Способы и приемы обработки статистической информации

7. Относительные  величины интенсивности. Характеризуют степень распределения или развития данного явления в той или иной среде. Представляют собой отношение абсолютного уровня одного показателя, свойственного изучаемой среде, к другому абсолютному показателю, также присущему данной среде и, как правило, являющемуся для первого показателя факторным признаком. Так, при изучении демографических процессов рассчитываются показатели рождаемости, смертности, естественного прироста и т.д. как отношение числа родившихся (умерших) или величины прироста населения за год к среднегодовой численности населения данной территории в расчете на 1000 чел. Если получаемые значения очень малы, то делают расчет на 10 000 человек. Так, по состоянию на 1987 г. имеем в целом по стране К_рожд. = 19,8 ‰, К_{ест.прирост} = 9,9 ‰. В том числе по г. Новосибирску  К_рожд. = 15,2 ‰, К_см.= 9,1 ‰, К_{брачности} = 10,9 ‰, К_разв. = 5,2 ‰ и т.д. Относительными величинами интенсивности выступают, например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, трудоемкости, эффективности использования производственных фондов и т.д., поскольку их получают сопоставлением разноименных величин, относящихся к одному и тому же явлению и одинаковому периоду или моменту времени. Метод расчета относительных величин интенсивности применяется при определении средних уровней (среднего уровня выработки, средних затрат труда, средней себестоимости изделий, средней цены и т.д.). Поэтому распространено мнение, что относительные величины интенсивности – это один из способов выражения средних величин.

 

1.3. Средние величины и показатели  вариации.

Понятие и общие принципы применения средних величин

Статистическая совокупность содержит некоторое количество статистических величин, имеющих, как правило, разные значения и признаки, что делает невозможным сравнение нескольких совокупностей в целом. Для этой цели применяется средняя величина, как обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. 
 Средняя величина всегда обобщает количественное выражение признака и погашает индивидуальные различия статистических величин совокупности, вызванные случайными обстоятельствами. Но по значению средней величины нельзя делать принципиальные выводы. 
 Так, если один ученик имеет тетрадь в 48 листов, а другой - ни одной, то в среднем получается по 2 у.ш.т. на ученика. Но из этого нельзя заключать, что все ученики школьными тетрадями обеспечены.

В статистике соблюдаются  следующие принципы применения средних величин:

1. Необходим обоснованный выбор статистической совокупности, для которой определяется средняя величина.
2. При определении средней величины исходят из качественного содержания статистических величин, учитывая возможную взаимосвязь изучаемых признаков.
3. Средняя величина должна рассчитываться по однородной совокупности, которая позволяет применять метод группировки, предполагающий расчет системы обобщающих показателей.
4. Общая средняя величина должна подкрепляться и поясняться групповыми средними величинами.

Виды степенных средних величин.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные и структурные. К последним  относятся мода и медиана, но наиболее часто применяются степенные различных видов. 
 Степенные средние, в зависимости от представления отдельных величин, могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном порядке. Общая формула простой средней величины имеет вид

= . (1.11)

Взвешенная средняя  величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы

=  (1.12)

При этом обозначено:

X_i – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; 
 m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин:

при m = -1 средняя гармоническая;

при m = 0 средняя геометрическая;

при m = 1 средняя арифметическая;

при m = 2 средняя квадратическая;

при m = 3 средняя кубическая и так далее.

Используя общие формулы  простой и взвешенной средних  при разных показателях степени  m, получаем частные формулы каждого вида. Так, приняв m = 1, находим, что простая средняя арифметическая величина определяется по формуле

= . (1.13)

Аналогично для взвешенной средней арифметической величины получаем формулу через частоты или через доли (так как )

= . (1.14)

Не представляет трудностей и вывод формул для простых  и взвешенных средних квадратических и кубических величин. Несколько  сложнее вывод средней гармонической при m = –1. Так, используя формулу (1.11), имеем вначале

_гм = = ,

а окончательно получим, что простая средняя  гармоническая величина определяется по формуле

_ГМ = , (1.15)

Аналогично выводится  формула взвешенной средней гармонической  величины, которая имеет следующий  окончательный вид через частоты  или через доли

_ГМ = , (1.16)

Наиболее часто употребляются формулы средних арифметических и гармонических величин.

Правила применения средней арифметической и гармонической взвешенных.

Они часто применяются  для осреднения относительных величин  интенсивности, т.е. показателей, имеющих дробную размерность. При этом соблюдаются следующие правила.

1. Если имеются дополнительные данные по числителю дробной размерности, то применяется средняя гармоническая.
2. Если имеются дополнительные данные по знаменателю дробной размерности, то применяется средняя арифметическая.

3. Если неясно, к числителю или знаменателю относятся дополнительные данные, то поочередно применяются средняя гармоническая и арифметическая, а затем определяется средняя между ними величина.

Для иллюстрации  правил решим задачу: 4 фирмы выпускают  одинаковую продукцию при себестоимостях в руб/ед.: Si = 5, 3, 4, 6, а доли фирм равны соответственно di = 0,3; 0,2; 0,4; 0,1. Определить среднюю себестоимость продукции.

Для решения  примера используем вышеизложенные правила.

1. Если доли фирм  относятся к текущим затратам (числитель показателя себестоимости), то ее среднее значение определяем по формуле (1.16) как среднюю гармоническую величину

= 1/ (0,3/5 + 0,2/3 + 0,4/4 + 0,1/6) = 4,1 (руб./ед.)

2. Если доли  фирм относятся к количеству  выпущенной продукции (знаменатель показателя себестоимости), то ее среднее значение находим по формуле (1.14) как среднюю арифметическую величину

= 5*0,3 + 3*0,2 + 4*0,4 + 6*0,1 = 4,3 (руб./ед.)

3. Если не  сказано, к чему относятся доли  фирм, то в дополнение к выполненным расчетам определяем среднюю себестоимость как простую среднюю величину из полученных результатов. То есть = (Sгм  + Sар)/2 = 4,2 (руб./ед.)

Таким путем  рассчитываются средние значения и  других показателей с дробной размерностью.

Структурные средние

Особый вид средних  величин – структурные средние  – применяется для изучения внутреннего  строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней  величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.

В качестве структурных  средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака больше медианного уровня, а у другой – меньше его.

Если изучаемый признак  имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и  медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

, (1.20)

где X_Me – нижняя граница медианного интервала;

∆X – его величина (размах);

∑f/2 – половина от общего числа величин;

– сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная  до начала медианного интервала;

f_Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

, (1.21)

где  Х_Mo – нижнее значение модального интервала;

f_Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале;

f_Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

∆X  – величина интервала изменения признака в группах.

Очевидно, что в формуле (1.20) и (1.21) можно заменить частоты f на доли d, так как , а можно вынести за скобки как в числителе, так и в знаменателе и сократить.

Показателями типа медианы, характеризующими структуру рядов  распределения признака, являются квартили (делят ряд на 4 равные части), квинтили (на 5), децили (на 10), перцентили (на 100).

                                     Показатели вариации. 
 Вариация - это различие в значениях какого- либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна. Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений. Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты усредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом - эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом - велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины. 
 Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

 

 

4. Ряды динамики.

Понятие о статистических рядах динамики.

Ряды динамики – статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами. 
 В каждом ряду динамики имеется два основных элемента: 
1) показатель времени t; 
2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y; 
 В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки). 
 Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами. Ряды динамики различаются по следующим признакам: 
 1) По времени. В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами, величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами. Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени. 
 Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени. Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней. Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а суммируя товарооборот за четыре квартала, получают его величину за год, и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше, чем больше длина интервала, к которому этот уровень относится. Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов. 
 Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления и реализации товаров, суммы издержек обращения и других показателей, отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды. Статистическое отображение изучаемого явления во времени может быть представлено рядами динамики с нарастающими итогами. Их применение обусловлено потребностями отображения результатов развития изучаемых показателей не только за данный отчетный период, но и с учетом предшествующих периодов. При составлении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого показателя с начала отчетного периода (года, месяца, квартала и т. д.). 
 Ряды динамики с нарастающими итогами строятся при определении общего объема товарооборота в розничной торговле. Так, обобщением товарно-денежных отчетов за последние операционные периоды (пятидневки, недели, декады и т. д.). 
 2) По форме представления уровней. Могут быть построены также ряды динамики, уровни которых представляют собой относительные и средние величины. Они также могут быть либо моментными, либо интервальными. В интервальных рядах динамики относительных и средних величин непосредственное суммирование уровней само по себе лишено смысла, так как относительные и средние величины являются производными и исчисляются через деление других величин. 
 3) По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные или неполные ряды динамики. Полные ряды динамики имеют место тогда, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами.  
 Неполные - когда принцип равных интервалов не соблюдается. 
 4) По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики. Комплексный ряд динамики получается в том случае, когда в хронологической последовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса или явления.