Основные характеристики случайной функции

 

Пример: Задана случайная функция

где , , .

Найти характеристики , , .

Решение.

Исходная случайная  функция представляет собой сумму  двух случайных функций, каждая из которых  является произведением случайной величины на неслучайную функцию. Поэтому для определения математического ожидания воспользуемся следующими свойствами мат. ожидания:

- мат. ожидание суммы  случайных функций равно сумме  мат. ожиданий каждой функции;

- мат. ожидание произведения случайной величины на неслучайную функцию равно произведению мат. ожидания случайной величины на неслучайную функцию.

Таким образом, получим

Дисперсия случайной  функции определяется как

С учетом исходных данных, найденного значения и указанных выше свойств мат. ожидания получим

Корреляционная функция  случайной функции определяется как

С учетом исходных данных и найденного значения преобразуем произведение под знаком мат. ожидания следующим образом

В результате, получим

 

Заключение

В отличие от числовых характеристик случайных величин, предоставляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций  представляют собой в общем случае не числа, а функции.

По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около  которой различным образом варьируются  конкретные реализации случайной функции.

Дисперсия случайной  функции при каждом  характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции.

Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма важные характеристики случайной функции; однако для описания основных особенностей случайной функции этих характеристик недостаточно.

Для характеристики внутренней структуры случайных процессов, которая не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией, вводится специальная характеристика, которая называется корреляционной функцией. Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным .

 

Список литературы

 

1. Вентцель Е.С., Овчаров В.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М., 2000.

2. http://gendocs.ru/v10678

3. Научная библиотека избранных естественно-научных изданий. – Режим доступа: http://sernam.ru/book_tp.php?id=83