Статистические распределения и их основные характеристики

 

 

 

 

Статистические распределения и их основные характеристики

 

 

 

 

Различия индивидуальных значений признака у единиц совокупности называются вариацией признака.

 

 

Она возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под совместным влиянием разнообразных условий (факторов), по разному сочетающихся в каждом отдельном случае.

 

 

 

 

 

Вариация, которая не зависит  от факторов, положенных в основу  выделения групп, называется случайной вариацией.

 

 

 

 

Приемы изучения вариации в пределах одной группы:

 

• простроение вариационного ряда (ряда распределения);
• графическое изображение;
• исчисление основных характеристик распределения: показателей центра распределения; показателей вариации.

 

 

 

 

Вариационный ряд -

 

групповая таблица, построенная по количественному признаку, в сказуемом которой показывается число единиц в каждой группе.

 Форма построения вариационного ряда зависит от характера изменения изучаемого признака.

Он может быть построен в форме дискретного ряда или в форме интервального ряда.

 

 

 

 

Распределение рабочих по тарифному разряду

 

1

 

20

 

итого

 

18+2=20

 

0,1

 

2

 

6

 

14+4=18

 

0,2

 

4

 

5

 

6+8=14

 

0,4

 

8

 

4

 

5+1=6

 

0,25

 

5

 

3

 

1

 

0,05

 

1

 

2

 

Накопленная (кумулятивная) частота,S

 

ЧастостьW

 

Число рабочих, имеющих этот  разряд, f

 

Тарифный разряд рабочего, x

 

 

 

 

Частость расчитывается по формуле 

 

 

 

 

 

 

 

Замена частот частостями позволяет сопоставить вариационные ряды с различным числом наблюдений.

 

 

 

 

Средняя квалификация работников

 

 

 

 

 

 

• Т.е в среднем рабочие имеют 4 тарифный разряд

 

 

 

 

Для признака, имеющего непрерывное изменение строится интервальный вариационный ряд распределения.

 

Определение величины интервала производится 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показатели центра распределения.

 

Средняя арифметическая для дискретного ряда расчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

 

 

 

 

В интервальном ряду расчет  производится по этой же формуле, но в качестве х берется  середина интервала. Она определяется  так 

 

 

 

 

Распределение банков по размеру прибыли.

 

20

 

-

 

итого

 

18+2=20

 

2

 

7,7

 

7,3 - 8,1

 

12+6=18

 

6

 

6,85

 

6,4 - 7,3

 

7+5=12

 

5

 

5,95

 

5,5 - 6,4

 

3+4=7

 

4

 

5,05

 

4,6 - 5,5

 

3

 

3

 

4,15

 

3,7 - 4,6

 

Накопленная частота, S

 

Число банков, f

 

Середина интервала, x'

 

Размер прибыли, млн. крон,x

 

 

 

 

Средний размер прибыли

 

 

 

 

Структурные средние

 

Медиана

Мода

Квартиль 

 

 

 

 

Медиана (Ме)

 

• соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

 

 

 

 

• где n - число единиц в совокупности.

 

 

 

 

 

Медиана в дискретном ряду

 

• По накопленным частотам определяют ее численное значение в дискретном вариационном ряду.

 

Вставленная фукция в EXCEL

 

MEDIAN()

 

 

 

 

Расчет медианы в дискретном ряду

 

• Медиана тарифного разряда рабочих будет найдена следующим образом:

 

 

• Следовательно, среднее значение 10-го и 11-го признаков будут соответствовать медиане. По накопленным частотам находим 10-й и 11-й признаки. Их значение соответствует 4-му тарифному разряду, следовательно медиана в данном ряду равна 4.

 

 

 

 

Медиана в интервальном ряду

 

• В интервальном ряду распределения по номеру медианы указывают интервал, в ктором находится медиана.
• Численное значение определяется по формуле:

 

 

 

 

Расчет медианы в интервальном ряду 

 

• По накопленным частотам определяем, что медиана находится в интервале 

5,5 - 6,4 так как номер медианы

 

 

 

а это значение включает кумулятивная частота 12.

