Средние показатели

Содержание

1. Понятие среднего показателя………………………………………….............3

2. Средняя арифметическая  и ее свойства………………………………………6

3. Другие виды средних  показателей…………………………………………...12

4. Структурные средние…………………………………………………………15

Задача……………………………………………………………………………..20

Список используемой литературы……………………………………………...21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие среднего  показателя

 

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности. Средняя величина дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней  величины заключается в том, что  она отражает то общее, что присуще  всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или  иную сторону под влиянием множества  факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется ее финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов. Это позволяет средней абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Средняя величина только тогда  будет отражать типичный уровень  признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых  в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это объясняется тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна - общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т. е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

Категорию средней можно  раскрыть через понятие ее определяющего свойства. Согласно этому понятию средняя, будучи обобщающей характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности/Эту величину можно представить в виде функции:

Так как данная величина в большинстве случаев отражает реальную экономическую категорию, понятие определяющего свойства средней иногда заменяют понятием определяющего  показателя.

Если в приведенной  выше функции все величины x₁, x₂…x_n заменить их средней величиной , то значение этой функции должно остаться прежним:

 Исходя из данного  равенства, и определяется средняя.  На практике определить среднюю  во многих случаях можно через  исходное (ИСС) или ее логическую  формулу:

Так, например, для расчета  средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:

Числитель исходного соотношения  средней представляет собой ее определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Независимо от того, какой первичной информацией мы располагаем - известен ли нам общий фонд заработной платы или заработная плата и численность работников, занятых на отдельных должностях, или какие-либо другие исходные данные - в любом случае среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней.

Для каждого показателя, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета  средней. Если, например, требуется  рассчитать средний размер вклада в банке, то соотношение будет следующим:

ИСС = Сумма всех вкладов (тыс. руб.) 

число вкладов

Если же необходимо определить среднюю процентную ставку по кредитам, выданным на один и тот же срок, то потребуется следующее исходное соотношение:

ИСС = Общая сумма выплат по процентам (тыс. руб.)

       Общая  сумма представленных кредитов (тыс.  руб.)

 

От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета  средней, зависит, каким именно образом  будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения потребуется один из видов средней величины. Это может быть средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая и т. д.

Перечисленные средние объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине с):

 

 

 

где х_i, - i - й вариант рассматриваемого признака (i = :); m, - удельный вес i-ro варианта.

Помимо степенных средних  в экономической практике также  используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана. При осреднении уровней динамических рядов применяются различные виды средней хронологической.

2. Средняя арифметическая  и ее свойства

 

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Предположим, пять торговых центров фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц:

Экономический показатель	Торговый центр (i)
	1	2	3	4	5
Товарооборот (млн. руб.) х.	132	142	125	164	127

 

Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в  расчете на один центр, необходимо воспользоваться  следующим исходным соотношением:

ИСС =

Формула средней: (i = ):

= =

С учетом имеющихся данных получим:

 = = 137,6 млн руб.

В этом примере мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной).

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Рассмотрим следующий  условный пример:

Таблица 1

Результаты торгов акциями  АО

Сделка	Количество проданных  акций, шт. (уи.)	Курс продажи, руб. (х.)
1 2 3	500 300 1100	1080 1050 1145

Определим по данному дискретному  вариационному ряду средний курс продажи одной акции, что можно сделать, только используя следующее исходное соотношение:

Чтобы получить общую сумму  сделок, необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных  акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем  иметь следующий результат:

= 1080 · 500 + 1050 · 300 + 1145 · 1100  = 1112,9 руб.

                                 500 + 300 + 1100

Расчет среднего курса продажи  произведен по формуле средней арифметической взвешенной:

 

 

 

где k - число вариантов (i = 1, 2, ..., k).

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки акций соответственно составляет 26,3% (0,263); 15,8% (0,158) и 57,9% (0,579) от их общего числа. Тогда, с учетом несложного преобразования приведенной выше формулы получим:

 

 

или = 1080 · 0,263 + 1050 · 0 ,158 + 1145 · 0,579= 1112,9 руб.

На практике наиболее часто  встречаемая при расчете средних  ошибка заключается в игнорировании  весов в тех случаях, когда  эти веса в действительности необходимы. Предположим, имеются следующие  данные (табл. 2):

Таблица 2

Средние цены оптовых рынков на товар А

Оптовый рынок	Средняя цена (руб./шт.)
1 2	43 42

 

Можно ли по имеющимся данным определить среднюю цену данного  товара по двум рынкам, вместе взятым? Можно, но только в том случае, когда  объемы реализации этого товара на двух рынках совпадают. Тогда средняя цена реализации составит 42 руб. (доказательство этого правила будет приведено ниже). Однако на первом рынке может быть реализовано, к примеру, 100 единиц товара, а на втором - 1000 единиц. Тогда для расчета средней цены потребуется уже средняя арифметическая взвешенная:

 =   43 · 100 + 41 · 1000  = 41,2 руб.

100 + 1000

Общий вывод заключается  в следующем: использовать среднюю  арифметическую невзвешенную можно  только тогда, когда точно установлено  отсутствие весов или их равенство.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример (табл. 3):

 

Таблица 3

Распределение предприятий  отрасли по объему годовой прибыли

Прибыль, млн руб.	Число предприятий
До 20	7
20-30	13
30-40	38
40-60	42
60-80	16
80 и более	5
Итого	121

 

Для определения средней  прибыли в расчете на одно предприятие найдем середины интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:

15, 25,  35,  50,  70,  90.

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим среднюю прибыль  предприятий отрасли:

= = 44,9 млн. руб.

Свойства средней  арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность. В ряде случаев они используются при ее расчете. Рассмотрим эти свойства.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты (/-и группы):

 · 

Действительно, если мы обратимся  к приведенному выше примеру расчета среднего курса продажи акций, то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут незначительно отличаться):

1112,9 · 1900 = 1080 · 500 + 1050 · 300 + 1145 · 1100.

2. Сумма отклонений индивидуальных  значений признака от средней  арифметической равна нулю:

Для нашего примера:

(1080 · 1112,9) · 500 + (1050 · 1112,9) · 300 + (1145 · 1112,9) ·1100 = 0.

3. Сумма квадратов отклонений  индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

 

 

 

 

 

Следовательно, сумма квадратов  отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

На использовании этого  свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при

С = .

 

 

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

4. Если все осредняемые  варианты уменьшить или увеличить  на постоянное число A, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

Так, если все курсы продажи  акций увеличить на 100руб., то средний курс также увеличится на 100 руб.:

= 1212,9 руб.

5. Если все варианты значений  признака изменить в ,4 раз,  то средняя также изменится  в 4 раз: