Обработка результатов равноточных многократных измерений

 

Вар. №15

Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X , среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала – ±ΣΔРд.

Исходные данные

 

Цена деления прибора С, мм 0,010

 

Результаты  измерений, мм

 

1	63,009	11	63,016	21	63,010	31	63,005	41	63,009	51	63,015
2	63,014	12	63,005	22	63,021	32	63,011	42	63,007	52	63,014
3	63,003	13	62,997	23	63,001	33	63,009	43	63,007	53	63,010
4	63,013	14	63,017	24	63,011	34	63,017	44	63,011	54	62,999
5	63,009	15	63,008	25	63,009	35	63,013	45	63,008	55	63,013
6	63,011	16	63,013	26	63,019	36	63,013	46	63,011	56	63,016
7	63,012	17	63,011	27	63,019	37	63,015	47	63,003	57	63,005
8	63,011	18	63,009	28	63,005	38	63,023	48	63,011	58	63,011
9	63,015	19	63,015	29	63,015	39	63,013	49	62,999	59	63,007
10	63,007	20	63,007	30	63,007	40	63,005	50	63,009	60	63,013

 

 

 

 

 

Доверительная вероятность Рд = 0,85 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.

Уровень значимости q = 0,1 – показывающий, что  принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному  закону.

 

 Сортируем  значения по возрастанию:

 

1	62,997	11	63,005	21	63,009	31	63,011	41	63,013	51	63,015
2	62,999	12	63,007	22	63,009	32	63,011	42	63,013	52	63,015
3	62,999	13	63,007	23	63,009	33	63,011	43	63,013	53	63,016
4	63,001	14	63,007	24	63,009	34	63,011	44	63,013	54	63,016
5	63,003	15	63,007	25	63,009	35	63,011	45	63,013	55	63,017
6	63,003	16	63,007	26	63,009	36	63,011	46	63,014	56	63,017
7	63,005	17	63,007	27	63,01	37	63,011	47	63,014	57	63,019
8	63,005	18	63,008	28	63,01	38	63,012	48	63,015	58	63,019
9	63,005	19	63,008	29	63,011	39	63,013	49	63,015	59	63,021
10	63,005	20	63,009	30	63,011	40	63,013	50	63,015	60	63,023

 

 

 

1. Построение гистограммы

Определяем  величину размаха R (поле рассеяния):

R = X_max – X_min=63,023-62,997=0,026

X_max = 63,023 – наибольшее из измеренных значений

X_min = 62,997 – наименьшее из измеренных значений

R = X_max - X_min = 0,026 (мм).

 

Определяем  число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:

n = = =7,745≈7.

Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.

Принимаем n = 7.

Определяем ширину интервала h:

h = = =0,0037

Определяем границы интервалов X_min – X_max

1 интервал: X_min1 – X_max1

X_min1 = X_min=62,997 мм

X_max1 = X_min1 + h = 62,997+0,0037=63,0007 мм

2 интервал: X_min2 – X_max2

X_min2 = X_max1 = 63,0007≈63,001 (мм)

X_max2 = X_min2 + h = 63,0044≈63,004 (мм)

3 интервал: X_min3 – _Xmax3

X_min3 = X_max2 = 63,004 (мм)

X_max3 = X_min3 + h = 63,0081≈63,008 (мм)

4 интервал: X_min4 – X_max4

X_min4 = X_max3 = 63,008 (мм)

X_max4 = X_min4 + h = 63,0118≈63,012 (мм)

5 интервал: X_min5 – X_max5

X_min5 = X_max4 = 63,0128 (мм)

X_max5 = X_min5 + h = 63,0155≈63,016 (мм)

6 интервал: X_min6 – X_max6

X_min6 = X_max5 = 63,016 (мм)

X_max6 = X_min6 + h = 63,0192≈63,019 (мм)

7 интервал: X_min7 – X_max7

X_min7 = X_max6 = 63,019 (мм)

X_max7 = X_min7 + h = 63,0229≈63,023 (мм)

Определяем середины интервалов X_oi

1 интервал:

X_o1 = X_min1 + =62,997 + =62,99885 (мм)

2 интервал:

X_o2 = X_min2 + = 63,0007+ =63,00255 (мм)

3 интервал:

X_o3 = X_min3 + = 63,0044+ = 63,00625 (мм)

 

4 интервал:

X_o4 = X_min4 + = 63,0081+ =  63,00995 (мм)

5 интервал:

X_o5 = X_min5 + = 63,0118+ =  63,01365 (мм)

6 интервал:

X_o6 = X_min6 + = 63,0155+ =  63,01735 (мм)

7 интервал:

X_o7 = X_min7 + = 63,0192+ =  63,02105 (мм)

Определение количества размеров попадающих в каждый интервал m_i

Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал ( если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)

Результаты  выполненных выше расчетов занесем  в таблицу:

Номер интервала	Границы интервала		Середина интервала Xoi  (ММ)	Число размеров в интервале, mi
	Xmin (мм)	Xmax (мм)
1	62,997	63,001	62,999	4	0,066
2	63,001	63,004	63,003	2	0,033
3	63,004	63,008	63,006	13	0,216
4	63,008	63,012	63,010	19	0,316
5	63,012	63,0165	63,013	16	0,266
6	63,016	63,019	63,018	4	0,066
7	63,019	63,023	63,021	2	0,033

 

Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Проверка выборки на соответствие нормальному закону

распределения.

При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:  ,

где N_oi – теоретическая частота попадания в интервал.

Теоретическая частота попадания  в интервал определяется по формуле: 

φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;

 σ_x – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.

Считая, что СКО практически  совпадает с его оценкой (σ_x ≈ S_x) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:

В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:

После подстановки  63,01014≈ 63,0101 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:

S_x=0,005215≈ 0,005 мм

 

 

 

Кроме полученных величин, для определения теоретической  частоты попадания в интервал N_oi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.

Эту величину можно  определить по формуле:

Так как расчеты  по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:

Для 1 интервала:

Z_o1 = -2,115 ≈ (-2,12) ,

что соответствует  величине φ(z) = 0,42166

Для 2 интервала:

Z_o2 = -1,4326 ≈ ( -1,44) ,

что соответствует  величине φ(z) = 0,14146

Для 3 интервала:

Z_o3 = -0,721269 ≈ (-0,72),

что соответствует  величине φ(z) = 0,307851

Для 4 интервала:

Z_o4 = -0,01

что соответствует  величине φ(z) = 0,398922

Для 5 интервала:

Z_o5 = 0,7019 ≈ 0,71 ,

что соответствует  величине φ(z) = 0,310060

Для 6 интервала:

Z_o6 = 1,4135 ≈ 1,41,

что соответствует  величине φ(z) = 0,147639

Для 7 интервала:

Z_o7 = 2,125 ≈ 2,13 ,

что соответствует  величине φ(z) = 0,41280

Определяем  теоретические значения количества деталей для каждого интервала N_oi.

Для 1 интервала:

N_o1 =1,800

Для 2 интервала:

N_o2 = 6,28

Для 3 интервала:

N_o3 =13,66

Для 4 интервала:

N_o4 =17,7

Для 5 интервала:

N_o5 = 13,7

Для 6 интервала:

N_o6 = 6,55

Для 7 интервала:

N_o7 = 1,800

На основании  результатов измерений и расчета  теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:

№ интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,066	0,031
2	0,033	0,011
3	0,216	0,023
4	0,316	0,3
5	0,266	0,023
6	0,066	0,1
7	0,033	0,031

 

 

Полученные  результаты позволяют получить расчетную  величину параметра хи-квадрат:

№ интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,066	0,031	0,035	0,0012	0,0395
2	0,033	0,011	0,022	0,00048	0,044
3	0,216	0,023	0,193	0,0372	1,6195
4	0,316	0,3	0,016	0,00025	0,000853
5	0,266	0,023	0,243	0,0590	2,567
6	0,066	0,1	-0,034	0,00115	0,011
7	0,033	0,031	0,002	0,000004	0,00012