Статистический анализ рядов распределения. Проверка гипотезы о законе распределения

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

 

 

Факультет экономики и менеджмента

 

Кафедра «Предпринимательство и коммерция»

 

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

 

по дисциплине «Статистика»

на тему «Статистический анализ рядов распределения.  
Проверка гипотезы о законе распределения»

 

 

 

Выполнил студент группы з4077/26 

 

___________________

 (подпись)

_ Николаев А.В, _

(Фамилия.И.О.)

Принял _ к.э.н., доцент__

(должность, ученая  степень)

__________________

 (подпись)

_ Пономарева О.А._

(Фамилия.И.О.)

__________________

(Дата)

 

 

Санкт-Петербург

2011

 

Николаев А.В. Статистический анализ рядов распределения. Проверка гипотезы о законе распределения: Курсовой проект по дисциплине «Статистика». – СПб.: СПбГПУ, 2011, стр. ___, табл. ___, рис. ___.

 

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, МЕДИАНА, МОДА, РАЗМАХ ВАРИАЦИИ, ДИСПЕРСИЯ, КВАРТИЛЬ, КОЭФФИЦИЕНТ АСИММЕТРИИ, КОЭФФИЦИЕНТ ЭКСЦЕССА, СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

Введение

Ряд распределения – это распределение единиц совокупности по значению того или иного признака в конкретных условиях места и времени.

Ряды распределения могут быть:

• атрибутивным, если они строятся на основе атрибутивного признака.
• вариационным, если они строятся на основе количественного признака;

Изучение вариационных рядов распределения позволяет:

• определить типический уровень признака в изучаемой совокупности;
• определить наличие выбросов и решить вопрос о необходимости их самостоятельного изучения;
• оценить степень разброса значений признака вокруг типического уровня;
• изучить структуру совокупности;
• охарактеризовать форму распределения;
• подобрать теоретическое распределение, на основе которого можно моделировать поведение распределения изучаемой совокупности.

Комплексный анализ рядов распределения включает в себя:

1. Построение ряда распределения и его графическое представление.
2. Расчет показателей центра и структуры распределения.
3. Расчет и анализ показателей вариации.
4. Характеристика формы распределения.
5. Выравнивание эмпирического распределения и оценка соответствия теоретическому распределению.

Исходными данными для анализа служит информация о банковских вкладах (депозиты) физических лиц на рублевых счетах в Сберегательном банке Российской Федерации в 2003 году. Объем исходной совокупности – 80 единиц.

 

1. Табличное и графическое  представление вариационного ряда

 

Анализ распределений направлен на выявление закономерности изменения частот в зависимости от значений варьирующего признака и анализ различных характеристик изучаемого распределения. Прежде, чем приступить к вычислению специальных статистических показателей, необходимо из исходной совокупности исключить единицы, не подчиняющиеся общей закономерности распределения, так называемые выбросы. Выбросы – это значения признака, резко отличающиеся как в большую, так и в меньшую сторону, от значений признака у основной части единиц совокупности.

Для локализации и устранения выбросов необходимо, прежде всего, ранжировать исходные данные.

Таблица 1

Исходные данные, ранжированные по возрастанию значений признака

№ региона	Сумма на банковских счетах	№ региона	Сумма на банковских счетах	№ региона	Сумма на банковских счетах	№ региона	Сумма на банковских счетах	№ региона	Сумма на банковских счетах	№ региона	Сумма на банковских счетах
1	5110	16	5297	31	188	46	3824	61	1519	76	1522
2	2998	17	5186	32	1306	47	3001	62	245	77	1369
3	4720	18	97468*	33	219	48	11578	63	1030	78	2656
4	9356	19	1921	34	481	49	4325	64	6536	79	356
5	3157	20	5186	35	1427	50	14180	65	9583	80	795
6	3277	21	4439	36	-	51	5481	66	7840
7	2027	22	4187	37	18348*	52	4147	67	8823
8	3085	23	2702	38	9141	53	15415	68	6295
9	3724	24	…	39	2413	54	7910	69	5081
10	28328*	25	5305	40	7772	55	4345	70	2804
11	2382	26	1608	41	10808	56	1840	71	2212
12	3795	27	1659	42	9102	57	12838	72	4826
13	2969	28	26098*	43	1308	58	15726	73	5525
14	3372	29	1069	44	1562	59	9141	74	5058
15	3593	30	956	45	11855	60	329	75	2054

 

 

Затем, в ППП Statistica строится график Box plot на основании ранжированной совокупности. Единицы совокупности, обозначенные на графике звёздочками (*), являются выбросами, которые необходимо исключить из изучаемой совокупности.

Вариационным называется ряд распределения, построенный по количественному признаку. Он может быть представлен в виде таблицы и графически. Табличное представление позволяет не только выявить ту или иную закономерность распределения, но и подробно охарактеризовать структуру изучаемой совокупности.

Таблицы вариационных рядов строятся по принципам группировки. Определим число групп по формуле Стерджеса:

 

         (1.1)

где k – число групп; N – объем совокупности.

Конечный вариант таблицы должен отвечать следующим требованиям: в таблице не должно быть малонаполненных и нулевых групп; нужно стремиться к получению мономодального распределения (т.е. по обе стороны от максимальной частоты должно наблюдаться закономерное убывание частот). Если не удается избавиться от многовершинности в распределении, это означает, что изучаемая статистическая совокупность неоднородна и требует более детального изучения.

