Применение статистических методов в исследованиях

 

Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность .

Решение. Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в строках:

;

;

.

Аналогично  получается частное распределение  для h:

;

.

Полученные  вероятности можно записать в  ту же таблицу напротив соответствующих  значений случайных величин:

 

x               h	1	2	px
–1	1/16	3/16	1/4
0	1/16	3/16	1/4
1	1/8	3/8	1/2
ph	1/4	3/4	1

 

Теперь ответим  на вопрос о независимости случайных  величин x и h. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение (т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений x=-1 и h=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины  x и h независимы.

Заметим, что  если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.

Для вычисления вероятности  отметим клетки, для которых выполнено условие . Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:

 

Задача 4. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:

x	–1	0	2
P	1/4	1/4	1/2

Вычислить математическое ожидание Mx, дисперсию Dx и среднеквадратическое отклонение s.

Решение. По определению математическое ожидание x равно

.

Далее

,

а потому

.

Среднеквадратическое  отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой . А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значений и , результат умножаем на вероятность p_ij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Задача 6. Исходные данные: студенты некоторой группы, состоящей из 30 человек сдали экзамен по курсу «Информатика». Полученные студентами оценки образуют следующий ряд чисел:

4	4	3	3	2	5	2	3	3	4
3	4	4	2	5	2	3	3	4	4
3	3	4	4	2	5	5	2	3	3

Решение:

I. Составим вариационный ряд

x	mx	wx	mxнак	wxнак
2	6	0,2	6	0,2
3	11	0,37	17	0,57
4	9	0,3	26	0,87
5	4	0,13	30	1
Итого:	30	1	—	—

 

II. Графическое представление статистических сведений.

III. Числовые характеристики выборки.

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода 

4. Медиана

222222333333333 | 334444444445555

5. Выборочная  дисперсия

6. Выборочное  стандартное отклонение

 

_{Задачи  для самостоятельного решения}

 

Задача 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х	-2	0	2	5
р	0,3	0,2	Р3	0,1

Найти р₄, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Задача 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х	-1	0	1	2	3
р	0,3	0,1	0,2	Р4	0,3

 
Найти р₄, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Задача 3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х- число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

Задача 4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

Задача 5.В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Задача 6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х- число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).

Задача 7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.

Задача 8. На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).

Задача 9. В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х- числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.

Задача 10. Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).

Задача 11. Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.

Задача 12 .Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х₁=1, х₂,х₃, причем х₁<х₂<х₃. Вероятность того, что Х примет значения х₁ и х₂, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.