Основные характеристики случайной функции

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

 

ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

 

КАФЕДРА АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

по дисциплине Теория Вероятности и Математическая Статистика

на тему «Основные характеристики случайной функции»

 

 

 

 

 

Выполнил студент 

 

 

 

 

 

 

Преподаватель

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В теории вероятностей большое значение имеют основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия - для одной случайной величины, математические ожидания и корреляционная матрица - для системы случайных величин. Искусство пользоваться числовыми характеристиками, оставляя по возможности в стороне законы распределения, - основа прикладной теории вероятностей. Аппарат числовых характеристик представляет собой весьма гибкий и мощный аппарат, позволяющий сравнительно просто решать многие практические задачи.

Совершенно аналогичным аппаратом пользуются и в теории случайных функций. Для случайных функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин, и устанавливаются правила действий с этими характеристиками. Такой аппарат оказывается достаточным для решения многих практических задач.

Целью настоящей работы ставится получить представление б  основных характеристиках случайных  функций – математическом ожидании, дисперсии и корреляционной функции.

 

Основные характеристики случайной функции

Функцию, значение которой  при каждом значении независимой  переменной является случайной величиной, называют случайней функцией. Случайные функции, для которых независимой переменной является время, называют случайными процессами или стохастическими процессами.

Случайный процесс X(t} не есть определенная кривая, он является множеством определенных кривых X_i{t), где i=1, 2, ... , п, получаемых в результате отдельных опытов (рис. 1). Каждую кривую этого множества называют реализацией случайного процесса. Сказать заранее, по какой из реализации пойдет процесс, невозможно.

Рис 1

Для любого фиксированного момента времени, например t = t_i, реализация случайного процесса Xi(t_i} представляет собой конкретную величину, значение же случайной функции X(/i) является случайной величиной, называемой сечением случайного процесса в момент времени tx. Поэтому нельзя утверждать, что случайный процесс в данный  момент времени имеет такое-то детерминированное значение, можно говорить лишь о вероятности того, что в данный момент времени значение случайного процесса как случайной величины будет находиться в определенных пределах.

Как известно, статистические свойства случайной величины х определяют по ее функции распределения (интегральному закону распределения) F(x) или плотности вероятности (дифференциальному закону распределения) w(x). 

Для случайного процесса также вводят понятие функции  распределения F(x, t) и плотности вероятности и>(х, t), которые зависят от фиксированного момента времени наблюдения t и от некоторого выбранного уровня х, т. е. являются функциями двух переменных х и t.

Рассмотрим случайную  величину X(t_i), т. е. сечение случайного процесса в момент времени t_i. Одномерной функцией распределения (функцией распределения первого порядка) случайного процесса X(t) называют вероятность того, что текущее значение случайного процесса X(t_i) в момент времени t_i не превышает некоторого заданного уровня (числа) X_i, т. е.

Если функция F_i(X_i, t_i) имеет частную производную по X_i, т. е.

то функцию w_i(X_i, t_i) называют одномерной плотностью вероятности (плотностью вероятности первого порядка) случайного процесса. Величина

представляет собой  вероятность того, что X(t) находится в момент времени t == t_i в интервале от X_i до X_i + dx_i.

В каждые отдельные моменты времени t₁, t₂, ..., t_n наблюдаемые случайные величины (сечения случайного процесса) X(t_i), X(t₂), ..., X(t_n) будут иметь свои, в общем случае разные, одномерные функции распределения F₁(x₁, t₁), F₁(x₂, t₂), ... , F₁(x_n, t_n) и плотности вероятности w₁(x₁, t₁), w₁(x₂, t₂), ... , w₁(x_n, t_n).

Функции F_i(x, t) и w(x, t) являются простейшими статистическими характеристиками случайного процесса. Они характеризуют случайный процесс изолированно в отдельных его сечениях, не раскрывая взаимной связи между сечениями случайного процесса, т. е. между возможными значениями случайного процесса в различные моменты времени.

Знания этих функций  еще недостаточно для описания случайного процесса в общем случае. Необходимо охарактеризовать также взаимную связь  случайных величин в различные произвольно взятые моменты времени.

Рассмотрим теперь случайные  величины X(t₁) и Х(t₂), относящиеся к двум разным моментам времени t₁ и t₂ наблюдения случайного процесса .

Вероятность того, что X(t) будет не больше x₁ при t = t₁ и не больше x₂ при t =t₂, т. е.

называют двумерной функцией распределения (функцией распределения второго порядка). Если функция F₂(x₁, t₁; x₂, t₂) имеет частные производные по x₁ и x₂, т.е.

то функцию w₂(x₁, t₁; x₂, t₂) называют двумерной плотностью вероятности (плотностью вероятности второго порядка.) Величина

равна вероятности того, что X(t) при t == t₁ будет находиться в интервале от x₁ до x₁+dx₁, а при t=t₂ в интервале от x₂ до x₂+dx₂.

Аналогично можно ввести понятие о п-мерной функции распределения:

Если функция F_n имеет частные производные по всем аргументам

x₁, x₂, ... , x_n, т. е.

то функцию w_n называют п-мерной плотностью вероятности.

Чем выше порядок п, тем полнее описываются статистические свойства случайного процесса. Зная п-мерную функцию распределения, можно найти по ней одномерную, двумерную и другие (вплоть до (n-1)-й) функции распределения более низкого порядка. Однако многомерные законы распределения случайных процессов являются сравнительно громоздкими характеристиками и с ними крайне трудно оперировать на практике. Поэтому при изучении случайных процессов часто ограничиваются случаями, когда для описания случайного процесса достаточно знать только его одномерный или двумерный закон распределения.