 

 

 

 

 

Расчет медианы в интервальном ряду

 

• Тогда медиана

 

 

 

 

 

• Таким образом, 50% банков имеют прибыль менее 6,13 млн. крон, а другие 50% - более 6,13.

 

 

 

 

Мода (Мо)

 

• наиболее часто встречающееся значение признака.
• В дискретном ряду - это варианта с наибольшей частотой.

 

Вставленная фукция в EXCEL

 

MODE()

 

 

 

 

Значение моды в интервальном ряду

 

• В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, т.е. тот, который имеет наибольшую частоту, а затем расчитывают моду по формуле:

 

 

 

 

 

Определение значения моды в приведенных выше дискретном и  интервальном рядах

 

• В примере 1 наибольшую частоту - 8 имеет четвертый тарифный разряд, следовательно значение моды равно 4 тарифному разряду
• В примере 2 модальный интервал 6,4 -7,3 так как такой уровень прибыли имеют наибольшее число банков.

 

 

 

 

Квартиль

 

- это значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части.

• Таких величин будет три:

первая квартиль(Q1),

вторая квартиль (Q2),

третья квартиль (Q3).

• Вторая квартиль является медианой.

 

 

 

 

Сначала определяется положение или место квартили:

 

 

 

 

Квартиль в дискретном ряду

 

• В дискретном ряду численное значение квартили определяют по накопленным частотам.

 

Вставленная фукция в EXCEL

 

QUARTILE()

 

 

 

 

Квартиль в интервальном ряду

 

• В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором лежит квартиль, затем определяют ее численное значение по формуле:

 

 

 

 

 

Показатели вариации (колеблемости) признака.

 

К абсолютным показателям относят:

• Размах колебаний;
• Среднее линейное отклонение;
• Дисперсию;
• Среднее квадратическое отклонение;
• Квартильное отклонение.

 

 

 

 

Размах колебаний (размах вариации)

 

• представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака изучаемой совокупности:

 

 

 

• Размах вариации зависит только от крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями.

 

 

 

 

 

Точнее характеризуют вариацию  признака показатели, основанные на учете колеблемости всех значений признака.

К таким показателям относят:

• среднее линейное отклонение,
• дисперсию,
• среднее квадратическое отклонение.

 

 

 

 

Среднее линейное отклонение d

 

для несгруппированных данных расчитывается по формуле 

 

 

 

 

 

Вставленная фукция в EXCEL

 

 AVEDEV( ) 

 

 

 

 

Для n вариационного ряда:

 

 

 

 

Расчет среднего линейного отклонения

 

48

 

500

 

50

 

|12-10|*6 = 12

 

12 - 10 = 2

 

72

 

6

 

12

 

|11-10|*12=12

 

11 - 10 = 1

 

132

 

12

 

11

 

|10-10|*15 = 0

 

10 - 10 = 0

 

150

 

15

 

10

 

|9 -10|*10 =10

 

9 - 10 = -1

 

90

 

10

 

9

 

|8 - 10|*7 = 14

 

8 - 10 = -2

 

56

 

7

 

8

 

x - xf

 

x x

 

xf

 

Число рабочих

f

 

Произведено

продукции одним 

рабочим за смену, шт, x

 

 

 

 

Дисперсия 

 

• - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней.
• Дисперсия обычно называется средним квадратом отклоненй.
• В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

 

 

 

 

Дисперсия простая 

 

 

 

 

 

 

 

Вставленная фукция в EXCEL

 

VARP ( )

 

 

 

 

Дисперсия взвешенная 

 

 

 

 

Среднее квадратическое отклонение

 

• стандартное отклонение (Standard Deviation)

представляет собой корень квадратный из дисперсии 

 

 

 

 

Среднее квадратическое отклонение невзвешенное 

 

 

 

 

 

 

 

Вставленная фукция в EXCEL

 

STDEVP ( )

 

 

 

 

Среднее квадратическое отклонение взвешенное

 

 

 

 

 
Данные о производительности труда рабочих 

 

74

 

500

 

50