Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X , среднеквадратичного от-клонения Sx, и о

 

Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X , среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала – ±ΣΔРд.

 

Исходные данные

Цена деления  прибора С, мм 0,010

Результаты  измерений, мм

1	86,070	10	86,090	19	86,050	28	86,080	37	86,050	46	86,090
2	86,110	11	86,0110	20	86,080	29	86,130	38	86,090	47	86,070
3	86,090	12	86,130	21	86,070	30	86,030	39	86,150	48	86,170
4	86,120	13	86,152	22	86,230	31	86,130	40	86,060	49	86,170
5	85,970	14	86	23	86,180	32	86,110	41	86110	50	86,050
6	86,110	15	86,010	24	86,090	33	86,070	42	86,110	51	86,210
7	86,070	16	86,100	25	86,130	34	86,150	43	86,190	52	86,150
8	86,090	17	86,11	26	86,110	35	86,090	44	85,990	53	86,140
9	86,140	18	86,170	27	86,150	36	86,130	45	86,110

 

Результаты  измерений запишем в порядке  возрастания:

1	85,9	11	86,07	21	86,09	31	86,11	41	86,14	51	86,19
2	85,97	12	86,07	22	86,09	32	86,11	42	86,15	52	86,21
3	86,01	13	86,07	23	86,1	33	86,12	43	86,15	53	86,23
4	86,03	14	86,08	24	86,11	34	86,13	44	86,15
5	86,05	15	86,08	25	86,11	35	86,13	45	86,15
6	86,05	16	86,09	26	86,11	36	86,13	46	86,15
7	86,05	17	86,09	27	86,11	37	86,13	47	86,17
8	86,06	18	86,09	28	86,11	38	86,13	48	86,17
9	86,07	19	86,09	29	86,11	39	86,13	49	86,17
10	86,07	20	86,09	30	86,11	40	86,14	50	86,18

 

 

 

Доверительная вероятность  Рд = 0,93 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.

Уровень значимости q = 0,02 –  показывающий, что принятый закон  рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.

 

1. Построение гистограммы

Определяем величину размаха R (поле рассеяния):

R = X_max – X_min=86,23-85,9=0,33

X_max = 86,23 – наибольшее из измеренных значений

X_min = 85,90 – наименьшее из измеренных значений

R = X_max - X_min = 0,330 (мм).

 

Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:

n = = =7,2≈ 7.

Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.

Принимаем n = 7.

Определяем ширину интервала h:

h = = =0,047

Определяем  границы интервалов X_min – X_max

1 интервал: X_min1 – X_max1

X_min1 = X_min=85,9 мм

X_max1 = X_min1 + h = 85,9+0,047=85,947 мм

2 интервал: X_min2 – X_max2

X_min2 = X_max1 = 85,947 (мм)

X_max2 = X_min2 + h = 85,994 (мм)

 

 

 

3 интервал: X_min3 – _Xmax3

X_min3 = X_max2 = 85,944(мм)

X_max3 = X_min3 + h = 86,041 (мм)

4 интервал: X_min4 – X_max4

X_min4 = X_max3 = 86,041 (мм)

X_max4 = X_min4 + h = 86,088 (мм)

5 интервал: X_min5 – X_max5

X_min5 = X_max4 = 86,088 (мм)

X_max5 = X_min5 + h = 86,135 (мм)

6 интервал: X_min6 – X_max6

X_min6 = X_max5 = 86,135 (мм)

X_max6 = X_min6 + h = 86,182 (мм)

7 интервал: X_min7 – X_max7

X_min7 = X_max6 = 86,182 (мм)

X_max7 = X_min7 + h = 86,23 (мм)

 

Определяем середины интервалов X_oi

1 интервал:

X_o1 = X_min1 + =85,924 (мм)

2 интервал:

X_o2 = X_min2 + = 85,971 (мм)

3 интервал:

X_o3 = X_min3 + = 86,018 (мм)

4 интервал:

X_o4 = X_min4 + = 86,065 (мм)

 

 

5 интервал:

X_o5 = X_min5 + = 86,112 (мм)

6 интервал:

X_o6 = X_min6 + = 86,159 (мм)

7 интервал:

X_o7 = X_min7 + = 86,206 (мм)

Определение количества размеров попадающих в каждый интервал m_i

Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал ( если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)

Результаты  выполненных выше расчетов занесем  в таблицу:

 

Номер интервала	Границы интервала		Середина интервала Xoi  (ММ)	Число размеров в интервале, mi
	Xmin (мм)	Xmax (мм)
1	85,9	85,947	85,9235	1	0,018
2	85,947	85,994	85,9705	1	0,018
3	85,994	86,041	86,0175	2	0,037
4	86,041	86,088	86,0645	11	0,2
5	86,088	86,135	86,1115	24	0,452
6	86,135	86,182	86,1585	11	0,2
7	86,182	86,23	86,2055	3	0,0566

 

Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Проверка  выборки на соответствие нормальному закону

распределения

При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:

,

где N_oi – теоретическая частота попадания в интервал.

Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:

φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;

σ_x – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.

Считая, что СКО практически  совпадает с его оценкой (σ_x ≈ S_x) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:

В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:

86,107 мм

 

 

 

 

После подстановки  86,107 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:

S_x=0,053 мм

Кроме полученных величин, для определения теоретической  частоты попадания в интервал N_oi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.

Эту величину можно определить по формуле:

Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:

Для 1 интервала:

Z_o1 = 3,453

что соответствует величине φ(z) = 0,001

Для 2 интервала:

Z_o2 = 2,57

что соответствует  величине φ(z) = 0,0147

Для 3 интервала:

Z_o3 = 1,689,

что соответствует  величине φ(z) = 0,095

Для 4 интервала:

Z_o4 = 0,802,

что соответствует  величине φ(z) = 0,289

 

 

Для 5 интервала:

Z_o5 = 0,085,

что соответствует  величине φ(z) = 0,397

Для 6 интервала:

Z_o6 = 0,97,

что соответствует  величине φ(z) = 0,249

Для 7 интервала:

Z_o7 = 1,8/68,

что соответствует  величине φ(z) = 0,0694

Определяем  теоретические значения количества деталей для каждого интервала N_oi.

Для 1 интервала:

N_o1 =0,047

Для 2 интервала:

N_o2 = 0,691

Для 3 интервала:

N_o3 = 4,498

Для 4 интервала:

N_o4 =13,616

Для 5 интервала:

N_o5 = 18,673

Для 6 интервала:

N_o6 = 11,712

Для 7 интервала:

N_o7 = 3,262

 

 

 

На основании  результатов измерений и расчета  теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:

 

№ интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,0190	0,01
2	0,019	0,01
3	0,038	0,08
4	0,208	0,26
5	0,453	0,35
6	0,208	0,22
7	0,057	0,06

 

Полученные  результаты позволяют получить расчетную  величину параметра хи-квадрат:

№ интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,0190	0,01	0,009	0,0000786	0,0079
2	0,019	0,01	0,006	0,000034	0,0026
3	0,038	0,08	-0,047	0,0022213	0,0262
4	0,208	0,26	-0,049	0,0024361	0,0095
5	0,453	0,35	0,101	0,0101018	0,0287
6	0,208	0,22	-0,013	0,0001807	0,0008
7	0,057	0,06	-0,005	0,0000244	0,0004