Средняя, ее сущность. Основные положения теории средних. Условия типичности средних

Содержание:

1. Средняя, ее сущность. Основные положения теории средних. Условия типичности средних…………………………………...………………………………………………………2
2. Задача №1………………………………………………………………………………...6
3. Задача №2……………………………………………………………………………….13
4. Список используемой литературы…………………………………………………….16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Средняя, ее сущность. Основные положения теории средних. Условия типичности средних.

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемых в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимыми в анализе явлений и процессов общественной жизни. В среднем значении отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются.

Проиллюстрируем значение средних  показателей на следующем примере. Одной из задач органов государственной  статистики является характеристика уровня жизни населения в целом и, в частности, уровня его доходов в разделе различных социальных групп. Очевидно, что данный объект включает столь большое число единиц, что сравнение индивидуальных доходов каждой семьи рабочего, служащего, предпринимателя, студента и т. д. является абсолютно невозможным. Не представляет особого интереса и сравнение суммарных доходов отдельных социальных групп, так как эти группы существенно различаются по численности (например, численность рабочих и численность людей, занятых в сфере предпринимательства). В данном случае мы можем использовать лишь средние показатели, а именно среднюю величину доходов в расчете на одного человека или на одну семью по каждой социальной группе.

Важнейшее свойство средней  величины заключается в том, что  она отражает то общее, что присуще  всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности могут колебаться в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых как основные, так и случайные. Например, доходы такой социальной группы, как студенты государственных вузов в целом определяются действующим положением о начислении стипендии. В то же время доходы отдельно взятого студента могут быть и очень большими (предположим, вследствие занятия каким-либо бизнесом в свободное от учебы время или хорошо оплачиваемых сезонных работ), и совсем отсутствовать (например, при нахождение в академическом отпуске). Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам. Возможно, что ни один студент в границах исследуемой совокупности не имеет с точностью до рубля такого дохода, какой получен на основе расчета средней. Однако эта средняя отражает тот типичный уровень доходов, который характеризует студенчество как социальную группу.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью  статистической совокупности. Средняя  величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда  она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, например, если мы рассчитаем средний уровень доходов служащих, то получим фиктивную среднюю. Это объясняется тем, что используемая для расчета средней совокупность, включающая служащих государственных, совместных, арендных, акционерных предприятий, а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т. п., является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна – общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т. е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

Сущность средней можно  раскрыть через понятие ее определяющего свойства: средняя, являясь обобщающей характеристикой всей статистической совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Эту величину можно представить в виде функции:

ƒ(х_1, х₂, …, х_n).                                       (1)

Так как данная величина в большинстве случаев отражает реальную экономическую категорию, ее называют определяющим показателем.

Если в приведенной  выше функции все величины х_1, х₂, …, х_n заменить их средней величиной ̅х, то значение этой функции должно остаться прежним:

ƒ(х_1, х₂, …, х_n) = ƒ(̅х_, ̅х, …, ̅х).                  (2)

Исходя из данного равенства  и определяется средняя.

Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

ИСС = Суммарное значение или объем осредняемого признака / Число единиц или объем совокупности.                                                                                (3)

Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:

Средняя заработная плата = Фонд заработной платы, тыс. руб. / Число  работников, человек.                                                                                            (4)

Числитель исходного соотношения  средней представляет собой ее определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем  является фонд заработной платы. В любом  случае независимо от того, какой первичной  информацией мы располагаем (известны ли нам общий фонд заработной платы, или заработная плата и численность  работников, занятых на отдельных  должностях, или какие-либо другие исходные данные), среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней.

Для каждого показателя, используемого в социально-экономическом  анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение  для расчета средней. Если, например, требуется рассчитать средний размер вклада в банке, то исходное соотношение будет следующим:

Средний размер вклада = Сумма  всех вкладов, тыс. руб. / Число вкладов.          (5)

При необходимости определения  средней процентной ставки по кредитам, выданным на один и тот же срок, потребуется  следующее исходное соотношение:

Средняя процентная ставка = Общая сумма выплат по процентам (из расчета за год), тыс. руб. / Общая сумма предоставленных кредитов, тыс. руб. × 100%.                                 (6)

Однако от того, в каком  виде представлены исходные данные для  расчета средней, зависит, каким  именно образом будет реализовано  ее исходное соотношение. В каком  конкретном случае для реализации исходного  соотношения потребуется одна из следующих форм средней величины:

• средняя арифметическая;
• средняя гармоническая;
• средняя геометрическая;
• средняя квадратическая, кубическая и т. д.

Перечисленные средние (кроме средней геометрической) объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине k):

где ̅х – средняя величина исследуемого явления;

х₁ – i-й вариант осредняемого признака (i = 1̅, ̅n);

ƒ_{1 –} вес i-го варианта.

Помимо степенных средних в статистической практике также используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана.

