Проверка статистических гипотез

Тогда:

1.Если Fнабл < Fкр  – нет оснований отвергнуть  нулевую гипотезу.

2.Если Fнабл > Fкр  – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2:

Для того, чтобы  при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе  H1: D(X)D(Y), также как и в первом случае нужно вычислить наблюдаемое значение критерия Fнабл. как отношение большей исправленной дисперсии к меньшей. А затем по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора найти критическую точку Fкр (, k1, k2).

В этом случае:

1. Если Fнабл< Fкр  – нет оснований отвергать  нулевую гипотезу.

2. Если Fнабл > Fкр  – нулевую гипотезу отвергают.

Пример:

Даны две независимые  выборки объемов n1=13 и n2=12, извлеченные из генеральных совокупностей Х и Y, распределенных по нормальному закону. Найдены исправленные выборочные дисперсии =4.06 и =20.25. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H0:D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе H1: D (X) > D (Y).

Вычислим наблюдаемое  значение критерия:

 

Критическую точку  находим в приложении для уровня значимости α = 0,01 и числам степеней свободы к1=12-1=11, к2=13-1=12

Fкр (0.01, 11, 12)=4.22

Получили, что 4.99>4.22, т. е. > Fкр. Следовательно нулевая гипотеза на уровне значимости 0,01 отвергается.

 

2.3 Проверка гипотезы об однородности двух выборок. Критерий Вилкоксона

Критерий Вилкоксона–Манна–Уитни³ является ранговым и применяется для проверки однородности двух выборок независимых случайных величин, распределения которых неизвестны.

 Критерий находит применение  при объеме выборки меньше 60, т.к.  при больших n возрастает трудоемкость  метода. Статистические данные должны  быть представлены в не группированном виде.

Нулевая гипотеза звучит так: при всех значениях аргумента  функции распределения равны  между собой, т. е. Н0: F(x) = F(y).

Конкурирующими являются следующие гипотезы: H1: F(x)F(y), H2: F(x) <F(y), H3: F(x) >F(y).

 Здесь возможны два  случая. Рассмотрим их последовательно.

Случай А.

Проверка нулевой гипотезы, когда объём обеих выборок не превосходит 25

Правило 1:

1-й шаг. Сформулировать  основную и альтернативную гипотезу

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) F(y),

 где F(x) и F(y) – неизвестные непрерывные функции распределения случайных величин X и Y.

2-й шаг. Расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке (в виде одного вариационного ряда) и найти в этом ряду наблюдаемое значение критерия Wнабл – сумму порядковых номеров вариант первой выборки.

3-й шаг. По статистическим таблицам критических точек распределения Вилкоксона–Манна–Уитни  для уровня значимости найти нижнюю критическую точку Wн. кр(q;n1;n2), где q=,

4-й шаг. Найти верхнюю  критическую точку по формуле:  Wв. кр= (n1+n2+1)n1- Wн. кр

Тогда если выполняется условие  Wн. кр < Wнабл < Wв. кр, то гипотеза Н0 принимается. В противном случае Н0 отвергается.

Правило 2:

1-й шаг. Сформулировать  основную и альтернативную гипотезу

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) > F(y)

2-й шаг.  Найти в этом  ряду наблюдаемое значение критерия  Wнабл.

3-й шаг. Найти нижнюю  критическую точку  Wн. кр(q;n1;n2), где q=

4-й шаг. Найти верхнюю  критическую точку по формуле:  Wв. кр= (n1+n2+1)n1- Wн. кр

Тогда если выполняется условие  Wнабл >Wн. кр,  то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если же Wнабл <Wн. кр , нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3:

1-й шаг. Сформулировать  основную и альтернативную гипотезу

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) <F(y)

2-й шаг.  Найти в этом  ряду наблюдаемое значение критерия  Wнабл.

3-й шаг. Найти нижнюю  критическую точку  Wн. кр(q;n1;n2), где q=

4-й шаг. Найти верхнюю  критическую точку по формуле:  Wв. кр= (n1+n2+1)n1- Wн. кр(;n1;n2)

Тогда если выполняется условие  Wнабл < Wв. кр,  то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если же Wнабл > Wв. кр , нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1

Если несколько вариант  только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им присваивают обычные порядковые номера.

Замечание 2

Если совпадают варианты различных выборок, то им приписывают  один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти  варианты до совпадения.

Случай Б.

Проверка нулевой гипотезы, когда объем хотя бы одной из выборок превосходит 25.

Правило 1:

  Основная и альтернативная  гипотезы звучат так:

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) F(y),

Wн. кр(q;n1;n2), где q=, находят по формуле:

 

Zкр находят по таблице функции Лапласа из равенства:

 

В остальном сохраняются  условия правила 1 из пункта А.

Правило 2:

Основная и альтернативная гипотезы звучат так:

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) >F(y) или H1: F(x) <F(y)

В этом случае q= и Zкр находят из равенства:

 

В остальном сохраняются  правила 2-3, приведённые в пункте А.

