Статистическая обработка результатов исследования

 

по заданному уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы 

r=k-s=7-3=4; s - число связей, накладываемых на расчет теоретического распределения. При проверке гипотезы о нормальном распределении s = 3.

Найдем хи-критическое по таблице:

                                                       =9,490

 

 

Критическое значение сравниваем с расчетным :

                                                            <

 Вывод: нулевая гипотеза принимается с уровнем значимости α=0,05.

7. Выдвинуть гипотезы  об асимметрии и эксцессе кривой  распределения.

Нулевая гипотеза Н₀ об асимметрии:

H₀={А=0}

Нулевая гипотеза Н₀ об эксцессе:

H₀={Е=0}

Оценка  асимметрии кривой распределения

                                           

=-0,22762/(0,9951713) = - 0,23095

-Среднеквадратическое отклонение оценки асимметии

0,24495.

На уровне α=2*НОРМСТРАСП(0,23095/0,24495)-1= 0,6542 ноль попадает в двусторонний доверительный интервал с центром в А .Это уровень, на котором гипотеза H₀={А=0}не отвергается.

 

Оценка эксцесса кривой распределения

=2,3011/(0,9951714)-3= - 0,65392

Среднеквадратическое отклонение оценки эксцесса

 

0,4899

На уровне α=2*НОРМСТРАСП(0,65392/0,4899)-1= 0,818ноль попадает в двусторонний доверительный интервал с центром в Е .Это уровень, на котором гипотеза H₀={А=0}не отвергается. Вывод по первой части курсовой работы: Гипотеза о том , что выборка сделана из нормально распределенной случайной величины:Не отвергается

Покритерию:Пирсона,Колмогорова.Следствия из этой гипотезы, что коэффициент: Асимметрии равен 0,  отвергается;Эксцесса равен 0. 

 

2 Определение корреляционной  зависимости между

рядами  наблюдений

Таблица 1 - Результаты измерений случайных величин Х и Y

i	хi	yi
1	7,7	5,5
2	9,9	6,5
3	9,2	7
4	8,1	4,5
5	6,3	2,5
6	3	3,5
7	3,5	2,5
8	8,1	6
9	7,2	7
10	5,7	5,5
11	6,2	5
12	8,5	5
13	6,5	6,5
14	2	2
15	5,3	5
16	9,2	5
17	5,2	2,5
18	7,4	4
19	5,4	3
20	8,2	5,5

 

1. График зависимости  переменных X и Y (поле корреляции) строится в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака Х, а по оси ординат – результативного признака - Y.

2. На основании поля  корреляции сделать предположение  о наличии между случайными  величинами X и Y корреляционной зависимости и о форме этой зависимости (линейная или нелинейная).

                            Рисунок 1- Поле корреляции.

3. Вычислить оценки математических  ожиданий случайных величин X и Y

Оценка математического  ожидания случайной величины X (среднее арифметическое).

=6.63

Оценка математического  ожидания случайной величины Y (среднее арифметическое).

=4.7

 

4. Вычислить оценки средних  квадратических отклонений и

Оценка среднего квадратического отклонения случайной величины X

=2.1418

Оценка среднего квадратического отклонения случайной величины Y

=1.5845

5. Вычислить оценку коэффициента  корреляции между X и Y и определить его значимость и надежность;

Оценка коэффициента корреляции (выборочный коэффициент корреляции).

=0.67523

Таблица 2 – Вспомогательная  таблица регрессионного анализа

i	xi	yi			(xi-x)2	(yi-y)2	(xi-x)(yi-y)		|(yi-Yi)/yi|
1	7,7	5,5	1,07	0,8	1,1449	0,64	0,856	5,2345	4,548272727
2	9,9	6,5	3,27	1,8	10,6929	3,24	5,886	6,3334	5,525630769
3	9,2	7	2,57	2,3	6,6049	5,29	5,911	5,9837	6,145185714
4	8,1	4,5	1,47	-0,2	2,1609	0,04	-0,294	5,4343	3,292377778
5	6,3	2,5	-0,33	-2,2	0,1089	4,84	0,726	4,5352	0,68592
6	3	3,5	-3,63	-1,2	13,1769	1,44	4,356	2,8868	2,6752
7	3,5	2,5	-3,13	-2,2	9,7969	4,84	6,886	3,1365	1,2454
							Продолжение табл.2
8	8,1	6	1,47	1,3	2,1609	1,69	1,911	5,4343	5,094283333
9	7,2	7	0,57	2,3	0,3249	5,29	1,311	4,9847	6,2879
10	5,7	5,5	-0,93	0,8	0,8649	0,64	-0,744	4,2355	4,729909091
11	6,2	5	-0,43	0,3	0,1849	0,09	-0,129	4,4852	4,10296
12	8,5	5	1,87	0,3	3,4969	0,09	0,561	5,6341	3,87318
13	6,5	6,5	-0,13	1,8	0,0169	3,24	-0,234	4,6351	5,786907692
14	2	2	-4,63	-2,7	21,4369	7,29	12,501	2,3873	0,80635
15	5,3	5	-1,33	0,3	1,7689	0,09	-0,399	4,0356	4,19288
16	9,2	5	2,57	0,3	6,6049	0,09	0,771	5,9837	3,80326
17	5,2	2,5	-1,43	-2,2	2,0449	4,84	3,146	3,9857	0,90572
18	7,4	4	0,77	-0,7	0,5929	0,49	-0,539	5,0846	2,72885
19	5,4	3	-1,23	-1,7	1,5129	2,89	2,091	4,0856	1,638133333
20	8,2	5,5	1,57	0,8	2,4649	0,64	1,256	5,4842	4,502872727

