Применение статистических методов в исследованиях

ПРИМЕНЕНИЕ  СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ИССЛЕДОВАНИЯХ

 

Предметом математической статистики является изучение случайных  величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала надо каким-либо образом обработать: упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде. Это первая задача. Вторая задача, оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины. Следующей задачей, является проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными.

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков. Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

Обычно применяют  выборочный метод, который заключается  в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают n элементов. Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. Исследователь изучает и анализирует выборочную совокупность и на основании полученных показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности.

Допустим, из генеральной  совокупности извлечена выборка  объемом  n, измерена некоторая величина Х, в результате чего получен ряд значений . Этот ряд называется простым статистическим рядом.

Пример. Измерена масса тела 10 девочек 6 лет. Полученные данные образуют простой статистический ряд:

24 22 23 28 24 23 25 27 25 25

Отдельные значения статистического ряда называются  вариантами. Если варианта появилась m раз, то число m называют частотой, а ее отношение к объему выборки p=m/ n  – относительной частотой.

Последовательность  вариант, записанная в возрастающем (убывающем) порядке, называется ранжированным рядом.

Пример. Ранжированный ряд: 22 23 23 24 24 25 25 25 27 28

Полученная  таким образом последовательность

значений случайной  величины называется вариационным рядом.

Существуют  характеристики вариационного ряда: меры уровня, или средние. Наиболее употребительными в статистических исследованиях являются три вида средних: средняя арифметическая, мода и медиана.

Cредняя арифметическая

Модой называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда.

Медианой называется варианта, расположенная в центре ранжированного ряда. Если ряд состоит из четного числа вариант,  то медианой считают среднее арифметическое двух вариант, расположенных в центре ранжированного ряда.

Выборочная дисперсия 

Выборочное стандартное отклонение  

 

 

 

Дискретные  случайные величины

 

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных  величин: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные  значения дискретной случайной величину можно пронумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке  возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности  этих значений, т.е.

x	x1	x2	х3	…	хn
p	р1	р2	р3	...	рn

где  р₁+ р₂+…+ р_n=1

Такая таблица  называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения  дискретной случайной величины Х  можно изобразить графически, для  этого в прямоугольной системе  координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (x_i;p_i), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

 

 

 

 

Рис 1.

Закон распределения  дискретной случайной величины Х  может быть также задан аналитически (в виде формулы):P(X=x_i)=φ(x_i),i =1,2,3…n

 

Задача 1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по педагогике и ОМОИ соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон  распределения случайной величины Х- числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x₁=0, x₂=1, х₃=2.

Найдем вероятность  этих значений. Обозначим события: А – студент сдаст экзамен по педагогике, В-студент сдаст экзамен по ОМОИ. По условию:

Тогда:

 

 

 

 

 

Итак, закон  распределения случайной величины Х задается таблицей:

x	0	1	2
p	0,6	0,38	0,56

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.

 

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:F(x)=Р(Х<х)

 

Числовые  характеристики дискретной случайной  величины.

 

Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: М(Х)=∑ x_iр_i= x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С•Х)=С•М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

 

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))²

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х- случайная величина;

3)D(C•X)=C²•D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X²)-(M(X))²,где М(Х)=∑ x_i²р_i= x₁²р₁ + x₂²р₂+…+ x_n²р_n

 

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Задача 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х	-1	0	1	2	3
р	0,1	Р2	0,3	0,2	0,3

Найти Р₂, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р₂=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию  распределения F(х)=P(X<x).

Геометрически это равенство  можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т.к. на (-∞; х) нет ни одного значения данной случайной величины;

если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т.к. в промежуток (-∞; х) попадает только одно значение x₁=-1;

если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т.к. в промежуток

(-∞; х) попадают  два значения x₁=-1 и x₂=0;

если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)+Р(Х=1)=0,1+0,1+0,3=0,5, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают три значения x₁=-1, x₂=0 и x₃=1;

если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают четыре значения x₁=-1, x₂=0,x₃=1 и х₄=2;

если х>3, то F(х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают четыре значения x₁=-1, x₂=0,x₃=1,х₄=2 и х₅=3.

Итак,

                0   при х≤-1,

                0,1 при -1<х≤0,

                0,2 при 0<х≤1,

    F(x)=   0,5 при 1<х≤2,

                0,7 при 2<х≤3,

 1    при х>3

Изобразим функцию F(x)графически (рис.2):

рис. 2

Найдем числовые характеристики случайной величины:

М(Х)=∑ x_κр_κ =x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5

D(X)= ∑ x²_κр_κ –(M(X))² = x²₁р₁ + x²₂р₂+…+ x²_nр_n –(M(X))²

D(X)=(-1)² •0,1+1²•3+2²•0,2+3²•0,3-(1,5)²=1,65

^≈1,2845.

 

Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины x – числа опробованных ключей.

Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. x=2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3×1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий ряд распределения:

x	1	2	3
P	1/3	1/3	1/3

Задача 2. Построить функцию распределения F_x(x) для случайной величины x  из задачи 1.

Решение. Случайная величина x имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка: . Если x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция F_x(x)=0.

Если 1£x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F_x(x)=1/3.

Если 2£x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x<x)=P(x=1)+P(x=2)=2/3, т.е. F_x(x)=2/3.

И, наконец, в  случае x³3 неравенство x£x выполняется для всех значений случайной величины x, поэтому P(x<x)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=1, т.е. F_x(x)=1. 

Итак, мы получили следующую функцию:

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы

x               h	1	2
–1	1/16	3/16
0	1/16	3/16
1	1/8	3/8