 

Пример:

При уровне значимости =0.05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объёмов n1=6, n2=8

Xi   15  23  25  26  28  29

Yi   12  14  18  20  22  24  27  30

Сформулируем  основную и конкурирующую гипотезу:

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) F(y)

 

Расположим варианты обеих  выборок в возрастающем порядке, и присвоим каждому значению порядковый номер.

варианты	12	14	15	18	20	22	23	24	25	26	27	28	29	30
порядковый  номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14

 

Wнабл=3+7+9+10+12+13=54

Найдём нижнюю критическую  точку  Wн. кр(q;n1;n2), где q=,

q==0.05/2=0.025; n1=6, n2=8

Wн. кр(0.025;6;8)

Wв. кр= (n1+n2+1)n1- Wн. кр= (6+8+1)6-29=61

Таким образом,  29<54<61 (Wн. кр < Wнабл < Wв. кр). Следовательно гипотеза Н0 принимается, т.е. выборки однородны.

 

 

 

2.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Если закон распределения  неизвестен, то есть основания предполагать, что он имеет определенный вид, то проверяют нулевую гипотезу H0, состоящую  в том, что генеральные совокупности распределяются по такому же закону. Проверка начальной гипотезы о предполагаемом законе осуществляется на основе критерия согласия. Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия:

критерий Смирнова

критерий Колмогорова 

критерий χ2-Пирсона 

другие 

Более подробно рассмотрим  критерий согласия Пирсона, поскольку он применяется для проверки гипотезы о принадлежности генеральной совокупности не только нормальному закону распределения, но и любому другому.

χ2 – критерий Пирсона⁴ заключается в сравнении эмпирических частот mi (найденных экспериментальным путем) и теоретических частот mi* (найденных исходя из закона распределения).

Для начала рассмотрим методику вычисления теоретических частот нормального  распределения.

1) Весь интервал наблюдаемых  значений делится на интервалы  одинаковой длины. Подсчитывается  число вариант, которые попали  в каждый интервал.

2) Вычисляют выборочную  среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение .

3) Вычисляют теоретические  вероятности рi попадания в интервал (хi; хi+1) по формуле:  

pi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

 

Где Ф(х) – функция Лапласа , 

4) Находят искомые теоретические  частоты по формуле m*=np, где n – объём выборки.

После нахождения теоретических  частот сформулируем основную и альтернативную гипотезу.

Н0: генеральная совокупность распределена по нормальному закону;

H1: генеральная совокупность не имеет нормального распределения.

В качестве проверки нулевой  гипотезы применяется случайная  величина χ2, которая вычисляется  по формуле:

 

Затем по таблице χ2-Пирсона  находят критическое значение χ2кр, которое зависит от двух параметров α и k, где α - заданный уровень значимости (обычно 0,05 0,01 0,1); k - число степеней свободы. Оно находится по формуле:  k = s − r − 1, где s - число интервалов в вариационном ряду, r - число параметров распределения (для нормального распределения r = 2, для показательного распределения r = 1,  для равномерного r = 2).

После этого необходимо сравнить χ2 критическое и χ2 наблюдаемое.

Если χ2кр  >  χ2набл, то гипотеза принимается.

Если χ2кр <  χ2 набл, то гипотеза отвергается.

Замечание 1

Объём выборки должен быть не менее 50. Каждая группа (интервал) должна содержать не менее 5 вариантов

Замечание 2

Для контроля вычислений применяют  формулу: 

 

Пример:

 

На уровне значимости α = 0.05 проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические  частоты 

 

mi  6   13   38   74   106   85   30   14

mi*   3   14   42   82   99   76   37   13

 

1) H0: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

 Н1: генеральная совокупность  не имеет нормального распределения.

2)  Для вычисления  χ2 построим расчетную таблицу

mi	mi*
6	3	9	3
13	14	1	0.07
30	42	144	0.38
74	82	64	0.78
106	99	49	0.49
85	76	81	1.07
30	37	49	1.32
14	13	1	0.08

 

 

 

3) 

= 0.05

k = 8 − 2 − 1 = 5

 

4) Сравним  и

>    , следовательно гипотеза Н0 применима.

Генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическая часть

Задача 1

На основании выборочных данных требуется:

1.Разбить полученные значения на равные промежутки, составив статистическое распределение выборки;

2.Построить графики (полигон, гистограмму, кумуляту);

3.Найти выборочные характеристики;

4.Оценить асимметрию и эксцесс;

5.Найти доверительные интервалы для М(х) и (х);

6.С помощью критерия  Пирсона при уроне значимости =0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины х.

Вычисления проводить  с точностью до 0.001

 

n=80

k=1+3,332lg80=6,341+1=7,341 7

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8
Интервал Хi	(-26,312)-  (-22,609)	(-22,609)- (-18,906)	(-18,906)- (-15,203)	(-15,203)- (-11,5)	(-11,5)- (-7,797)	(-7,797)- (-4,094)	(-4,094)- (-0,391)	(-0,391)- (-3,312)
Ср. зн.	-24,461	-20,758	-17,055	-13,352	-9,649	-5,946	-2,243	-1,852
mi	7	9	12	9	9	14	16	4
	0,088	0,113	0,15	0,113	0,113	0,175	0,2	0,05
	7	16	28	37	46	60	76	80