Статистическое оценивание параметров

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Ноября 2013 в 14:50, лабораторная работа

Описание работы

Задание:
Для заданных выборок случайных величин и :
Найти точечные оценки для математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений.
С вероятностью 0,95 построить доверительные интервалы для математических ожиданий, дисперсий, средних квадратических отклонений.
Проверить гипотезы:
о нормальном характере распределений случайных величин и ;
о равенстве математических ожиданий заданным величинам ;
о равенстве генеральных дисперсий заданным величинам ;

Содержание работы

Задание………………………………………………………………………...
3
1. Статистическое оценивание параметров………………………………...
4
2. Построение интервальных оценок………………………………………..
8
3. Проверка статистических гипотез………………………………………..
13
4.Корреляционный анализ…………………………………………………...
23
5. Регрессионный анализ…………………………………………………….
29

Скачать архив (202.31 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Файлы: 1 файл

РГЗ55.doc

— 842.00 Кб (Скачать файл)

Содержание

 

Задание………………………………………………………………………...

3

1. Статистическое оценивание параметров………………………………...

4

2. Построение интервальных оценок………………………………………..

8

3. Проверка статистических  гипотез………………………………………..

13

4.Корреляционный анализ…………………………………………………...

23

5. Регрессионный анализ…………………………………………………….

29


 

Задание:

Для заданных выборок  случайных величин  и :

  1. Найти точечные оценки для математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений.
  2. С вероятностью 0,95 построить доверительные интервалы для математических ожиданий, дисперсий, средних квадратических отклонений.
  3. Проверить гипотезы:
    1. о нормальном характере распределений случайных величин и ;
    2. о равенстве математических ожиданий заданным величинам ;
    3. о равенстве генеральных дисперсий заданным величинам ;
    4. о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей и ;
    5. о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей и .
  4. Рассчитать парный коэффициент корреляции между и ; проверить значимость парного коэффициента корреляции; построить доверительный интервал для парного коэффициента корреляции ( = 0,95).
  5. Оценить уравнение регрессии У на Х, построить линию регрессии.

Исходные данные для выполнения расчетно-графического задания варианта №2 представлены в Таблице 1.

 

Таблица 1 – Исходные данные выборок случайных величин  и .

 

№

x

40

80

60

70

36

92

42

54

88

44

68

62

68

56

78

30

36

52

46

38

1

y

100

112

110

98

102

118

124

98

120

110

121

114

116

100

104

108

106

124

122

120


 

, , , . 
Задание 1

Найти точечные оценки для  математических ожиданий, дисперсий  и средних квадратических отклонений.

 

Основные теоретические  моменты: Выборочной точечной оценкой вектора параметра называют некоторую вектор-функцию , значение компонент которой принимают за наилучшее приближение в данных условиях к значениям компонент вектора параметров генеральной совокупности.

Числовые характеристики генеральной  совокупности возьмем  в качестве оценок:

  1. Выборочный начальный момент К-ого порядка(4):

                                                                                                      (4)

где     – выборочный начальный момент К-ого порядка;

           – объем выборки;

          – случайная выборка из генеральной совокупности.

Точечной оценкой математического  ожидания называют выборочную среднюю, т.е. выборочный начальный момент 1-ого  порядка: .

Значение выборочной средней(5):

                                                                                                               (5)

где     – среднее арифметическое выборки;

           – объем выборки;

           – середина интервала интервально вариационного ряда;

           – частота.

  1. Выборочный центральный момент К-ого порядка(6):

                                                                                   (6)

где     – выборочный центральный момент К-ого порядка;

           – объем выборки;

          – случайная выборка из генеральной совокупности;

          – значение выборочной средней.

Точечной оценкой генеральной  дисперсии называют выборочную дисперсию, т.е. центральный момент второго  порядка.

Значение выборочной дисперсии(7):

                                                                                               (7)

где     – дисперсия выборки;

           – среднее арифметическое выборки;

           – объем выборки;

           – середина интервала интервально вариационного ряда;

           – частота.

  1. Выборочное среднеквадратическое отклонение(8):

                                                                                                    (8)

где      – выборочное среднеквадратическое отклонение;

            – дисперсия выборки.

  1. Выборочный коэффициент ассиметрии(9):

                                                                                                     (9)

где     – выборочный коэффициент ассиметрии;

          – выборочный центральный момент 3-ого порядка;

          – куб среднеквадратического отклонения.

Значение выборочной ассиметрии(10):

                                                                                      (10)

  1. Выборочный эксцесс(11):

                                                                                             (11)

где     – выборочный эксцесс;

          – выборочный центральный момент 4-ого порядка;

          – 4-ая степень среднеквадратического отклонения.

  1. Медиана – середина ранжированного ряда(12):

                                                                           (12)

где      – медиана;

            – нижняя граница медианного интервала;

            - величина медианного интервала;

            – сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному;

            – частота медианного интервала.

