаров три, и белых шаров вдвое больше, чем черных. Ясно, что правдоподобнее предположить при доставании наудачу, что будет вытянут белый шар, нежели черный. Может как раз случиться, что мы вынем черный шар; но все же мы вправе сказать, что вероятность этого события меньше, чем вероятность вынуть белый. Увеличивая число белых шаров и оставляя один черный, легко видеть, что вероятность вынуть черный шар будет уменьшаться. Так, если бы белых шаров было тысяча, а черных — один и если бы кому-либо предложили побиться об заклад, что будет вынут черный шар, а не белый, то только сумасшедший или азартный игрок решился бы поставить на карту значительную сумму в пользу черного шара.

Уяснив себе понятие об измерении  вероятности, легко понять, каким  образом Паскаль решил задачу, предложенную де Мере. Очевидно, что  Для вычисления вероятности надо узнать отношение между числом случаев  благоприятных событию и числом всех возможных случаев (как благоприятных, так и неблагоприятных). Полученное отношение и есть искомая вероятность. Так, если белых шаров сто, а черных, положим, десять, то всех «случаев» будет сто десять, из них десять в пользу черных шаров. Поэтому вероятность вынуть черный шар будет 10 к ПО, или 1 к 11.

 

Я. Бернулли "Искусство предположений"

Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли "Искусство  предположений" (1713), в которой  впервые была  строго доказана первая предельная теорема — простейший случай закона больших чисел. Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под названием «Искусство предположений» (Ars conjectandi). Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применении, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли.

 К этому периоду,  который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности.

Лаплас расширил и  систематизировал математический фундамент теории вероятностей, ввёл производящие функции. Первая книга «Аналитической теории вероятностей» посвящена математическим основам; собственно теория вероятностей начинается во второй книге, в применении к дискретным случайным величинам. Там же — доказательство предельных теорем Муавра—Лапласа и приложения к математической обработке наблюдений, статистике народонаселения и «нравственным наукам». Лаплас развил также теорию ошибок и приближений методом наименьших квадратов.

Абрахам де Муавр— английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества (1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий наук. Муавр внёс большой вклад в теорию вероятностей. Доказал частный случаи теоремы Лапласа. Провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Кроме нормального, он использовал равномерное распределение. Большинство результатов де Муавра были вскоре перекрыты трудами Лапласа; степень возможного влияния де Муавра на Лапласа неясна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Петербургская математическая школа

Следующий период развития теории вероятностей связан прежде всего  с Петербургской математической школой. СЛАЙД 15. За два столетия развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными  успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности.

В теории вероятностей создалось  положение, когда дальнейшее ее развитие требовало уточнения основных положений, усиления самих методов исследования. Это было осуществлено русской математической школой во главе с П. Л. Чебышевым. Среди ее крупнейших представителей мы видим А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В этот период в теорию вероятностей входят оценки приближений предельных теорем, а также происходит расширение класса случайных величин, подчиняющихся предельным теоремам. В это время в теории вероятностей начинают рассматривать некоторые зависимые случайные величины (цепи Маркова).

Понятие вероятности  получило  большое распространение  в естественных науках, в первую очередь это относится к физике. Появляются работы Максвелла, а затем Больцмана и Д. Гиббса. Их трудами создается статистическая физика. Но это внедрение вероятностных методов и понятий в физику шло в довольно большом отрыве от достижений теории вероятностей.

Нера́венство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме — Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Биенэме (фран.) в 1853 году, и позже также Чебышевым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

А. А. Марков является первооткрывателем  обширного класса стохастических процессов  с дискретной и непрерывной временной  компонентой, названных его именем. Марковские процессы обладают следующим (марковским) свойством: следующее состояние процесса зависит, вероятностно, только от текущего состояния. В то время, когда эта теория была построена, она считалась весьма абстрактной, однако в настоящее время практические применения данной теории чрезвычайно многочисленны. Теория цепей Маркова выросла в огромную и весьма важную область научных исследований — теорию марковских случайных процессов, которая в свою очередь представляет основу общей теории стохастических процессов (см. также: Цепь Маркова, Неравенство Маркова). А. А. Марков существенно продвинул классические исследования предшественников, касающиеся закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей, а также распространил их и на цепи Маркова.

Следует указать, что  А. А. Марков своим открытием (как и затем А. Н. Колмогоров, предложивший строгую теоретико-вероятностную формулировку на основе теории меры) сделал крупнейший вклад в теорию случайных процессов и теорию вероятностей вообще.

 

 

 

 

Современный период развития теории вероятностей

Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и кончая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.

Первые работы этого  периода связаны с именами  С. Н, Бернштейна, Р. Мизеса, Э. Бореля. Ряд работ Бореля посвящен различным вопросам теории чисел, алгебры, геометрии, математической физики и теории вероятностей. Всего им опубликовано более 300 работ. Именем Бореля названы: подгруппа (в алгебре); нормального числа (в теории чисел); теорема, преобразование, функции (в теории функций); мера (в функциональном анализе); поле событий (в теории вероятностей); класс, критерий, изоморфизм, кольцо множеств, поле множеств (в топологии) и другие. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы ХХ в. Анализ тенденций развития теории вероятностей позволил А. Н. Колмогорову создать общепринятую аксиоматику.