Таблицы вариационного ряда, построенные с использованием разного числа интервалов.

 

Рис. 1.1. Банковские вклады (депозиты) физических лиц на рублевых счетах в Сберегательном банке Российской Федерации в 2003 году.

(k = 15.)

 

 

 

 

Рис. 1.2. Банковские вклады (депозиты) физических лиц на рублевых счетах в Сберегательном банке Российской Федерации в 2003 году (k = 6)

 

 

При k = 15 получено много малонаполненных групп, что является нежелательным для анализа ряда распределения. Выбирая окончательный вариант табличного представления вариационного ряда в работе, следует остановиться на группировке с использованием 6 групп. Тогда величина группировочного интервала составит 2589,67.

Необходимо подвести предварительные итоги: в 26 регионах России, что составляет 35,1% от общего числа регионов, банковские вклады физических лиц на рублевых счетах в Сберегательном банке Российской Федерации в 2003гогу составили от 2777,67 руб. до 5367,34 руб. В 54 регионах России (72,9% от всех регионов) банковские вклады в среднем на одного жителя в 2003 году составили менее 5367,34 рубля.

На основе таблиц построим графики, наглядно представляющие закономерность распределения анализируемой статистической совокупности.

 

Рис. 1.3. Полигон распределения регионов России по сумме банковских вкладов на рублевых счетах в Сберегательном банке Российской Федерации в 2003 году.

Рис. 1.4. Гистограмма распределение регионов России по сумме банковских вкладов физических лиц на рублевых счетах в Сберегательном банке Российской Федерации в 2003 году

Рис. 1.5. Кумулята распределение регионов России по сумме банковских вкладов на рублевых счетах в Сберегательном банке Российской Федерации в 2003 году.

.

 

2. Характеристика центральной  тенденции распределения

 

Среднее значение признаков совокупности, мода и медиана характеризуют центральную тенденцию распределения, указывают тот уровень признака, который является типичным, характерным для данной совокупности. Использование того или иного показателя распределения зависит от типа исходных данных и цели исследования. Поскольку средняя величина рассчитывается на единицу совокупности, но с использованием всех индивидуальных значений признака, она является обобщённой характеристикой всей совокупности.

Средняя арифметическая простая:

 

,  (2.1)

где – значение признака у i-ой единицы совокупности; n – объём совокупности.

Мода:

 

,

(2.2)

где - нижняя граница модального интервала; - величина группировочного интервала; – частота модального интервала; / – частота интервала, предшествующего / следующего за модальным.

Медиана:

,  (2.3)

где – нижняя граница медианного интервала; – величина группировочного интервала; – сумма частот ( ); – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; – частота медианного интервала.

 

Таблица 2

Показатели центра распределения

Показатель центра распределения	Значение
Среднее значение	4606,365
Мода	Multiple
Медиана	3658,500

 

В среднем в регионах России в 2003 году на банковских вкладах физических лиц находилось 4606,365 рублей.

 

3. Оценка вариации изучаемого  признака

 

Вариация – различия у индивидуального значения признака изучаемой совокупности. Расчёт показателей центра сопровождается расчётом показателей вариации. Показатели вариации бывают:

• абсолютные (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение);
• относительные (коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации).

Размах вариации:

,    (3.1)

где и – максимальное и минимальное значение признака совокупности.

Дисперсия:

,   (3.2)

где – значение признака у i-ой единицы совокупности; – средняя арифметическая; – частота у i-ой единицы совокупности; – сумма частот ( ).

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

.    (3.3)

 

Коэффициент вариации:

.   (3.4)

Таблица 3

Показатели вариации

Показатели вариации	Значение
Размах вариации	15538,00
Дисперсия	14163878
Среднее квадратическое отклонение	3763,493
Коэффициент вариации	87,7%

 

Размах вариации, разность между максимальным и минимальным значениями совокупности, составляет 15538,00 единиц. Дисперсия содержательно не интерпретируется, однако является важнейшим показателем вариации, на основе которого рассчитывается ряд статистических показателей, в том числе и коэффициент вариации, в данном случае равный 87,7%. Коэффициент вариации оценивает степень количественной однородности изучаемой совокупности. В данном случае совокупность можно признать неоднородной, т.к. коэффициент вариации больше 33%.

В 2003 году в регионах России сумма банковских вкладов, приходящаяся в среднем на одного жителя отличалось от среднего по стране на 3763,49 рубдей

 

4. Характеристика структуры распределения

 

К показателям структуры, кроме медианы, также относят квартили, которые делят совокупность на четыре части, децили (10 частей) и прочие перцентили. Использование тех или иных характеристик зависит от цели исследования и от объёма изучаемой совокупности (с увеличением объёма растёт число групп). В данной работе необходимо подсчитать только медиану и квартили.

Нижний квартиль:

. (4.1)

 

Верхний квартиль:

. (4.2)

 

Таблица 4

Показатели структуры распределения

Показатели структуры распределения	Значение
Нижний квартиль	1659,000
Медиана	3658,500
Верхний квартиль	5525,000