Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Мая 2013 в 10:47, контрольная работа
1. Задание 1. Дана статистическая совокупность, характеризующая длину нити в пряже (в метрах):
51,55 52,09 82,72 84,58 78,89 73,74
61,25 62,00 53,97 55,07 85,73 76,48
67,13 67,64 62,41 62,50 58,10 80,40
69,34 69,49 67,93 68,28 62,84 86,34
71,85 72,71 70,02 70,56 68,97 60,21
75,18 75,64 72,78 73,05 70,69 64,93
77,47 77,89 75,84 76,03 73,68 69,10
51,59 82,51 78,04 78,24 76,11 71,32
61,86 53,08 82,94 85,06 80,34 73,78
67,37 62,39 54,74 57,12 86,11 76,94
69,40 67,86 62,46 62,80 59,38 80,58
72,27 69,70 68,03 68,74 63,44 86,55
75,32 72,74 70,26 70,65 69,07 60,21
77,59 75,71 73,03 73,59 71,13 65,46
69,34 78,03 76,01 76,05 69,34 71,40
65,65 60,36 78,11 80,73 76,98 73,96
71,54 77,38 80,76 74,98
1) Построить по этим данным интервальный вариационный ряд случайной величины X с равными интервалами (первый интервал 51,55 - 56,55 и т.д.) и начертить гистограмму.
2) Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
3) Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выбо-рочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, началь-ные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.
4) Используя критерий – Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости =0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Задание 2. Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (X) получены статистические данные по 55 предприятиям за год.
yi xj, тыс. руб.
12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5
250-260 1
260-270 3
270-280 1 2
280-290 3 3 1
290-300 8 9
300-310 2 7 6
310-320 2
320-330 1 3
330-340 2
340-350 1
а) Вычислить групповые средние и , построить корреляционные поля;
б) предполагая, что между х и у существует линейная корреляционная зависимость
• найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на корреляционных полях;
• вычислить коэффициенты корреляции и детерминации, сделать выводы о тесноте и направлении связи;
• вычислить среднюю абсолютную процентную ошибку; для коэффициента корре-ляции генеральной совокупности; определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности = 0,05.
Поскольку наблюдаемое значение критерия меньше критического значения, то степень расхождения теоретических и эмпирических частот незначима и гипотезу о нормальном распределении случайной величины необходимо принять.
Построим на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Как видно из гистограммы, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения.
Задание 2. Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (X) получены статистические данные по 55 предприятиям за год.
yi |
xj, тыс. руб. | ||||||||
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
32,5 |
37,5 |
42,5 |
47,5 |
52,5 | |
250-260 |
1 |
||||||||
260-270 |
3 |
||||||||
270-280 |
1 |
2 |
|||||||
280-290 |
3 |
3 |
1 |
||||||
290-300 |
8 |
9 |
|||||||
300-310 |
2 |
7 |
6 |
||||||
310-320 |
2 |
||||||||
320-330 |
1 |
3 |
|||||||
330-340 |
2 |
||||||||
340-350 |
1 | ||||||||
а) Вычислить групповые средние и , построить корреляционные поля;
б) предполагая, что между х и у существует линейная корреляционная зависимость
Решение:
Найдем групповые средние и .
Y |
X |
Итого | ||||||||
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
32,5 |
37,5 |
42,5 |
47,5 |
52,5 | ||
255 |
1 |
1 | ||||||||
265 |
3 |
3 | ||||||||
275 |
1 |
2 |
3 | |||||||
285 |
3 |
3 |
1 |
7 | ||||||
295 |
8 |
9 |
17 | |||||||
305 |
2 |
7 |
6 |
15 | ||||||
315 |
2 |
2 | ||||||||
325 |
1 |
3 |
4 | |||||||
335 |
2 |
2 | ||||||||
345 |
1 |
1 | ||||||||
Итого |
1 |
4 |
5 |
13 |
17 |
9 |
3 |
2 |
1 |
55 |
Вычислим по корреляционной таблице условные средние y.
x1 =12,5; y1 = 255;
x2 = 17,5; y2 = (265×3 + 275×1) : 4 = 267,5;
x3 = 22,5; y3 = (275×2 + 285×3) : 5 = 281;
x4 = 27,5; y4 = (285×3 + 295×8 + 305×2) : 13 = 294,23;
x5 = 32,5; y5 = (285×1 + 295×9 + 305×7) : 17 = 298,53;
x6 =37,5; y6 = (305×6 + 315×2 + 325×1) : 9 = 309,44;
x7 =42,5; y7 = 325×3 : 2 = 325;
x8 =47,5; y8 = 335×2 : 2 = 335;
x9 =52,5; y9 = 345×1 : 1 = 345.