 

 

 

6. Определить параметры  уравнения прямой регрессии  по формулам

=0.49951

=1.3882

Нанести прямую регрессии на график поля корреляции.

7. Оценить качество уравнения  регрессии с помощью средней  ошибки аппроксимации, характеризующей  различие между фактическим значением  и расчетным по уравнению регрессии

=24,48%

Качество уравнения регрессии  нельзя считать хорошим, так как ошибка аппроксимации превышает 8-10 %.

8. Степень тесноты связи  между переменными можно оценить  по величине коэффициента корреляции (шкала Шедока): 0,5<r<0,75- связь средняя.

9. Так как исходные  данные являются выборочными,  необходимо оценить значимость  величины коэффициента корреляции. Для этого выдвинем нулевую  гипотезу о незначимости коэффициента  корреляции.

H₀={r=0}

Для проверки нулевой гипотезы использовать t-критерий Стьюдента. Расчетное значение t-критерия

=3.8838

Критическое значение критерия t_кр =2.1 из таблицы распределения Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы v = 18.

t_расч > t_кр, нулевая гипотеза отклоняется и коэффициент корреляции значим.

Таблица 3-Дополненная корреляционная таблица.

i	xi	yi	Yi	(yi-Yi)2
1	7,9	5,5	5,28	0,046837
2	10,1	6,5	6,38	0,014182
3	9,4	7	6,03	0,937488
4	8,3	4,5	5,48	0,966476
5	6,5	2,5	4,59	4,348389
6	3	3,5	2,84	0,436226
7	3,5	2,5	3,09	0,346826
8	8,1	6	5,38	0,380272
9	7,2	7	4,93	4,266581
10	5,7	5,5	4,19	1,72594
11	6,2	5	4,44	0,318499
12	8,5	5	5,58	0,339717
13	6,5	6,5	4,59	3,666156
14	2	2	2,34	0,116103
15	5,3	5	3,99	1,026706
16	9,4	5	6,03	1,064529
17	5,4	2,5	4,04	2,361182
18	7,6	4	5,13	1,28583
19	5,6	3	4,14	1,291339
20	8,4	5,5	5,53	0,001087
	134,6	94	94	24,94037
Средние	6,73	4,7	4,7	1,247018

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии также проверяется  с использованием t-критерий Стьюдента, при этом расчетное значение критерия

=2.9392

где =0.1699

Сравнивая t_расч > t_кр, нулевая гипотеза отклоняется и коэффициент корреляции значим.

 

10. Статистическая надежность  линейного уравнения регрессии  проверяется с использованием  критерия F-Фишера. Расчетное значение F-критерия находится по формуле

=15.0842

Критическое значение критерия F_кр =3,59153 из таблицы распределения Фишерадента при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы и   k= 2 и k2=17 , k – число параметров при переменных Х.

 F_расч > F_кр, уравнение регрессии статистически значимое или надежное.

Вывод:

На уровне значимости α=0,05:Между переменными х и у существует статистически значимая связь линейного вида Y_x= 1.3882+ 0.49951, теснота связи средняя, коэффициент корреляции положителен, коэффициент при х значим. Ее можно использовать для предсказания значений Y при иных значениях Х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

1)С помощью этой  работы я научился группировать несгруппированный статистический ряд, вычислять оценки числовых характеристик(мат.ожидание,дисперсия,ско), выдвигать и проверять гипотезы об асимметрии и эксцессе с помощью критериев Колмогорова и Пирсона.

2)Построил график зависимости (точечную диаграмму) по которой подобрал модель уравнения регрессии.

3)Рассчитал параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов. 

4)Оценил качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

5) Оценил по величине коэффициента корреляции (шкала Шедока) степень тесноты связи .

6)Оценил качество коэффициента корреляции и регрессии с помощью критерия Стьюдента.

7) Проверил надежность линейного уравнения регрессии с использованием критерия F-Фишера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 7-е. Год выпуска: 2001. Издательство: Высшая школа, Количество страниц: 400 .

2. Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине

«Вероятность и статистика» .