Средняя, ее сущность. Основные положения теории средних. Условия типичности средних

Посчитаем средний объем товарооборота на одно предприятие:

∑ xi*f i  9230,2

xср = ———— = ———— = 184,6 (млн. руб.)

∑ f i   50

 

Ответ: средний объем розничного товарооборота на одно предприятие указанных в Таблице 1 предприятий составляет 184,6 млн. руб.

5. Определим модальный интервал распределения и вычислим моду.

Модальный интервал распределения  – это интервал с наиболее часто  встречающимися показателями (имеющий  наибольшую частоту). Исходя из данных, интервалов два: а) 172,9-186,2 (млн. руб.) и б) 199,5-212,8 (млн. руб.).

Мода (наиболее часто встречающееся  значение, в нашем случае объем  розничного товарооборота предприятий) находится в двух интервалах          а) 172,9-186,2 (млн. руб.) и б) 199,5-212,8 (млн. руб.).

Определим Моду (Мо) по следующей  формуле:

ƒ₄ – f₃

Мо₁ = x_н+h —————————— ,

( f₄ – f₃ ) + ( f₄ – f₅ )

где x_н - нижняя граница модального интервала

f₆ – f₅

Мо₂ = x_н+h ——————————— ,

( f₆ – f₅) + ( f₆ – f₇ )

где x_н - нижняя граница модального интервала

  (9-8)

Мо₁ = 172,9+13,3 —————— = 186,2*0,3 = 55,86 (млн. руб.).

      (9-8) + (9-7)

       9-7

Мо₂ = 199,5+13,3 ————— = 212,8*0,3 = 63,84 (млн. руб.).

  (9-7) + (9-4)  

Ответ: модальных интервалов распределения два :а) 172,9-186,2 (млн. руб.) и б) 199,5-212,8 (млн. руб.), мода Мо₁ = 55,86 (млн. руб.), Мо₂ = 63,84 (млн. руб.).

6. Определить медианный интервал распределения и вычислить медиану.

Медианный интервал распределения - это интервал, накопленная частота, которой равна или превышает половину суммы частот.

Определим медианный интервал распределения и вычислим медиану.

Определим медианный интервал, кумулятивная частота которого равна  или превышает половину суммы  частот: 50/2=25, следовательно, медианным  интервалом будет интервал со значением  розничного товарооборота – 184 -199,5.

Определим медиану по следующей  формуле:

Ме = Хме + iме*(F/2 – Sме-1)/Fме, где

Хме – начальное значение медианного интервала;

Iме – величина медианного интервала;

F – сумма частот ряда (численность ряда);

Sме-1 – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

Fме – частота медианного интервала.

Ме = 186,2 + 13,3*(50/2 – 24)/2 = 192,85

Ответ: Медианный интервал распределения 186,2-199,5, медиана равна 192,85.

7. Рассчитаем и проанализируем абсолютные показатели вариации:

- размах вариации;

R = x _max – x _min

R = 266 – 133 = 133 млн. руб.

- среднее линейное отклонение;

Среднее линейное отклонение - это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.

• = |139,65-184,6| + |152,95-184,6| + |166,25-184,6| + |179,55-184,6| +

+ |192,85-184,6| + |206,15-184,6| + |219,45-184,6| + |232,75-184,6| +

+|246,05-184,6| + |259,35-184,6| / 10 = |-44,95| + |-31,65| + |-18,35| + |-5,05| +

+ |8,25| + |21,55| + |34,85| + |48,15| + |61,45| + |74,75| / 10 = |349| /10 = 34,9

- среднее квадратическое отклонение (σ);

В нашем случае применим формулу для вариационного ряда:

∑ (xi - x̅)² f i

σ = √ —————    

∑ f i

Нам известна x , она составляет 184,6 (млн. руб.)

Для нахождения среднего квадратического отклонения (σ) составим Таблицу 4.

