Основные статистические величины в малые выборке

К абсолютным показателям  также можно отнести показатели, которые получаются не в результате статистического наблюдения, а в  результате какого-либо расчета. Как  правило, данные показатели – это  разность между двумя абсолютными  показателями. Например, естественный прирост (убыль) населения находится  как разность между числом родившихся и числом умерших за определенный период времени; прирост продукции за год находится как разность между объемом произведенной продукции на конец года и объемом произведенной продукции на начало года. При составлении долгосрочных прогнозов развития экономики страны рассчитывают предположительные данные о материальных, трудовых, финансовых ресурсах. Как видно из примеров, эти показатели будут абсолютными, так как имеют абсолютные единицы измерения.

Абсолютные величины отражают естественную основу явлений, т. е. выражают либо численность единиц изучаемой совокупности, ее отдельных составных частей, либо их абсолютные размеры в натуральных единицах, вытекающих из их физических свойств (вес, длина и т. п.), или в единицах измерения, вытекающих из их экономических свойств (стоимость, затраты труда). Следовательно, абсолютные величины всегда имеют определенную размерность.

Кроме того, абсолютные статистические показатели всегда выражаются в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения в зависимости от сущности описываемых ими процессов и  явлений.

Натуральные измерители характеризуют явления в свойственной им натуральной форме и выражаются в мерах длины, веса, объема и т. п. или количеством единиц, числом событий. К натуральным можно отнести такие единицы измерения, как тонна, килограмм, метр и т. д., например: объем жилищного строительства составил 2000 м2.

В ряде случаев используются комбинированные единицы измерения, представляющие собой произведение двух величин, выраженных в различных  размерностях. Так, например, производство электроэнергии измеряется в киловатт-часах, грузооборот – в тонна-километрах и т. п.

В группу натуральных единиц измерения входят и так называемые условно натуральные единицы измерения. Их применяют для получения суммарных абсолютных величин в случае, когда индивидуальные величины характеризуют отдельные разновидности продукции, близкие по своим потребительским свойствам, но отличающиеся, например, содержанием жира, спирта, калорийностью и т. п. При этом одна из разновидностей продукции принимается за условный натуральный измеритель, и к ней с помощью переводных коэффициентов, выражающих соотношение потребительских свойств (иногда трудоемкости, себестоимости и т. д.) отдельных разновидностей, приводятся все разновидности этого продукта.

Трудовые единицы  измерения используют для характеристики показателей, которые позволяют оценить затраты труда, отражают наличие, распределение и использование трудовых ресурсов, например трудоемкость выполненных работ в человеко-днях.

Натуральные, а иногда и  трудовые измерители не позволяют получить сводные абсолютные показатели в  условиях разнородной продукции. В  этом плане универсальными являются стоимостные единицы измерения, которые дают стоимостную (денежную) оценку социально-экономическим явлениям, характеризуют стоимость определенной продукции или объема выполненных работ. Например, в денежной форме выражаются такие важные для экономики страны показатели, как национальный доход, валовой внутренний продукт, а на уровне предприятия – прибыль, собственные и заемные средства.

Наибольшее предпочтение в статистике отдается стоимостным  единицам измерения, так как стоимостный  учет является универсальным, однако он не всегда может быть приемлем.

Абсолютные показатели могут  быть рассчитаны во времени и пространстве. Например, динамика численности населения  Российской Федерации с 1991 по 2004 г. отражается временным фактором, а уровень цен на хлебобулочные изделия по регионам РФ за 2004 г. характеризуется пространственным сравнением.

При учете абсолютных показателей  во времени (в динамике) их регистрация  может быть осуществлена на определенную дату, т. е. какой-либо момент времени (стоимость основных средств предприятия на начало года) и за какой-либо период времени (число родившихся за год). В первом случае показатели являются моментальными, во втором – интервальными.

С точки зрения пространственной определенности абсолютные показатели делят следующим образом: общие  территориальные, региональные и локальные. Например, объем ВВП (валовой внутренний продукт) – общий территориальный показатель, объем ВРП (валовой региональный продукт) – региональный признак, численность занятых в городе – локальный признак, т. е. первая группа показателей характеризует страну в целом, региональные – конкретный регион, локальные – отдельный город, населенный пункт и т. д.

Абсолютные показатели не дают ответа на вопрос, какую долю имеет  та или иная часть в общей совокупности, не могут охарактеризовать уровни планового  задания, степень выполнения плана, интенсивность того или иного  явления, так как они не всегда пригодны для сравнения и поэтому  часто используются лишь для расчета  относительных величин.

Относительные статистические величины

Наряду с абсолютными  величинами одной из важнейших форм обобщающих показателей в статистике являются относительные величины – это обобщающие показатели, выражающие меру количественных соотношений, присущих конкретным явлениям или статистическим объектам. При расчете относительной величины измеряется отношение двух взаимосвязанных величин (преимущественно абсолютных), что очень важно в статистическом анализе. Относительные величины широко используются в статистическом исследовании, так как они позволяют провести сравнения различных показателей и делают такое сравнение наглядным.