При осреднении уровней динамических рядов применяются различные  виды средней хронологической.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача№1

Имеются следующие данные об объеме розничного товарооборота  торговых предприятий региона, млн. руб.

Задание 2

99,0	80,3	103,1	115,4	84,5	93,4	103,1	106,4	95,6	86,1
78,1	105,3	96,4	82,7	118,1	98,8	125,7	89,9	140,0	104,5
100,1	123,1	95,3	79,1	107,1	84,4	108,8	96,4	117,0	85,6
95,0	109,3	80,7	105,8	90,5	97,5	119,0	107,7	90,7	96,1
70,2	81,0	111,3	75,3	99,1	92,0	72,2	109,1	89,3	70,0

 

1. Построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами, выделив n групп торговых предприятий по величине объема розничного товарооборота.
2. Изобразить полученный вариационный ряд графически в виде гистограммы и полигона распределения.
3. Построить кумуляту распределения торговых предприятий по величине объема розничного товарооборота.
4. Определить по данным вариационного ряда объем товарооборота в среднем на одно предприятие.
5. Определить модальный интервал распределения и вычислить моду.
6. Определить медианный интервал распределения и вычислить медиану.
7. Рассчитать и проанализировать абсолютные показатели вариации:

- размах вариации;

- среднее линейное отклонение;

- среднее квадратическое отклонение;

- дисперсию.

8. Рассчитать и проанализировать относительные показатели вариации:

- коэффициент осцилляции;

- линейный коэффициент  вариации;

- коэффициент вариации.

9. Сделать общий вывод по анализируемой статистической совокупности и сформулировать предложения по ее оптимизации.

 

 

 

 

 

 

Решение:

1. Умножив на поправочный коэффициент (1,9) получим условие задачи:

Таблица 1

188,1	152,57	195,89	219,26	160,55	177,46	195,89	202,16	181,64	163,59
148,39	200,07	183,16	157,13	224,39	187,72	238,83	170,81	266	198,55
190,19	233,89	181,07	150,29	203,49	160,36	206,72	183,16	222,3	162,64
180,5	207,67	153,33	201,02	171,95	185,25	226,1	204,63	172,33	182,59
133,38	153,9	211,47	143,07	188,29	174,8	137,18	207,29	169,67	133

Построим интервальный вариационный ряд с равными интервалами, выделив 10 групп торговых предприятий по величине объема розничного товарооборота.

Чтобы определить величину интервала в группе, необходимо найти  разность между максимальным и минимальным  значениями признака (в нашем случае объем розничного товарооборота) и  разделить её на число выделяемых групп. Обозначим величину интервала через h, следовательно,

 

h = 266 – 133 / 10 = 13,3

Выделим теперь группы с  интервалом 13,3 млн. руб. и подсчитаем число предприятий в каждой группе (в виде таблицы):

Таблица 2

Объем розничного товарооборота, млн. руб.	Число предприятий,  fi	Накопленные (кумулятивные) частоты
133-146,3	4	4
146,3-159,6	6	10
159,6-172,9	8	18
172,9-186,2	9	27
186,2-199,5	7	34
199,5-212,8	9	43
212,8-226,1	4	47
226,1-239,4	2	49
239,4-252,7	0	49
252,7-266	1	50
Всего	50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Изобразим полученный вариационный ряд графически в виде гистограммы и полигона распределения.

Рис.1. Гистограмма и полигон  распределения 50-и предприятий по объему розничного товарооборота.

3. Построим кумуляту распределения торговых предприятий по величине объема розничного товарооборота.

Рис.2  Кумулята распределения 50-и предприятий по объему розничного товарооборота.

 

 

 

4. Определим по данным вариационного ряда объем товарооборота в среднем на одно предприятие.

Для определения среднего объема товарооборота нам необходимо добавить в таблицу 2 дополнительно два столбца, а именно, середина интервала (xi) и столбец произведения среднего интервала на число предприятий (fi), то есть (xi*fi). В связи с тем что, нам даны не точные цифры, а диапазоны и последняя колонка, следовательно, в данной ситуации мы должны использовать среднюю арифметическую взвешенную.

Формула средней арифметической взвешенной следующая:

∑ xi*f i

x = ————

∑ f i

Таблица 3.

Объем розничного товарооборота, млн. руб.	Середина интервала хi	Число предприятий,  fi	Накопленные (кумулятивные) частоты	xi*fi
133-146,3	139,65	4	4	558,6
146,3-159,6	152,95	6	10	917,7
159,6-172,9	166,25	8	18	1330
172,9-186,2	179,55	9	27	1615,95
186,2-199,5	192,85	7	34	1349,95
199,5-212,8	206,15	9	43	1855,35
212,8-226,1	219,45	4	47	877,8
226,1-239,4	232,75	2	49	465,5
239,4-252,7	246,05	0	49	0
252,7-266	259,35	1	50	259,35
Всего		50		9230,2