Статистические критерии

P=0.97*100 =97%

7.Отклонение сопротивления  резисторов представляет:

δR =  1,25 ома.

F -- критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет  сравнивать величины выборочных дисперсий  двух рядов наблюдений. Для вычисления   нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе. Формула вычисления по критерию Фишера F такова: 

Где 

и 

Поскольку, согласно условию  критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение   всегда будет больше или равно единице, т.е.  . Число степеней свободы определяется также просто:   для первой (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и   для второй выборки. В таблице 18 Приложения 6 критические значения критерия Фишера   находятся по величинам   (верхняя строчка таблицы) и   (левый столбец таблицы).

Пример 4.

 В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос - есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Для критерия Фишера необходимо сравнить дисперсии тестовых оценок в обоих классах. Результаты тестирования представлены в табл. 2.

Таблица 2

№ учащихся	Первый класс X	Второй класс Y
1	90	41
2	29	49
3	39	56
4	79	64
5	88	72
6	53	65
7	34	63
8	40	87
9	75	77
10	79	62
Суммы	606	636
Среднее	60,6	63,6

Как видно из табл. 11, величины средних в обеих группах практически  совпадают между собой 60,6   63, 6 и величина t - критерия Стьюдента оказалась равной 0, 347 и незначимой.

Рассчитав дисперсии для  переменных X и Y, получаем

 
Тогда, по формуле для расчета  по F - критерию Фишера находим:

По таблице F - критерия при степенях свободы в обоих случаях равных df = 10 - 1 = 9 находим  :

3,18 для P  0,05

5,35 для P 0,01

Строим ``ось значимости'':

Таким образом, полученная величина   попала в зону неопределенности. В терминах статистических гипотез можно утверждать, что Н 0 (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н1. Психолог может утверждать, что по степени однородности такого показателя, как умственное развитие, имеется различие между выборками из двух классов.

Для применения критерия F Фишера необходимо соблюдать следующие  условия:

1. Измерение может быть  проведено в шкале интервалов  и отношений.

2. Сравниваемые выборки  должны быть распределены по  нормальному закону.

Критерий χ2 Пирсона

Использование критерия χ² для оценки соответствия экспериментальных распределений теоретическим (нормальному или равномерному) подробно обсуждалось в разделе 6.  Тот же критерий может использоваться и для сравнения двух эмпирических распределений на предмет достоверности различий между ними.

Пример 5.

В опытах с участием 100 испытуемых (50 мужчин и 50 женщин) регистрировалось время простой сенсомоторной  реакции (ВСМР) в ответ на звуковой стимул. Получены следующие результаты (табл. 3):

Таблица 3

ВСМР в секундах
Классовый Интервал	0,10 ¸ 0,12	0,12 ¸ 0,14	0,14 ¸ 0,16	0,16 ¸ 0,18	0,18 ¸0,20	0,20 ¸0,22	0,22 ¸0,24
Частоты встречаемости ВСМР
Мужчины	2	15	26	5	2	0	0
Женщины	0	12	20	8	7	2	1

Задание

Пользуясь критерием χ² Пирсона, определить, достоверны ли различия распределений ВСМР у мужчин и женщин.

Решение

 1. Строим рабочую таблицу для предварительных расчетов (табл. 4):

Таблица 4

Обозна-чение  интер-вала	Классовый интервал в секундах	Эмпирические частоты  (мужчины)	Эмпирические частоты (женщины)	Сумма эмпирических частот	Теоретические частоты
1	2	3	4	5	6
A В C D E F G	0,10 ÷ 0,12 0,12 ÷ 0,14 0,14 ÷ 0,16 0,16 ÷ 0,18 0,18 ÷ 0,20 0,20 ÷ 0,22 0,22 ÷ 0,24	2 15 26 5 2 0 0	0 12 20 8 7 2 1	2 27 46 13 9 2 1	1 13,5 23 6,5 4,5 1 0,5
Сумма		50	50	100

Столбец 1 служит исключительно  для экономии: в дальнейшем мы не будем указывать границы классовых  интервалов – нам будет достаточно того, что распределение включает в себя 7 количественных градаций (классов). В столбцах 2, 3 и 4 отражены данные из условия задачи. Столбец 5 служит для  дальнейших вычислений.

Теоретические частоты (столбец 6) в данном случае вычисляются следующим  образом:

1) в случае равноценных  выборок теоретическая частота  в каждом классе вычисляется  как среднее арифметическое двух  эмпирических частот;

2) если объемы выборок  различны, то теоретическая частота  вычисляется как сумма эмпирических  частот в данной строке, умноженная  на сумму в каждом столбце  (по вертикали) и отнесенная  к общей сумме частот.

Для дальнейших вычислений вносим данные в табл. 5:

Таблица 5

	Мужчины			Женщины
Интервал	fэксп	.fтеор.			fэксп	.fтеор.
1	2	3	4		5	6	7
A В C D E F G	2 15 26 5 2 0 0	1 13,5 23 6,5 4,5 1 0,5	1,00 0,17 0,39 0,35 1,39 1,00 0,50		0 12 20 8 7 2 1	1 13,5 23 6,5 4,5 1 0,5	1,00 0,17 0,39 0,35 1,39 1,00 0,50

Можно видеть, что это  – типичная таблица для вычисления критерия χ² .Значения в столбцах 3 и 6 для мужчин и женщин одинаковы; это естественно, так как теоретические частоты соответствуют средним значениям экспериментальных частот в каждой выборке. Тем не менее χ² следует рассчитывать, суммируя все значения в столбцах 4 и 6 (т. е. по обеим выборкам).

В итоге получаем χ² = 9,6. В табл. VI Приложений для уровня значимости 0,95 и ν = N – 1 = 6 находим значение χ²_кр., равное12,6.

Вывод:

Различия между распределениями  не являются статистически достоверными.

Критерий Манна-Уитни

U-критерий Манна-Уитни  используется для оценки различий между двумя малыми выборками  (n1,n2≥3 или n1=2, n2≥5) по уровню количественно измеряемого признака. При этом первой выборкой принято считать ту, где значение признака больше.     

Нулевая гипотеза H0={уровень  признака во второй выборке не ниже уровня признака в первой выборке}; альтернативная гипотеза – H1={уровень  признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке}.

Рассмотрим алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни:

1.       Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки, пометив карточки 1-й выборки одним цветом, а 2-й – другим.

2.       Разложить все карточки в единый ряд по степени возрастания признака и проранжировать в таком порядке.

3.       Вновь разложить карточки по цвету на две группы.

4.       Подсчитать сумму рангов отдельно по группам и проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

5.       Определить большую из двух ранговых сумм  .

6.       Вычислить эмпирическое значение U:

, где   - количество испытуемых в   - выборке (i = 1, 2),   - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

7.               Задать уровень значимости α и, используя специальную таблицу, определить критическое значение Uкр(α). Если  , то H0 на выбранном уровне значимости принимается.

Рассмотрим использование U критерия Манна-Уитни на примере.

Проведение срезовой контрольной работы по математике (алгебра и геометрия) в средней общеобразовательной школе дало следующие результаты по 10-балльной шкале для класса, обучающегося по программе «Развивающего обучения» (7 «Б»), и класса, обучающегося по традиционной системе (7 «А»),представленные в табл. 6 

Таблица 6

Ученик \ Класс	7 «А» (баллы)	7 «Б» (баллы)
1	9	5
2	7	10
3	7	7
4	8	8
5	6	8
6	4	4
7	4	6
8	8	8
9	6	8
10	6	9
11	5	7
12	-	10