Найдем
= (12,5×1 + 17,5×4 + 22,5×5 + 27,5×13 + 32,5×17 + 37,5×9 + 42,5×3 +
+ 47,5×2 + 52,5×1) : 55 = 31,23;
= (12,52×1 + 17,52×4 + 22,52×5 + 27,52×13 + 32,52×17 + 37,52×9 + 42,52×3 +
+ 47,52×2 + 52,52×1) : 55 = 1037,16;
= (255×1 + 265×3 + 275×3 + 285×7 + 295×17 + 305×15 + 315×2 + 325×4 +
+ 335×2 + 345×1) : 55 = 298,27;
= (2552×1 + 2652×3 + 2752×3 + 2852×7 + 2952×17 + 3052×15 + 3152×2 +
+ 3252×4 + 3352×2 + 3452×1) : 55 = 89279,55;
= 7,864;
= 17,736.
Рассчитаем .
=(12,5×255×1 + 17,5×265×3 + 17,5×275×1 + … + 47,5×335×2 + 52,5×345×1) : 55 =
= 9444,77.
Коэффициент корреляции найдем по формуле:
= 0,9306.
Коэффициент корреляции положителен близок к единице, это говорит о том, что между что между указанными признаками существует тесная прямая корреляционная зависимость.
Подставим найденные значения в формулу уравнения регрессии Y по X.
Получим: Þ yx = 2,1x + 232,7.
Рассчитаем по этому уравнению значения .
x1 =12,5; y1 = 2,1× 12,5 + 232,7 = 258,94;
x2 =17,5; y2 = 2,1× 17,5 + 232,7 = 269,44;
x3 =22,5; y3 = 2,1× 22,5 + 232,7 = 279,94;
x4 =27,5; y4 = 2,1× 27,5+ 232,7 = 290,44;
x5 =32,5; y5 = 2,1× 32,5 + 232,7 = 300,94;
x6 =37,5; y6 = 2,1× 37,5 + 232,7 = 311,44;
x7 =42,5; y7 = 2,1× 42,5 + 232,7 = 321,94.
x8 =47,5; y7 = 2,1× 47,5 + 232,7 = 332,44.
x9 =52,5; y7 = 2,1× 52,5 + 232,7 = 342,94.
Подставим найденные значения в формулу уравнения регрессии X по Y.
Получим: Þ xy = 0,41y – 91,06.
Построим графики прямых регрессии и эмпирические точки регрессии.
Вычислим коэффициент детерминации:
R2 = 0,93062 = 0,8661.
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 56,6% вариации объема производства (Y) обусловлено вариацией размера основных фондов (X).
Вычислим среднюю абсолютную процентную ошибку.
С этой целью составим вспомогательную таблицу.
№ п/п |
x |
y |
||
1 |
12,5 |
255 |
258,94 |
1,52 |
2 |
17,5 |
267,5 |
269,44 |
0,72 |
3 |
22,5 |
281 |
279,94 |
0,38 |
4 |
27,5 |
294,23 |
290,44 |
1,31 |
5 |
32,5 |
298,53 |
300,94 |
0,80 |
6 |
37,5 |
309,44 |
311,44 |
0,64 |
7 |
42,5 |
325 |
321,94 |
0,95 |
8 |
47,5 |
335 |
332,44 |
0,77 |
9 |
52,5 |
345 |
342,94 |
0,60 |
Итого |
7,69 | |||
Среднее |
1,52 |
Таким образом, средняя абсолютная процентная ошибка Aср составляет 1,52%. Отсюда делаем вывод, что построенное уравнение регрессии Y на X очень хорошо аппроксимирует исходные данные.
Определим для коэффициента корреляции генеральной совокупности доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности a = 0,05.
Применим формулу:
где - квантиль нормального распределения. Для вероятности 1 – a = 0,95 он равен 1,96.
Получим: