Средние индексы в статистике

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Статистика  является наукой, которая присущими  ей методами изучает количественную сторону массовых, общественных явлений, не разрывной связи с их качественной стороной. В статистике есть такой  раздел как экономические индексы.

Актуальность  темы заключается в том, что индексы  занимают особое положение в статистике и относятся к важнейшим обобщающим показателям. Они являются незаменимым  инструментом исследования в тех  случаях, когда необходимо сравнить во времени или в пространстве две совокупности, элементы которых  являются несоизмеримыми величинами.

 С помощью индексных показателей решаются следующие основные задачи:

1. Индексы  позволяют измерять изменение сложных явлений. При помощи индексов можно характеризовать изменения во времени различных показателей, например ВВП, численность работающих, себестоимость, производительность труда и т. п.

2. С помощью  индексов можно определить влияние отдельных факторов на изменение динамики сложного явления. Используя взаимосвязь индексов, можно установить, например, в какой мере выпуск продукции возрос за счёт увеличения численности работников и в какой мере – за счёт повышения производительности труда.

3. Индексы  являются показателями сравнений  не только с прошлым периодом (сравнение во времени), но и  с другой территорией – сравнение  в пространстве, а также с планами,  нормативами, прогнозами и т.  д.

 

1.ИНДЕКСЫ  В СТАТИСТИКЕ

 

Слово index в переводе с латинского означает «указатель», «показатель», «список».

В статистике индекс представляет собой относительный  показатель, который характеризует  изменение величины какого-либо явления  во времени, пространстве или по сравнению  с любым эталоном. Иначе говоря, это показатель сравнения двух состояний  одного и того же явления. В отличие  от обычных относительных величин, которые исчисляются по изолированным  признакам, индексы могут включать систему признаков. Это означает, что объектом индексного анализа  выступают и сложные по своей  структуре явления.

Когда рассматриваются  сопоставления уровней изучаемого явления во времени, то говорят об индексах динамики, в пространстве – о территориальных индексах и т. д.

Основным  элементом индексного соотношения  является индексируемая величина, которая  представляет собой значение признака статистической совокупности, изменение  которой является объектом изучения.

В международной  практике индексы принято обозначать символами i и I (начальная буква латинского алфавита index). Буквой «i» обозначаются индивидуальные (частные) индексы, буквой «I» - общие индексы. Знак внизу справа означает период: 0 - базисный; 1 - отчетный. Помимо этого используются определенные символы для обозначения индексируемых  показателей:

q - количество (объем) какого-либо товара в  натуральном выражении;

p - цена  единица товара;

z - себестоимость  единицы продукции;

t- трудоемкость единицы изделия;

w - выработка  продукции в стоимостном выражении  на одного рабочего или в  единицу времени;

v - выработка  продукции в натуральном выражении  на одного рабочего или в  единицу времени;

T - общие  затраты времени (tq) или численность  рабочих;

pq - стоимость  продукции или товарооборот;

zq - издержки  производства. 

Индексы считаются построенными правильно, если они удовлетворяют ряду тестов. Эти тесты были сформулированы американским статистиком И. Фишером. Основными  считаются следующие тесты:

1. Тест  обратимости по факторам, сущность  которого состоит в том, что  если поменять местами в индексе  цен символы для цен и для  количества, то мы должны получить  индекс количества, который, будучи  умножен на индекс, должен дать  изменение общей стоимости товаров.

2. Тест  кружного испытания (циркулярность)  характеризуется тем, что, если  построен некоторый индекс для  года a при базисном годе  b и для года b при базисном годе c, то из них можно получить индекс года b при базисном годе c. Он требует, чтобы:

Условие круглой сходимости: если условия  начального и конечного моментов времени совпадают по уровням  цен и объёмов товаров, то произведение индексов цен и объёмов товаров  за все подпериоды должно быть равно  единице.

3. Тест  обратимости во времени. Индексы,  вычисленные в прямом или обратном  направлениях, должны быть взаимообратными.  Наличие данного свойства желательно  у любого индекса, потому что  в таком случае сравнение между  двумя состояниями не будет  зависеть от того, какое из  них принято за базу.

4. Тест  пропорциональности, согласно которому  если темпы роста всех цен  или объёмов товаров равны  одному и тому же числу, то  этому же числу должен быть  равен и индекс цен или индекс  объёма.

5. Тест  соизмеримости характеризуется  тем, что численные значения  индексов не должны зависеть  от выбора единиц измерения  объёма товаров и цен.

6. Тест  включение - исключение: если к  набору товаров, по которым  вычисляются индексы, и объёму  товаров добавить ещё один  товар, темпы роста цены или  объёма которого совпадают с  первоначальным индексом, то первоначальный  индекс цен или объёма не  должен измениться.

Отдельно  можно выделить такие свойства, как:

а) синтетические  свойства общих индексов – характеризуются  тем, что они выражают относительные  изменения сложных явлений, отдельные  части и элементы которых непосредственно  несоизмеримы;

б) аналитические  свойства общих индексов – состоят  в том, что с помощью индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя.

2.СРЕДНИЕ  ИНДЕКСЫ

 

Средний индекс - это индекс, вычисленный  как средняя величина из индивидуальных индексов. Агрегатный индекс является основной формой общего индекса, поэтому  средний индекс должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов используются две  формы средних: арифметическая и  гармоническая.