Таблица 4

Объем розничного товарооборота  млн. руб.	Середина интервала xi	Число предприятий fi	Накопленные (кумулятивные) частоты	│xi - x̅│	│xi - ̅x│*f i	│xi - x̅│2*f i
133-146,3	139,65	4	4	44,95	179,8	8082,01
146,3-159,6	152,95	6	10	31,65	189,9	6010,34
159,6-172,9	166,25	8	18	18,35	146,8	2693,78
172,9-186,2	179,55	9	27	5,05	45,45	229,52
186,2-199,5	192,85	7	34	8,25	57,75	476,44
199,5-212,8	206,15	9	43	21,55	193,95	4179,62
212,8-226,1	219,45	4	47	34,85	139,4	4858,09
226,1-239,4	232,75	2	49	48,15	96,3	4636,85
239,4-252,7	246,05	0	49	61,45	0	0
252,7-266	259,35	1	50	74,75	74,75	5587,56
Всего		50		349	1124,1	36754,21

36754,21

Итак , σ = √ ————— = √ 735,08 = 27,11(млн. руб.)

50

- дисперсию.

Дисперсия – средний квадрат  отклонений.

 

D = 36754,21 / 50 = 735,08

Ответ: Размах вариации равен 133 млн. руб. ; среднее линейное отклонение равно 34,9; среднее квадратическое отклонение равно 27,11 млн. руб. ; 

дисперсия равна 735,08 млн. руб.

8. Рассчитаем относительные показатели вариации:

- Коэффициент осцилляции:

Kr = R/xср *100%

Kr =133/184,6 *100% = 0,7205 * 100% = 72,05%.

- Линейный коэффициент  вариации:

Kd =d/х̅ * 100%

Kd = 34,9 / 184,6 *100% = 0,1891 * 100% = 18,91%

- Коэффициент вариации:

V σ = σ / х̅  *100%

V σ = 27,11 / 184,6 * 100% = 0,1469 *100% = 14,69%.

Ответ: Коэффициент осцилляции равен 72,05%, линейный коэффициент вариации равен 18,91%, коэффициент вариации равен 14,69%.

9. Составим общий вывод по анализируемой статистической совокупности и сформулируем предложения по ее оптимизации.

Объем товарооборота в  среднем на одно предприятие – 184,6, наиболее часто встречающееся значение ряда (мода) – Мо₁ = 55,86 (млн. руб.), Мо₂ = 63,84 (млн. руб.).  Медиана делит выборку на две части: половина варианта меньше медианы, половина — больше. Таким образом, 50% единиц совокупности будут больше по величине 192,85. Размах вариации (разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда) – 133. Среднее линейное отклонение показывает различия всех единиц исследуемой совокупности. В исследуемом случае каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 34,9. Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего) и составляет 735,08. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. И составляет 72,05%. Поскольку коэффициент вариации (14,69) ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Задача №2

Имеются следующие данные о ценах и объемах реализации товаров.

Задание 2

Таблица 5

	I квартал		II квартал
Вид товара	Средняя цена за единицу, руб.	Продано товаров, тыс.ед.	Средняя цена за единицу, руб.	Продано товаров, тыс.ед.
А, кг	20	150	15	240
Б, кг	8	720	10	650
В, кг	33	105	40	150

 

Вычислить:

1. Индивидуальные индексы цен по каждому виду товаров.
2. Индивидуальные индексы физического объема в реализации товаров.
3. Общий индекс товарооборота.
4. Общий индекс физического объема товарооборота.
5. Общий индекс цен.
6. Прирост товарооборота, в том числе за счет изменения цен и за счет изменения количества продажи товаров.
7. Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

 

Решение:

Умножив на поправочный коэффициент (1,9) получим условие задачи:

Таблица 6

	I квартал		II квартал
Вид товара	Средняя цена за единицу, руб.	Продано товаров, тыс.ед.	Средняя цена за единицу, руб.	Продано товаров, тыс.ед.
А, кг	38	285	28,5	456
Б, кг	15,2	1368	19	1235
В, кг	62,7	199,5	76	285

1. Вычислим индивидуальные индексы цен по каждому виду товаров.

