Средние показатели

 

 

 

Предположим, что курс продажи  в каждом случае возрастет в 1,5 раза. Тогда и средний курс также  увеличится в 1,5 раза:

= 1112,9 · 1,5 = 1669,4 руб.

Необходимо также отметить, что если все веса равны между  собой, то средняя арифметическая взвешенная совпадает со средней арифметической простой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Другие виды  средних показателей

 

При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная. Данная форма используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности сельскохозяйственного производства (табл. 4).

Таблица 4

Валовой сбор и урожайность  подсолнечника по центрально-черноземному району (в хозяйствах всех категорий)

Область	Валовый сбор, тыс. т	Урожайность, ц/га
Белгородская	97	16,1
Воронежская	204	9,5
Курская	0,5	4,8
Липецкая	16	10,9
Тамбовская	69	7,0

 

Средняя урожайность любой  сельскохозяйственной культуры по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т. п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:

ИСС =

Общий валовой сбор мы получим  простым суммированием валового сбора по областям. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор по каждой области на урожайность. С учетом этого определим искомую среднюю, предварительно переведя для сопоставимости тонны в центнеры:

Таким образом, общая посевная площадь подсолнечника по Центрально-Черноземному району составляла 389,3 тыс. га, а средняя урожайность - 9,9 ц с одного гектара.

В данном примере расчет произведен по формуле средней гармонической  взвешенной:

 

 

 

Данная формула используется для расчета средних показателей  не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса и w за ряд временных интервалов.

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней имеет следующий вид:

 

 

Для иллюстрации области  ее применения воспользуемся условным примером. Пусть упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника фирмы, специализирующейся на торговле по почте. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., второй - 14 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ  на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (8 + 14): 2= 11 мин. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 7,5 заказов (60 : 8), второй - 4,3 заказа (60 : 14). В сумме

это составляет 1 1,8 заказа. Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

60 : 11 + 60 : 11 = 10,9

Подойдем к решению  через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты  времени разделить на общее число  обработанных за этот интервал двумя  работниками заказов:

Если теперь мы заменим  индивидуальные значения их средней  величиной, то общее количество обработанных за 1 час заказов не изменится:

60 : 10,2 + 60 : 10,2 = 11,8

Таким образом, средняя гармоническая  невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения w_i-для единиц совокупности равны (рабочий день у сотрудников одинаковый).

Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая. Сначала обратимся к формуле невзвешенной средней геометрической. Она выглядит следующим образом:

Соответственно средняя  геометрическая взвешенная приобретает  следующее выражение:

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в  анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая. Формула невзвешенной средней квадратической достаточно проста:

Взвешенная средняя квадратическая:

Наиболее широко этот вид  средней используется при расчете  показателей вариации.

В статистическом анализе  также применяются степенные  средние 3-го порядка и более высоких порядков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Структурные  средние

 

Наиболее часто используемыми  в экономической практике структурными характеристиками являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Основное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Определим моду и медиану  по несгрупированным данным.

Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А  по следующим оптовым ценам (тыс. руб.): 4,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6. Как видим, чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб. Она и будет модальной. Для  определения медианы необходимо провести ранжирование приведенного цифрового  ряда: 4,2; 4,3; 4,3; 4,3; 4,4; 4,4; 4,5; 4,6; 4,6.

Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс. руб. Следовательно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана выполняет функции средней для неоднородной совокупности. В этих случаях средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния аномальных максимальных или минимальных значений. Проиллюстрируем сказанное следующим примером.

Допустим, нам необходимо дать обобщающую характеристику среднедушевых доходов группы людей, насчитывающей десять человек, из которых девять имеют доходы в интервале от 1 до 2 тыс. руб. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50 тыс. руб.:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Доход,	1000	1000	1100	1200	1400	1500	1500	1700	2000	50000
руб.

 

 

Если мы воспользуемся  средней арифметической, то получим  средний доход, равный примерно 6240 руб., что не только почти в 8 раз меньше дохода 10-го человека, но и имеет  мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 1450 руб., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 90% данной совокупности людей.

Теперь рассмотрим определение  моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения). Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий
52	12
53	48
54	56
55	60
56	14
Итого	190

Определение моды по дискретному  вариационному ряду не составляет большого труда - наибольшую частоту (60 предприятий) имеет цена 55 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле  находят номер медианной единицы  ряда:

где n - объем совокупности.

В нашем случае = 95,5.

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12 + 48 = 60). Что касается 95-го и 96-го предприятий, то они находятся в третьей группе (12 + 48 + 56 - 116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб.

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул. Первая из них:

 

где х_о - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

h - ширина модального интервала;

 -частота модального интервала; -частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Вторая:

 

где x₀ - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

h - ширина медианного интервала;

  накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

 - частота i-ro интервала, i = 1, 2, ..., k;

- частота медианного  интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные табл. 5.

Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения обоснованного представления об уровне жизни населения страны и региона, о его покупательной способности, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.

Таблица 6.5

Распределение населения  РФ по уровню среднедушевых денежных доходов в 1998 г.

Среднедушевой	Численность населения,
денежный доход
(в среднем за месяц), руб.	Млн. чел.
До 400	22,1
400-600	27,8
600-800	25,2
800-1000	19,6
1000-1200	14,3
1200-1600	17,6
1600-2000	9,0
2000 и более	НД
Итого	146,7

 

Интервал с границами 400-600 в данном распределении будет  модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Используя формулу, определим моду:

М_о = 400 + == 537,3 руб.

Для определения медианного интервала необходимо рассчитывать накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 73,35):

Таким образом, медианным  является интервал с границами 600-800. Тогда медиана равна:

 

Интервал	Накопленная частота, млн. чел.
До 400 400-600	22,1 49,9
600-800	75,1