Статистические распределения и их основные характеристики

итого

 

24

 

4

 

2

 

72

 

6

 

12

 

12

 

1

 

1

 

132

 

12

 

11

 

0

 

0

 

0

 

150

 

15

 

10

 

10

 

1

 

-1

 

90

 

10

 

9

 

28

 

4

 

-2

 

56

 

7

 

8

 

(x - x)²*f

 

(x - x)²

 

x - x

 

xf

 

Число рабочих

f

 

Произведено продукции одним  рабочим, шт. (х)

 

 

 

 

Расчет показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения

 

1. Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:

 

 

 

 

Расчет показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения

 

2. Определим дисперсию.

 

 

 

 

Расчет показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения

 

3. среднее квадратическое отклонение будет равно

 

 

 

 

 

• Это означает, что отклонение от средней производительности составило 1,2 шт.

 

 

 

 

Другой метод расчета дисперсии

 

• Дисперсия равна разности средней из квадратов признака и квадрата средней.

 

 

 

 

Относительные показатели вариации

 

Применяются для оценки интенсивности вариации и для сравнения ее в разных совокупностях.

• относительный размах вариации (коэффициент осцилляции)

 

 

 

 

Относительные показатели вариации

 

• Относительное линейное отклонение (отклонение по модулю)

 

 

 

• Коэффициент вариации 

 

 

 

 

Относительные показатели вариации

 

• Относительный показатель квартильной вариации (относительное квартильное расстояние)

 

 

 

 

• Оценка степени интенсивности вариации возможна только для каждого отдельного признака и совокупности определенного состава.

Предположим вариация производительности  труда на предприятиях Эстонии v<10% рассматривается как слабая,10%<v<25% -умеренная, сильная при v>25%. Однако, если рассматривается вариация  роста взрослых людей, то при v=4% следует говорить об очень  сильной интенсивности

 

 

 

 

Моменты распределения и показатели его формы.

 

• Центральные моменты распределения порядка – это средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины.
• Момент первого порядка равен нулю.
• Второй центральный момент представляет собой дисперсию.
• Третий момент используется для оценки асимметрии
• Четвертый – для оценки эксцесса.

 

 

 

 

Моменты распределения

 

 

 

 

 

Второй

 

Первый 

 

по сгруппированным данным

 

по несгруппированным данным

 

Формула

 

Порядок момента

 

 

 

 

Моменты распределения

 

 

 

 

 

Четвертый

 

Третий

 

по сгруппированным данным

 

по несгруппированным данным

 

Формула

 

Порядок момента

 

 

 

 

Показатели асимметрии

 

На основе момента третьего порядка можно построить коэффициент асимметрии

 

                               

 

 или показатель Пирсона

 

 

 

 

Показатели асимметрии

 

• Если  А > 0, то асимметрия правосторонняя, а если А < 0, то асимметрия левосторонняя, в симметричном распределении  А=0.

 

• В EXCEL используется функция

SKEW ( ).

 

 

 

 

Характеристика эксцесса распределения

 

 

 

 

• В нормальном распределении Е = 0, поэтому, если Е > 0, то эксцесс выше нормального (островершинная кривая),

Е < 0, эксцесс ниже нормального (плосковершинная кривая).

• В EXCEL используется функция

 KURT ( ).

 

 

 

 

Характеристика эксцесса распределения

 

• По значению показателей асимметрии и эксцесса можно судить о близости распределения к нормальному.
• Если                    и

 

 

то распределение можно считать нормальным 

 

 

 

 

Оценка диапазона изменения статистической переменной

 

По теореме Чебышева:

• в интервале ( - 2,  +2) находится 75 % значений,
• в интервале ( - 3,  +3) находится 89 % значений.

 

 

 

 

 

Оценка диапазона изменения статистической переменной

 

«Правило трех сигм» справедливо для нормального распределения

• в интервале ( - ,  + ) находится 68% значений,
• в интервале ( - 2,  +2) находится 95.4% значений,
• в интервале ( - 3,  +3) находится 99.7% значений.

 

 

 

 

Закон (правило) сложения дисперсий.

 

 

 

 

 

•        - величина общей дисперсии

 

•       - межгрупповая дисперсия

 

•         - средняя внутригрупповая дисперсия

 

 

 

 

Межгрупповая дисперсия 

 

 

 

 

Средняя внутригрупповая дисперсия 

 

 

 

 

Имеются следующие данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой:

 

8

 

18

 

10

 

8

 

12

 

19

 

15

 

8

 

10

 

12

 

Время простоя мин.

 

4

 

3

 

4

 

4

 

4

 

3

 

3

 

4

 

4

 

3

 

Число грузчиков

 

10

 

9

 

8

 

7

 

6

 

5

 

4

 

3

 

2

 

1

 

№ пункта разгрузки

 

 

 

 

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии.

 

150

 

-

 

-

 

120

 

10

 

итого

 

49

 

49

 

7

 

19

 

1

 

19

 

36

 

36

 

6

 

18

 

1

 

18

 

9

 

9

 

3

 

15

 

1

 

15

 

0

 

0

 

0

 

24

 

2

 

12

 

8

 

4

 

-2

 

20

 

2

 

10

 

48

 

16

 

-4

 

24

 

3

 

8

 

(x-x_⁰)²f

 

(x-x_⁰)²

 

x - x_⁰

 

x*f

 

Число выполненных разгрузок, f

 

Время простоя под разгрузкой  мин., х

 

 

 

 

• Среднее время простоя 

 

 

 

• Общая дисперсия 

 

 

 

 

Расчет внутригрупповой дисперсии по первой группе (число грузчиков, участвующих в разгрузке, 3 чел)

 

30

 

-

 

64

 

4

 

итого

 

9

 

3

 

19

 

1

 

19

 

4

 

2

 

18

 

1

 

18

 

1

 

-1

 

15

 

1

 

15

 

16

 

-4

 

12

 

1

 

12

 

(x - x_¹)² f

 

x - x_¹

 

x*f

 

Число выполнен-ных разгрузок, f

 

Время простоя под разгрузкой,мин., х

 

 

 

 

Дисперсия первой группы

 

 

 

 

Расчет внутригрупповой дисперсии по второй группе (число грузчиков, участвующих в разгрузке, - 4)

 

13,37

 

-

 

56

 

6

 

итого

 

7,13

 

2,67

 

12

 

1

 

12

 

0,90

 

0,67

 

20

 

2

 

10

 

5,31

 

-1,33

 

24

 

3

 

8

 

(x - x_²)² f

 

x - x_²

 

x*f

 

Число выполненных разгрузок,

f

 

Время простоя под разгрузкой, мин., х

 

 

 

 

Дисперсия второй группы

 

 

 

 

Средняя из внутригрупповых дисперсий

 

 

 

 

Межгрупповая дисперсия 

 

 

 

 

Общая дисперсия 

 

Порядок момента Формула  

по несгруппированным данным по сгруппированным данным 

 

Первый    

Второй   

Порядок момента Формула  

по несгруппированным данным по сгруппированным данным 

 

Первый    

Второй   

Порядок момента Формула  

по несгруппированным данным по сгруппированным данным 

 

Первый    

Второй