Примем в Таблице 6, I квартал за базисный, II квартал за отчётный.

Индекс цены рассчитывается по следующей формуле:

p₁

ip= ——

p₀

она показывает во сколько раз изменилась цена в исследуемом периоде.

ip(товара А)= 28,5 / 38 = 0,75 (руб.)

ip(товара Б)= 19 / 15,2 = 1,25 (руб.)

ip(товара В)= 76 / 62,7 = 1,21 (руб.)

2. Вычислим индивидуальные индексы физического объема в реализации товаров.

Индекс физического объема рассчитывается по следующей формуле:

q₁

iq= ——

q₀

она показывает, во сколько раз изменилось количество в исследуемом периоде.

iq(товара А)= 456 / 285 = 1,6 (тыс. ед.)

iq(товара Б)= 1235 / 1368 = 0,9 (тыс. ед.)

iq(товара В)= 285 / 199,5 = 1,43 (тыс. ед.)

3. Вычислим общий индекс товарооборота.

Индекс стоимости товара (товарооборота) рассчитывается по следующей  формуле:

p_1* q₁

ipq= —— , индекс товарооборота по единичному товару

p_0* q₀

Индекс стоимости товаров (общего товарооборота) рассчитывается по  формуле:

∑ p_1* q₁

Ipq= ——   , индекс товарооборота по группе товаров

∑ p_0* q₀

Ipq (товара А) = (28,5 * 456) / (38 * 285) = 1,2

Ipq (товара Б) = (19 * 1235) / (15,2 * 1368) = 1,128

Ipq (товара В) = (76 * 285) / (62,7 * 199,5) = 1,73

Ipq = (28,5 * 456) + (19 * 1235) + (76 * 285) /

/ (38 * 285) + (15,2 * 1368) + (62,7 * 199,5) = 1,317

4. Вычислим общий индекс физического объема товарооборота.

 

I_q = (456*38 + 1235*15,2 + 285*62,7) / (285*38 + 1368*15,2 + 199,5*62,7) =

= 53969,5 / 44132,25 = 1,22

5. Вычислим общий индекс цен.

Iр=∑р1*q0/∑р0*q0

I_p = (456*28,5 + 1235*19 + 285*76) / (456*38 + 1235*15,2 + 285*62,7) =

= 58112 / 53969,5 = 1,08

6. Прирост товарооборота, в том числе за счет изменения цен и за счет изменения количества продажи товаров.

∆Z = ∑q₁ • p₁ - ∑q₀ • p₀

∆Z = (28,5*456 + 19*1235 + 76*285) -  (285*38 + 1368*15,2 + 199,5*62,7) =

= 58112 – 44132,25 = 13979,75

За счет всех факторов общий  товарооборот увеличился на 13979,75.

∆Z_p = ∑q₁ • p₁ - ∑q₁ • p₀

∆Z_p = (28,5*456 + 19*1235 + 76*285) – (456*38 + 1235*15,2 + 285*62,7) =

= 58121 – 53969,5 = 4151,5

За счет изменения цен  сводный товарооборот возрос на 4151,5.

∆Z_q = ∑q₁ • p₀ - ∑q₀ • p₀

∆Z_q = 53969,5 – 44132,25 = 9837,25

За счет изменения объема выработанной продукции, товарооборот возрос на 9837,25

7. Покажем взаимосвязь между исчисленными индексами.

I  = Iq • Ip = 1,317 • 1.06 = 1,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

1. Елисеева И.И., Юзбашев В.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
2. Шмойлова Теория статистики: Учебник/Р.А.. – М.: Финансы и статистика, 2006.
3. Шмойлова Р.А..  Практикум по теории статистики: Учебное пособие/Под ред. проф.– М.: Финансы и статистика, 1999.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число                                                                                                                                               Подпись