  1. Мода – наиболее часто встречающееся значение признака(13):

                                                    (13)

где       - мода;

            – нижняя граница модального интервала;

            - величина модального интервала;

            – частота модального интервала;

            – частота интервала, предшествующего модальному;

            – частота интервала, следующего за модальным;

 

Решение:

Точечной оценкой математического  ожидания называют выборочную среднюю, т.е. выборочный начальный момент 1-ого  порядка: , для расчета воспользуемся формулой 5.

= (40 + 80 + 60 + 70 + 36 + 92 + 42 + 54 + 88 + 44 + 68 + 62 + 68 + 56 + 78 + 30 + 36 + 52 + 46 + 38) / 20 = 1140 / 20 = 57

= (100 + 112 + 110 + 98 + 102 + 118 + 124 + 98 + 120 + 110 +121 + 114 +116 +100 + 104 + 108 + 106 + 124 + 122 + 120) / 20 = 111,35

Точечной оценкой генеральной  дисперсии называют выборочную дисперсию, т.е. центральный момент второго  порядка, для расчета воспользуемся  формулой 7.

= ((40 – 57)2 + (80 – 57)2 + (60 – 57)2 + (70 – 57)2 + (36 – 57)2 + (92 – 57)2 + (42 – 57)2 + (54 – 57)2 + (88 – 57)2 + (44 – 57)2 + (68 – 57)2 + (62 – 57)2 + (68 – 57)2 + (56 – 57)2 + (78 – 57)2 + (30 – 57)2 + (36 – 57)2 + (52 – 57)2 + (46 – 57)2 + (38 – 57)2) / 20 = 6412 / 20 = 320,6

= ((100 – 111,35)2 + (112 – 111,35)2 + (110 – 111,35)2 + (98 – 111,35)2 + (102 – 111,35)2 + (118 – 111,35)2 + (124 – 111,35)2 + (98 – 111,35)2 + (120 – 111,35)2 + (110 – 111,35)2 + (121 – 111,35)2 + (114 – 111,35)2 + (116 – 111,35)2 + (100 – 111,35)2 + (104 – 111,35)2 + (108 – 111,35)2 + (106 – 111,35)2 + (124 – 111,35)2 + (122 – 111,35)2 + (120 – 111,35)2) / 20 = 77,4

Для расчета среднеквадратического  отклонения воспользуемся формулой 8.

= 320,61/2 = 17,9

= 77,41/2 = 8,8

Задание 2

С вероятностью 0,95 построить  доверительные интервалы для  математических ожиданий, дисперсий, средних  квадратических отклонений.

 

Основные теоретические  моменты: Доверительным интервалом для оцениваемого параметра будем называть промежуток , который задан доверительной вероятностью , содержит оцениваемый параметр внутри себя, т.е. .

Для построения доверительного интервала строится статистика, исходя из следующих соображений:

  1. Закон распределения этой статистики не должен содержать оцениваемый параметр;
  2. Закон распределения описывается одним из стандартных затабулированных распределений (стандартным нормальным, Пирсона, Фишера и Снедекора, Стьюдента).
  3. В выражении самой статистики удовлетворяющей первым двум условиям оцениваемый параметр и его выборочная оценка участвуют в комбинации разности или отношения.

 

Доверительный интервал для математического ожидания при  неизвестной дисперсии: , где - неизвестны.

По случайной выборке  определены выборочное среднее арифметическое и выборочная дисперсия :

  1. ;

По апостериорной выборке  определены средняя арифметическая и дисперсия выборки:

  1. .

Требуется с вероятностью построить доверительный интервал для математического ожидания. Для этого строится статистика Т: .

Для случайной величины Т, имеющей закон распределения Стьюдента затабулированны значения функции ,

Свойства:

  1. St (- x) = 2 – St(x)
  2. St (+ ∞) = 0
  3. St (0) = 1
  4. St (- ∞) = 2
  5. P (x1 < x < x2) = ½(St (x1) – St (x2))

Задавшись доверительной вероятностью найдем из уравнения.

Тогда:

.

Дельта находим по таблице Стьюдента по уровню значимости и по числу свободы n – 1.

,

После ряда преобразований получаем:

                                               (14)

Для реализации формула выглядит следующим  образом:

                                                 (15)

 

Доверительный интервал для дисперсии.

 – априорная выборка объема n, которая извлечена из генеральной совокупности .

По случайной выборке  найдена выборочная дисперсия  , требуется с доверительной вероятностью построить доверительный интервал для дисперсии.

Строится статистика :

Построим доверительный  интервал для дисперсии:

Для случайной выборки  имеющей распределение Пирсона  затабулированы значения вероятности того, что величина превысит некоторое заданное неотрицательное число x0.

Свойства функции Пирсона Рi.

    1. Рi (0) = 1
    2. Рi.(- ∞) = 0

Информация о работе Статистическое оценивание параметров