Относительные величины вычисляются  как отношение двух чисел. При  этом числитель называется сравниваемой величиной, а знаменатель – базой относительного сравнения. В зависимости от характера изучаемого явления и задач исследования базисная величина может принимать различные значения, что приводит к различным формам выражения относительных величин. Относительные величины измеряются:

• в коэффициентах: если база сравнения принята за 1, то относительная величина выражается целым или дробным числом, показывающим, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть ее составляет;
• в процентах, если база сравнения принимается за 100;
• в промилле, если база сравнения принимается за 1000;
• в продецимилле, если база сравнения принимается за 10 000;
• в именованных числах (км, кг, га) и др.

В каждом конкретном случае выбор той или иной формы относительной  величины определяется задачами исследования и социально-экономической сущностью, мерой которого выступает искомый  относительный показатель. По своему содержанию относительные величины подразделяются на следующие виды:

• выполнения договорных обязательств;
• динамики;
• структуры;
• координации;
• интенсивности;
• сравнения.

 

 

 

Малая выборка

 
Степень представительности данных в  выборке зависит от ее объема - n.  
 
В практике статистических исследований массовых процессов и явлений часто приходится сталкиваться с небольшими по объему выборками, которые так и называются - «малые выборки».

Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30. Малая выборка в настоящее время используется более широко, чем раньше, за счет того, что на ее организацию требуется гораздо меньше временных, материальных и трудовых затрат, чем на сплошное статистическое обследование. Кроме этого, в настоящее время появляется все большее количество новых форм массовых явлений и процессов (в основном связанных с развитием рыночных процессов в экономике), число которых позволяет говорить об их немногочисленности, иногда единичности. Поэтому, хотя принцип выборочного обследования (с увеличением объема выборки повышается точность выборочных данных) остается в силе, иногда (и это бывает достаточно часто) приходится ограничиваться малым числом наблюдений. 
 
Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С.Госсетом (принявшим псевдоним Стьюдент и прославившийся под этим именем) в 1908 году. Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения. Стьюдент исследовал этот закон распределения и получил очень хорошие практические результаты.

При оценке результатов малой  выборки величина генеральной дисперсии  в расчетах не используется, что  само по себе очень важно в силу ее вероятностного характера (мы не можем  точно рассчитать того, чего не имеем). Для определения возможных пределов ошибки используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле: 
 
 
где  - мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке, 
 
t - коэффициент доверия, затабулированный в специальных таблицах Стьюдента. 
Стьюдентом были рассчитаны и построены специальные таблицы (таблицы распределения Стьюдента), которые используются при анализе малых выборок и могут быть двух видов.

Расчет ошибок в малой  выборке мало отличается от аналогичных  вычислений в большой выборке (используются «свои» затабулированные значения) . Правда, в малой выборке вероятность будет немного меньше, чем в большой; и точность результатов выборки малого объема все же ниже, чем при большой выборке.

 

 

Основные  параметры генеральной и выборочной совокупностей

Малые выборки, статистические выборки столь малого объёма n, что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n ® ¥. Особенности статистической оценки параметров по М. в. легче всего понять на примере нормального распределения (для которого малыми обычно считают выборки объёма n £ 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборки x₁, x₂, ..., x_n из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией s². Обозначим   

,  

. 

  Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины  

 

  не зависит от а и s. 

  Вероятность w неравенства — t_w < t < t_w и равносильного ему неравенства     

  (1) 

  вычисляется при этом по формуле   

 w =   (2) 

 где s(t, n — 1) есть плотность вероятности для так называемого Стьюдента распределения с n — 1 степенями свободы. Определяя для заданных n и w (0 < w < 1) соответствующее t_w (что можно сделать, например, по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ для величины а, имеющей значимости уровень w. 

  При больших n формула (2), связывающая w и t_w, приближённо может быть заменена формулой  

    (3) 

  Эту формулу иногда неправильно  применяют для определения t_w при небольших n, что приводит к грубым ошибкам. Так, для w = 0,99 по формуле (3) находим t_0,99 = 2,58; истинные значения t_0,99 для малых n приведены в следующей таблице:

n	n	n	n	n	n	n	n
2	2	2	2	2	2	2	2

Если  пользоваться формулой (3) при n = 5, то получится вывод, что неравенство   

выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность  этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в  соответствии с приведённой таблицей неравенство  

 

  Об оценке по М. в. теоретической  дисперсии s² см. «Хи-квадрат» распределение. Разработаны также аналогичные методы оценки по М. в. параметров многомерных распределении (например, коэффициента корреляции).

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1.Урбах В.Ю. Статистический анализ в биологических и медицинских исследованиях, М, 1975.  
2.Бейли Н. Математика в биологии и медицине, М, 1970.  
3.Ефимов В.М., В.Ю.Ковалева Многомерный анализ биологических данных. 2008. СПб. (изд.2, исправленное и дополненное). 86 с.

4. Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, «Известия АН СССР. Серия математическая», 1942, т. 6, № 1—2; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.