К исчислению средневзвешенных индексов прибегают  тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Так, если отсутствуют данные о ценах, но имеется  информация о стоимости продукции  в текущем периоде и известны индивидуальные индексы цен по каждому  товару, то нельзя определить общий  индекс цент как агрегатный, но возможно исчислить общий индекс физического  объема продукции как средневзвешенную величину.

Средний арифметический индекс тождествен агрегатному  индексу, если весами индивидуальных индексов будут слагаемые знаменателя  агрегатного индекса. Только в этом случае величина индекса, рассчитанного по формуле средней арифметической, будет равна агрегатному индексу.

Средний арифметический индекс цен, тождественен агрегатному индексу Ласпейреса:

Весами  осредняемых индивидуальных индексов в этом индексе служит объем товарооборота  в базисном периоде (p₀q₀).

Аналогично  индексу цен исчисляются и  средние индексы себестоимости  продукции.

Средний гармонический индекс тождествен агрегатному, если индивидуальные индексы будут  взвешены с помощью слагаемых  числителя агрегатного индекса. Например, индекс себестоимости можно  исчислить так:

,

а средний  гармонический индекс цен, который  тождественен формуле Паше, так:

.

Таким образом, весами при определении среднего гармонического индекса себестоимости  являются издержки производства текущего периода, а индекса цен - стоимость  продукции этого периода.

Примеров  средних индексов может служить  таблица:  

2.1 СРЕДНЕВЗВЕШЕННЫЕ ИНДЕКСЫ

 

На примерах можно было увидеть, что общий  агрегатный индекс одновременно является индексом средним из индивидуальных. Всякий общий агрегатный индекс можно  исчислить как среднюю взвешенную величину из индивидуальных индексов. Но при таком способе расчета  нужно правильно взять форму  средней и систему весов для  индивидуальных индексов. Вопрос о  выборе формы средней и системы  весов в этом случае решается на основе общего правила, что агрегатный индекс - основная форма всякого экономического индекса. Следствием этого правила является то, что средний из индивидуальных индексов должен быть тождествен исходному агрегатному. Это означает, что средние из индивидуальных индексов выступают как преобразованная форма агрегатного индекса. А так как агрегатный индекс может быть преобразован только либо в средний арифметический, либо в средний гармонический, то, следовательно, при исчислении средних индексов могут быть использованы только две формы средних: средняя арифметическая и средняя гармоническая. Никакая другая форма при расчете не применяется.

Покажем преобразование агрегатного индекса  качественного показателя в средний  гармонический и средний арифметический на примере индекса цен.

В тех  случаях, когда неизвестны отдельные  значения и , но дано их произведение , (товарооборот текущего периода) и индивидуальные индексы цен , а сводный индекс должен быть исчислен с отчетными весами, - применяется средний гармонический индекс цен. Причем, индивидуальные индексы должны быть взвешены таким образом, чтобы средний гармонический индекс совпал с агрегатным. Из формулы определяем неизвестное значение , подставляем его в знаменатель агрегатной формулы и получаем средний гармонический индекс цен, который тождественен формуле Паше:

 

 

Весами  индивидуальных индексов в этом индексе служит стоимость отдельных видов продукции отчетного периода в ценах того же периода .

Если  из индивидуального индекса цен  выразим цену отчетного периода и подставим в числитель агрегатного индекса цен (10), то получим средний арифметический индекс цен, тождественный агрегатному индексу Ласпейреса:

 

 

Весами  осредняемых индивидуальных индексов в этом индексе служит объем товарооборота  в базисном периоде ( ).

Аналогично  индексу цен исчисляются и  средние индексы себестоимости  продукции.

Приведем  общую схему преобразования агрегатных индексов в индексы средние арифметические и средние гармонические.

 

Таблица 1

Наименование индекса	Индивидуальный индекс	Преобразование индивидуального индекса	Агрегатный индекс	Средний арифметический	Средний гармонический
Физического объема
Цен
Себестоимости
Производительности труда

 

Важной  особенностью общих индексов, построение и расчет которых составляют суть индексного метода, является то, что  они обладают синтетическими и аналитическими свойствами:

• Синтетические свойства общих индексов состоят в том, что они выражают относительные изменения сложных (разнотоварных) явлений, отдельные части и элементы которых непосредственно несоизмеримы.
• Аналитические свойства общих индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя.
• Таким образом, общие индексы являются синтетическими и аналитическими показателями, играющими важную роль в социально-экономических исследованиях.

 

 

 

 

2.2 СРЕДНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ

Среднеарифметический  индекс тождествен агрегатному, если весами индивидуальных индексов будут слагаемые  знаменателя агрегатного по формуле  средней арифметической, будет равна  агрегатному индексу.

Рассмотрим  преобразование агрегатного индекса  в среднеарифметический на примере  агрегатного индекса физического  объема товарооборота. В этом случае индивидуальные индексы должны быть взвешены на базисные соизмерители. Из индивидуального индекса физического  объема товарооборота  следует, что q1= iqq0. Заменив q1 в числителе агрегатного  индекса физического объема товарооборота на iqq0, получим среднеарифметический индекс физического объема продукции: