Статистические ряды распределения

Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

В случае если  вариационный ряд  имеет число значений вариант  четное, то расчет медианы производится по следующей формуле:

(5)       , где - варианты, находящиеся в середине ряда

В интервальном ряду распределения  медиана рассчитывается следующим  образом:

(6)       ,

где:   -  нижняя граница медианного интервала;

          -  величина  медианного интервала;

         -  полусумма частот ряда;

         -  сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

          -  частота медианного интервала.

Структурные средние  величины (мода и медиана) имеют довольно большое значение в статистике и  широкое применение. Мода  является  именно тем числом, которое в действительности  встречается наиболее  часто. Медиана  имеет важные свойства для анализа явлений: она обнаруживает типичные черты индивидуальных признаков явления, и, вместе с тем, учитывает влияние крайних значений совокупности. Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства – сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая:

 

 

2. Расчетная  часть

По результатам 20%-ного выборочного обследования торговых предприятий района, проведенного на основе случайной бесповторной выборки, получены следующие данные за отчетный месяц (тыс. руб.)

Таблица 1

Исходные данные

№ п\п	Товарооборот	Средние товарные запасы	№ п\п	Товарооборот	Средние товарные запасы
1	614	256	16	653	254
2	396	168	17	704	251
3	681	252	18	759	293
4	543	221	19	384	158
5	540	210	20	492	188
6	706	278	21	610	237
7	576	214	22	591	239
8	537	169	23	550	191
9	744	288	24	603	236
10	523	213	25	528	215
11	375	150	26	795	301
12	429	208	27	611	228
13	552	218	28	589	230
14	642	227	29	627	263
15	618	238	30	698	246

Цель статистического исследования - анализ совокупности предприятий по признакам Товарооборот и Средние товарные запасы, включая:

• изучение структуры совокупности по признаку Товарооборота;
• выявление наличия корреляционной связи между признаками Товарооборота и Средними товарными запасами предприятий, установление направления связи и оценка её тесноты;
• применение выборочного метода для определения статистических характеристик генеральной совокупности фирм.

 

 

Задание 1

По исходным данным (табл. 1) необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения предприятий по товарообороту, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.
3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение Задания 1

Целью выполнения данного  Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения фирм по признаку Товарооборот.

1. Построение интервального ряда распределения предприятий по товарообороту

Для построения интервального  ряда распределения определяем величину интервала h по формуле:

,

где –наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k - число групп интервального ряда.

При заданных k = 5,  x_max = 795 тыс.руб. и x_min = 375тыс руб.

h =

тыс.руб.

При h = 5 чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

 

 

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, тыс.руб.	Верхняя граница, тыс.руб
1	375	459
2	459	543
3	543	627
4	627	711
5	711	795

Определяем число предприятий, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому предприятия со значениями признаков, которые служат одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (459, 543, 627, и 711 тыс.руб), будем относить ко второму из смежных интервалов.

Для определения числа предприятий в каждой группе строим разработочную    таблицу 3 (данные графы 4 потребуются при выполнении Задания 2).

Таблица 3

Разработочная таблица  для построения интервального ряда распределения и аналитической  группировки

Группы предприятий по товарообороту, тыс.руб.	Номер предприятия	Товарооборот, тыс.руб.	Средние товарные запасы, Тыс. руб.
1	2	3	4
375-459	11	375	150
	19	384	158
	2	396	168
	12	429	2208
Всего	4	1584	684
459-543	20	492	188
	10	523	213
	25	528	215
	8	537	169
	5	540	210
Всего	5	2620	995
543-627	4	543	221
	23	550	191
	13	552	218
	7	576	214
	28	589	230
	22	591	239
	24	603	236
	21	610	237
	27	611	228
	1	614	256
	15	618	238
Всего	11	6457	2508
627-711	29	627	263
	14	642	227
	16	653	254
	3	681	252
	30	698	246
	17	704	251
	6	706	278
Всего	7	4711	1771
711-795	9	744	288
	18	759	293
	26	795	301
Всего	3	2298	882
Итого	30	17670	6840

На основе групповых  итоговых строк «Всего» табл. 3 формируем  итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения предприятий по товарообороту.

Таблица 4

Распределение предприятий по товарообороту

Номер группы	Группы предприятий по товарообороту, тыс.руб. x	Число предприятий, fj
1	375-459	4
2	459-543	5
3	543-627	11
4	627-711	7
5	711-795	3
	ИТОГО	30

Приведем еще три  характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 5

Структура предприятий по товарообороту

Номер группы	Группы предприятий по товарообороту, тыс.руб. x	Число предприятий, f		Накопленная частота Sj	Накопленная частость, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	375-459	4	13,3	4	13,3
2	459-543	5	16,7	9	30,0
3	543-627	11	36,7	20	66,6
4	627-711	7	23,3	27	90,0
5	711-795	3	10	30	1000
	ИТОГО	30	100

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по товарообороту не является равномерным: преобладают предприятия с товарооборотом от 543 тыс.руб. до 627 тыс.руб. (это 11 предприятий, доля которых составляет 36,7%); самые малочисленная группа предприятий имеет 711-795 тыс.руб.. Группа включает 3 предприятия, что составляет по 10% от общего числа фирм.

2. Нахождение  моды и медианы полученного  интервального ряда распределения  графическим методом и путем  расчетов

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения фирм по изучаемому признаку.

Рис. 1. Определение моды графическим методом

Расчет конкретного  значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

 

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 4 модальным  интервалом построенного ряда является интервал 35 - 40 чел., т.к. он имеет наибольшую частоту (f₄=10). Расчет моды:

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенный товарооборот характеризуется средней величиной 593,4 тыс. руб.

Для определения медианы графическим методом строим по данным табл. 5 кумуляту распределения предприятий по изучаемому признаку.

Рис. 2. Определение медианы  графическим методом

Расчет конкретного  значения медианы для интервального  ряда распределения производится по формуле

,

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем медианный  интервал. Медианным интервалом является интервал 543-627 тыс.руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=20 впервые превышает полусумму всех частот ( ).

 

Расчет медианы:

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина из них имеют товарооборот не более 588,3 тыс.руб., а другая половина – не менее 588,3 тыс.руб.