Статистические методы изучения валового регионального продукта

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (таблица 2.8).

Таблица 2.8

Корреляционная таблица  зависимости доходов населения  от объема ВРП

Группы регионов по ВРП, млрд. руб.	Группы регионов по доходам  населения, млрд. руб.
	16,1-23,5	23,5-30,8	30,8-38,2	38,2-45,5	45,5-52,9	Итого
26,9-38,3	7	0	0	0	0	7
38,3-49,7	0	10	0	0	0	10
49,7-61,1	0	0	5	0	0	5
61,1-72,5	0	0	0	4	1	5
72,5-83,9	0	0	0	0	3	3
Итого	7	10	5	4	4	30

 

Вывод. Анализ данных таблицы 2.8 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между объемом ВРП и доходами населения.

Для измерения тесноты  связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации η² и эмпирическое корреляционное отношение η.

Коэффициент детерминации η² характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

                                                                                     (2.2.1)

где  – общая дисперсия признака Y, – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя η² изменяются в пределах 0 ≤ η² ≤ 1. При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство η² =0, а при наличии функциональной связи между ними – равенство η² = 1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле:

,                                                                              (2.2.2)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака; ȳ₀ – общая средняя значений результативного признака; n – число единиц совокупности.

Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

,                                                                     (2.2.3)

где      ȳ_j  – групповые средние, ȳ₀  – общая средняя, f_j  – число единиц в j-ой группе, k – число групп.

Для расчета показателей  и необходимо знать величину общей средней ȳ₀ , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                                (2.2.4) 

Значения числителя и  знаменателя формулы имеются  в таблице 2.6 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю ȳ₀ :

= =31 млрд. руб.

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 2.9.

Таблица 2.9

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер региона	Доходы	yi - ȳ0	(yi - ȳ0)²	yi 2
п/п	населения, млрд. руб.
1	19,80	-11,20	125,44	392,04
2	22,80	-8,20	67,24	519,84
3	36,00	5,00	25,00	1296,00
4	26,90	-4,10	16,81	723,61
5	26,80	-4,20	17,64	718,24
6	26,60	-4,40	19,36	707,56
7	39,70	8,70	75,69	1576,09
8	26,60	-4,40	19,36	707,56
9	38,80	7,80	60,84	1505,44
10	45,60	14,60	213,16	2079,36
11	27,40	-3,60	12,96	750,76
12	27,00	-4,00	16,00	729,00
13	26,50	-4,50	20,25	702,25
14	20,60	-10,40	108,16	424,36
15	32,50	1,50	2,25	1056,25
16	16,10	-14,90	222,01	259,21
17	21,10	-9,90	98,01	445,21
18	34,70	3,70	13,69	1204,09
19	29,10	-1,90	3,61	846,81
20	18,30	-12,70	161,29	334,89
21	46,10	15,10	228,01	2125,21
22	23,90	-7,10	50,41	571,21
23	33,60	2,60	6,76	1128,96
24	18,50	-12,50	156,25	342,25
25	26,20	-4,80	23,04	686,44
26	48,90	17,90	320,41	2391,21
27	42,90	11,90	141,61	1840,41
28	40,00	9,00	81,00	1600,00
29	52,90	21,90	479,61	2798,41
30	34,10	3,10	9,61	1162,81
Итого	930	0,00	2795,48	31625,48

 

Рассчитаем общую дисперсию  по формуле (2.2.2):

=  

Для  расчета межгрупповой дисперсии  строится  вспомогательная        таблица 2.10. При этом используются  групповые средние значения y_j² из таблицы 2.6 (столбец 5).

Таблица 2.10

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Группы регионов по объему ВРП, млрд.руб.	Количество	Среднее значение ȳj в группе	ȳj - ȳ0	(ȳj - ȳ0)² fj
	регионов,
	fj
26,9-38,3	7	28,37	-2,63	48,37
38,3-49,7	10	28,22	-2,78	77,28
49,7-61,1	5	30,42	-0,58	1,68
61,1-72,5	5	34,02	3,02	45,60
72,5-83,9	3	42,33	11,33	385,33
Итого	30	163,36	8,36	558,27

 

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем коэффициент  детерминации:

 или 19,97%

 

Вывод. 19,97% вариации доходов населения обусловлено вариацией объема ВРП, а 80,03% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое  корреляционное отношение η оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

                                                  (2.2.5)

Рассчитаем показатель η  :

Вывод: связь между объемом ВРП и доходами населения является незначительной.

2.3. Задание 3.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,997 определите:

1. Ошибку выборки среднего объема ВРП и границы, в которых он будет находиться для генеральной совокупности регионов;
2. Ошибку выборки доли регионов с объемом ВРП 61,1 и более млрд. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная  доля.

1. Определим ошибки выборки для объема ВРП и границ, в которых будет находиться генеральная средняя.

Применяя выборочный метод  наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки, т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

Принято вычислять два  вида ошибок выборки - среднюю и предельную .

Для расчета средней ошибки выборки  применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней определяется по формуле:

  ,                                                                         (2.3.1)

где σ² – общая дисперсия изучаемого признака, N – число единиц в генеральной совокупности, n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,                                                                                              (2.3.2)

,

где     – выборочная средняя, – генеральная средняя.

Предельная ошибка выборки  кратна средней ошибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

                                                          (2.3.3)

Коэффициент кратности  t зависит от  значения  доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Наиболее часто используемые доверительные вероятности Р и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 2.11):

Таблица 2.11

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

 

По условию Задания 2 выборочная совокупность насчитывает 30 регионов, выборка 34%-ная механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 88 регионов. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1. Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в таблице 2.12:

Таблица 2.12

Р	t	n	N
0,997	3	30	88	50,46	213,86

 

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Рассчитаем предельную ошибку выборки:

Определим доверительный  интервал для генеральной средней:

50,46 – 6,507 50,46 + 6,507

43,953 56,967

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,997 можно утверждать, что для генеральной совокупности регионов средняя величина объема ВРП находится в пределах от 43,953 до 56,967 млрд. руб.

2. Определение  ошибки выборки для доли регионов  с объемом ВРП 61,1 млн. руб. и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

,                                                                               (2.3.4)

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;  n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле:

,                                                                     (2.3.5)

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;       (1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,        N – число единиц в генеральной совокупности, n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих исследуемым признаком:

                                                                     (2.3.6)

По условию Задания 3 исследуемым  свойством регионов является равенство или превышение объема ВРП величины 61,1 млрд. руб.

Число регионов с данным свойством определяется из табл. 2.2 (столбец 4): m=8

 

Рассчитаем выборочную долю по формуле (2.3.4):