Понятие вариации, ее значение

3.2.3. Виды средних величин,  способы их вычисления

В статистике выделяют несколько  видов средних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя  величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая  величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Рассмотрим подробнее  отдельные виды средних величин:

3.2.3.1. Средние величины  различаются в зависимости от  учета признаков, влияющих на  осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без  учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя  величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак  некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного  расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

3.2.3.2. По форме расчета  выделяют несколько видов средних  величин, которые образованы из  единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет  форму:

k – показатель степени;

i –i-тый элемент совокупности;

n – число наблюдений (число  единиц совокупности).

При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные  по форме средние величины[6] (в  лекции математический аппарат вывода формул не приводится) (см. Табл. 4.1.):

Табл. 4.1.

Степень средней величины	Название	Формула
k = -1	Гармоническая
k = 0	Геометрическая
k = 1	Арифметическая
k = 2	Квадратическая

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок  расчета средней величины:

1. Определение исходного  соотношения для исследуемого  показателя.

2. Определение недостающих  данных для расчета исходного  соотношения.

3. Расчет средней величины.

3.2.3.2.1. Средняя арифметическая  величина

Средняя арифметическая величина – наиболее характерная форма  средней, на примере которой можно  выявить все свойства средней.

Формула расчет средней арифметической величины имеет следующий вид:

– значение изучаемого признака для i-того элемента совокупности;

n – число наблюдений (число  единиц совокупности).

1) Средняя арифметическая  невзвешенная величина

Если показатель степени  равен 1, то получаем следующую форму  средней:

xi – индивидуальные значения  признака у отдельных единиц  совокупности.

Такая средняя величина называется средней арифметической простой (невзвешенной).

Данная форма средней  величины является наиболее распространенной. Она получается путем соотношения  суммарного объема индивидуальных значений признака каждого элемента совокупности и числа элементов совокупности. Средняя арифметическая невзвешенная применяется в том случае, если имеются сведения об объеме осредняемого признака.

2) Средняя арифметическая  взвешенная величина

Если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности с тем или иным значением осредняемого признака, то рассчитывается средняя  арифметическая взвешенная:

xi – индивидуальные значения  осредняемого признака у отдельных  единиц совокупности;

fi – значения признака-веса  для каждой единицы совокупности.

3) В зависимости от  осредняемых данных выделяют  несколько случаев применения  средней арифметической взвешенной  величины:

- расчет средней арифметической  взвешенной в случае, если осредняемый  признак выражен в абсолютных  величинах, а признак-вес представлен  первичным показателем;

- расчет средней арифметической  взвешенной в случае, если осредняемый  признак представлен в интервальном  виде, т.е. когда данные, находящиеся  в числителе исходного соотношения,  рассчитываются следующим образом:  сначала определяются середины  интервалов (  ); затем серединное значение для каждого интервала умножается на значение признака-веса для этого интервала (fi); полученные произведения суммируются (  ). Полученный таким образом числитель соотносится с суммой значений признака-веса.

- расчет средней арифметической  взвешенной, если в качестве осредняемого  признака принимается удельный  вес (т.е. когда совокупность  поделена на подгруппы, в каждой  из которых определено количество  единиц, обладающих изучаемым признаком,  доля таких единиц в общей  численности подгруппы, и необходимо  рассчитать среднее значение  доли во всех подгруппах (  )):

 

– представленное в абсолютном выражении  количество единиц j-ой подгруппы, обладающих изучаемым признаком;

i = 1, 2, 3…n – количество  всех единиц j-ой подгруппы;

k – количество подгрупп  в совокупности;

То есть, если при расчете  других средних арифметических взвешенных соотносились различные показатели, то средний удельный вес сохраняет  те же показатели, которые применялись  для расчета индивидуального  значения удельного веса. Кроме того, при расчете удельного веса оба  соотносимых показателя должны выражаться в абсолютных величинах. Если же необходимые  данные отсутствуют, то следует привести показатели к сопоставимому виду.

3.2.3.2.2 Средняя гармоническая  величина

1) Средняя гармоническая  невзвешенная величина.

Если показатель степени  равен (-1), то образуется следующая форма  средней:

xi – индивидуальные значения  осредняемого признака у отдельных  единиц совокупности.

Такая средняя величина называется средней гармонической простой (невзвешенной). Она взаимосвязана со средней  арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака.

Средняя гармоническая невзвешенная величина применяется в том случае, если согласно исходному соотношению  средней необходимо, чтобы в знаменателе  располагались обратные значения осредняемого признака. Данный вид средней применяется  также, если значения признаков-весов  одинаковы, следовательно, образуется тождество между средней гармонической  взвешенной и средней гармонической  невзвешенной.

2) Средняя гармоническая  взвешенная величина.

Средняя гармоническая взвешенная величина имеет следующий вид:

хi – осредняемый признак;

w – значения сводного, объемного показателя, выступающего  как признак-вес.

Средняя гармоническая взвешенная величина рассчитывается в том случае, если имеющиеся данные предоставляют  сведения об объеме определяющего показателя, рассчитываемого как произведение осредняемого признака и признака-веса. И если имеются также сведения об индивидуальных значениях осредняемого признака, а данные об отдельных  значениях признака веса отсутствуют.

Такая форма средней применяется, когда необходимо рассчитать:

- общую среднюю из групповых  средних величин;

- среднюю относительную  величину, если не известна величина, находящаяся в знаменателе осредняемого  признака.