Статистическое оценивание параметров

                                                                            (16)

                                                                                         (17)

 и  подлежащие определению величины.

 

Решение:

Для построения доверительного интервала  для математического ожидания при  неизвестной дисперсии воспользуемся  формулой 15, рассчитав перед этим параметр .

=

Интервал для математического ожидания реализации случайной выборки составляет:

Интервал для математического  ожидания реализации случайной выборки составляет:

Для построения доверительного интервала  для дисперсии воспользуемся формулой 16, рассчитав перед этим параметры и .

Интервал для дисперсии  реализации случайной выборки составляет:

Интервал для дисперсии  реализации случайной выборки составляет:

Для построения доверительного интервала для дисперсии воспользуемся формулой 17, рассчитав перед этим параметры и

Интервал для среднего квадратического отклонения реализации случайной выборки составляет:

Интервал для среднего квадратического отклонения реализации случайной выборки составляет:

 

Задание 3

Проверить гипотезы:

3.1 о нормальном характере распределений  случайных величин  и ;

3.2 о равенстве математических  ожиданий заданным величинам  ;

3.3 о равенстве генеральных дисперсий  заданным величинам  ;

3.4 о равенстве дисперсий двух  генеральных совокупностей  и ;

3.5 о равенстве математических  ожиданий двух генеральных совокупностей и .

 

Основные теоретические  моменты: Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения генеральной совокупности.

Подлежащую определению  гипотезу будем называть основной или  нулевой Н₀, конкурирующей или альтернативной гипотезой Н₁ будем называть гипотезу, противоположную нулевой.

Проверка гипотезы о характере распределения случайных  величин

Пусть – это случайная величина с неизвестным законом распределения в виде функции распределения или плотности распределения .

 – случайная априорная  выборка с взаимонезависимыми и одинаково распределенными компонентами; – это реализация случайной выборки, на основе которой получены эмпирическая функция распределения или эмпирическая плотность распределения.

 – предполагаемая функция распределения генеральной совокупности; – предполагаемая плотность распределения генеральной совокупности.

Требуется выяснить согласуется  ли гипотеза Н₀ :

                                                                             Н₀ :

с полученными экспериментальными данными  или не согласуется.

Существуют различные  способы определения расхождения  или напротив соответствия гипотез, но рассмотрим и применим к решению поставленной задачи критерий согласия Пирсона.

Пусть – случайная выборка из генеральной совокупности , – реализация случайной выборки, на основе которой построен либо дискретный, либо интервальный вариационный ряд.

На основе гистограммы  или полигона выдвигается о характере  распределения генеральной совокупности.

Требуется проверить  гипотезу:

Н₀ : ;             Н₀ :

          Н₁ :              Н₁ :

Строится статистика :

Статистика распределения по закону Пирсона с l – r – 1 степенями свободы.

Вероятность попадания исследуемой случайной величины в случае нормального закона распределения в интервал:

Для проверки строится двусторонняя критическая область.

, соответственно:

Если  или , то Н₀ – отвергается.

Проверка  гипотезы о значении генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

Пусть – случайная выборка из генеральной совокупности , которая распределена по нормальному закону , причем и неизвестны. По случайной выборке найдены выборочное среднее арифметическое и выборочная дисперсия, по реализации случайной выборки – среднее арифметическое выборки и дисперсия выборки:       

Требуется проверить  гипотезы Н₀ :

                                                      Н₁ :

Для проверки гипотезы строится статистика :

Эта статистика распределена по закону Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Если m₁ > m₀ , то строится правосторонняя критическая область:

;

Если t > t_кр , то Н₀ – отвергается.

Если m₁ < m₀ , то строится левосторонняя критическая область:

-

Если t < t_кр , то Н₀ – отвергается.

Если альтернативная гипотеза состоит в том, что Н₁ : Н₁ : , то строится двусторонняя критическая область:

, соответственно:

-

Если t > t_кр1 , или t < t_кр2 , то Н₀ – отвергается.

Поверка гипотезы о  значении дисперсии генеральной  совокупности.

Пусть из генеральной совокупности извлечена случайная выборка . По выборке найдены: и , – реализация случайной выборки.