Примером случайного процесса, который полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности, является так называемый чистый случайный процесс, или белый шум. Значения Х(t) в этом процессе, взятые в разные моменты времени t, совершенно независимы друг от друга, как бы близко ни были выбраны эти моменты времени. Это означает, что кривая белого шума содержит всплески, затухающие за бесконечно малые промежутки времени. Поскольку значения X(t), например, в моменты времени t₁ и t₂ независимы, то вероятность совпадения событий, заключающихся в нахождении Х(t) между x₁ и x₁+dx₁ в момент времени t₁ и между x₂ и x₂+dx₂ в момент t₂, равна произведению вероятностей каждого из этих событий, поэтому

Но вообще для белого шума

т. е. все плотности  вероятности белого шума определяются из одномерной плотности вероятности.

Математическим  ожиданием (средним значением) m_x(t) случайного процесса X(t) называют величину

где w₁(x, t) — одномерная плотность вероятности случайного процесса X(t).

Математическое ожидание случайного процесса X(t) представляет собой некоторую неслучайную (регулярную) функцию времени m_x(t), около которой группируются и относительно которой колеблются все реализации данного случайного процесса (рис. 2).

Рис 2. а, б

Математическое ожидание случайного процесса в каждый фиксированный  момент времени t_k равно математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса X(t_k) и представляет собой операцию вероятностного усреднения случайной величины X(t_k), при котором каждое возможное значение для случайной величины х принимается с весом, равным элементу вероятности w₁(x, t_k)dx. Математическое ожидание называют средним значением случайного процесса по множеству (средним по ансамблю, статистическим средним), поскольку оно представляет собой вероятностно усредненное значение бесконечного множества реализации случайного процесса.

Средним значением  квадрата случайного процесса называют величину

Иногда вводят в рассмотрение так называемый центрированный случайный процесс X⁰(t), под которым понимают отклонение случайного процесса X(t) от его среднего значения m_x(t), или

Тогда случайный процесс X{t) можно рассматривать как сумму двух составляющих: регулярной составляющей, равной математическому ожиданию m_x(t), и центрированной случайной составляющей X⁰(t), т. е.

Очевидно, что математическое ожидание центрированного случайного процесса равно нулю:

Для того чтобы каким-то образом учесть степень разбросанности реализации случайного процесса относительно его среднего значения, вводят понятие дисперсии случайного процесса, которая равна математическому ожиданию квадрата центрированного случайного процесса:

Дисперсия случайного процесса является неслучайной (регулярной) функцией времени D_x(t), значение которой в каждый момент времени t_k равно дисперсии соответствующего сечения Х(t_k) случайного процесса.

Легко показать, что математическое ожидание m_x(t), дисперсия D_x(t) и среднее значение квадрата x^~2(t) случайного процесса, имеющие размерность квадрата случайной величины, связаны соотношением

Таким образом, среднее значение квадрата случайного процесса  x^~2(t) в определенной мере учитывает и среднее значение случайного процесса, и степень рассеяния его реализации относительно этого среднего значения, поэтому оно широко используется в качестве оценки точности систем автоматического управления.

На практике часто  бывает удобно пользоваться статистическими  характеристиками случайного процесса, имеющими ту же размерность, что и  сама случайная величина. К таким  характеристикам относят:

среднее квадратическое значение случайного процесса

равное арифметическому  значению квадратного корня из среднего значения квадрата случайного процесса;

среднее квадратическое отклонение случайного процесса

равное арифметическому  значению квадратного корня из дисперсии случайного процесса.

Из предыдущих двух формул видно, что среднее квадратическое значение x_с.к(t) и среднее квадратическое отклонение s_x(t) случайного процесса в общем случае не совпадают.

Ни математическое ожидание, ни дисперсия случайного процесса ни в какой мере не характеризуют степень статистической зависимости между сечениями случайного процесса в различные моменты времени, знания этих характеристик часто достаточно для решения многих задач теории автоматического управления.

Математическое ожидание и дисперсия являются важными  характеристиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления  о том, какой характер будут иметь  отдельные реализации случайного процесса. Это хорошо видно из рис. 2, где показаны реализации двух случайных процессов, совершенно различных по своей структуре, хотя и имеющих одинаковые значения математического ожидания и дисперсии. Штриховыми линиями на рис. 2 показаны значения s_x(t) для случайных процессов.

Процесс, изображенный на рис. 2, а, от одного сечения к другому протекает сравнительно плавно, а процесс на рис. 2, б обладает сильной изменчивостью от сечения к сечению. Поэтому статистическая связь между сечениями в первом случае больше, чем во втором, однако ни по математическому ожиданию, ни по дисперсии этого установить нельзя.

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру  случайного процесса, т.е. учесть связь  между значениями случайного процесса в различные моменты времени  или, иными словами, учесть степень  изменчивости случайного процесса, необходимо ввести понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случайного процесса.

Корреляционной  функцией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов R_x(t₁, t₂), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) t₁ и t₂ равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X(t₁) и X(t₂) соответствующих сечений случайного процесса:

где w₂(x₁, t₁; x₂, t₂) —двумерная плотность вероятности.

Часто пользуются иным выражением корреляционной функции, .записанной не для самого случайного процесса X(t), а для центрированной случайной составляющей X(t). Корреляционную функцию в этом случае называют центрированной и определяют из соотношения