По реализации найдены: и ,

Требуется проверить гипотезы Н₀ :

                                                      Н₁ :

                                                            

 и  – это предполагаемые значения дисперсии. Для проверки гипотезы строится статистика :

, которая распределена по  закону Пирсона с n-1 степенями свободы.

Если  , то строится правосторонняя критическая область:

 

Если  , то Н₀ – отвергается.

Если  , то строится левосторонняя критическая область:

Если  , то Н₀ – отвергается.

Если  Н₁ : , то строится двусторонняя  критическая область:

, соответственно:

Если  или , то Н₀ – отвергается.

Проверка гипотезы о равенствах дисперсии в генеральной  совокупности.

Пусть ; , где и – случайные выборки из генеральных совокупностей и соответственно. и – реализация случайных выборок.

По выборкам найдены  выборочные оценки и , причем > .

Требуется проверить  гипотезы Н₀ :

                                                      Н₁ :

Строится статистика F:

, которая распределена по закону Фишера - Снедекора  с числом степеней свободы: ,

Для проверки гипотезы строится правосторонняя критическая область:

Если  , то Н₀ – отвергается.

Проверка гипотезы о равенствах генеральных средних 2-х генеральных совокупностей при неизвестных генеральных дисперсиях.      

Будем исходить из того, что  , но – неизвестна.

; – нормально распределенные генеральные совокупности с неизвестными дисперсиями и математическим ожиданием. и – случайные выборки из генеральных совокупностей и соответственно. и – реализация случайных выборок.

По выборкам найдены  выборочные оценки: , , , .

Требуется проверить  гипотезы Н₀ :

                                                      Н₁ :

Для проверки строится статистика t:

 – эта статистика распределена по закону Стьюдента с степенями свободы.

 

Решение:

3.1 Проверка гипотезы о нормальном характере распределения случайных величин .

Требуется проверить:

Н₀ : случайная величина имеет нормальный закон распределения

Н₁ : случайная величина имеет отличный от нормального закон распределения.

Для проверки строим статистику , которая в случае нормального закона распределения имеет закон распределения Пирсона с l – r – 1 степенями свободы.

Данные представим в  виде таблицы рассчитав предварительно по формуле Стерджесса количество интервалов и их частоту (количество интервалов – 5, так как 1 + 3,322 * Lg(20) = 5,3 ; шаг интервала – 12,4, так как (92_max – 30_min) / 5 = 12,4).

Таблица 2 – Данные, необходимые  для решения задачи.

№	Интервал	ni	Вер-ть (Рi)	Частота (nРi)	(ni-nРi)^2	(ni-nРi)2/nРi
1	30,0 – 42,4	6	0,1406	2,812	10,163	3,610
2	42,4 – 54,8	4	0,2461	4,922	10,189	0,999
3	54,8 – 67,2	3	0,2635	5,270
4	67,2 – 79,6	4	0,1805	3,610	3,291	0,635
5	79,6 – 92,0	3	0,0788	1,576
Итого	-	20	-	-	-	5,244

 

Таким образом:

Строим двустороннюю критическую область:

, Н₀ – принимается.

Проверка гипотезы о  нормальном характере распределения  случайных величин  .

Требуется проверить:

Н₀ : случайная величина имеет нормальный закон распределения

Н₁ : случайная величина имеет отличный от нормального закон распределения.

Для проверки строим статистику , которая в случае нормального закона распределения имеет закон распределения Пирсона с l – r – 1 степенями свободы.

Данные представим в  виде таблицы, рассчитав предварительно по формуле Стерджесса количество интервалов и их частоту (количество интервалов – 5 так как 1 + 3,322 * Lg(20) = 5,3 ; шаг интервала – 5.2, так как (124_max – 98_min) / 5 = 5.2).

Таблица 2 – Данные, необходимые для решения задачи.

№	Интервал	ni	Вер-ть (Рi)	Частота (nРi)	(ni-nРi)^2	(ni-nРi)2/nРi
1	98,0 – 103,2	5	0,1119	2,238	7,629	3,409
2	103,2 – 108,4	3	0,1907	3,814	6,391	0,749
3	108,4 – 113,6	3	0,2357	4,714
4	113,6 – 118,8	3	0,1997	3,994	6,503	1,008
5	118,8 – 124,0	6	0,1228	2,456
Итого	-	20	-	-	-	5,166

 

Таким образом:

Строим двустороннюю критическую область: