Вариационные ряды

Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак  заметно колеблется в различных  типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется  на нескольких машинах, среди которых  есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

 Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не  обеспечить репрезентативности выборки.

 Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а  «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

Подчеркнем, что на практике часто  применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные  выше способы.  

3.      Способы группировки статистических данных. Вариационные ряды.

3.1.  Дискретный вариационный ряд.

Обычно полученные наблюдаемые  данные представляют собой множество  расположенных в беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, трудно выявить какую-либо закономерность их варьирования (изменения). Для изучения закономерностей варьирования значений случайной величины опытные данные подвергают обработке. Рассмотрим пример. 

На телефонной станции проводились  наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1;4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4;2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Здесь число X является дискретной случайной величиной , а полученные о ней сведения представляют собой статистические (наблюдаемые) данные.

  Операция, заключающаяся  в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, т. е. наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания, называется ранжированием опытных данных.

После проведения операции ранжирования опытные данные группируют так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины будут одинаковы. Расположив приведенные выше данные в порядке неубывания и сгруппировав их, получают ранжированный ряд данных наблюдения

Из ряда чисел видно, что все 60 значений случайной величины разбиты на семь групп, в пределах каждой из которых все значения случайной величины одинаковы. Таким образом, имеется семь различных значений случайной величины: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7. Каждое такое значение обычно называют вариантом.

  Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых  данных, называется вариантом, а изменение  этого значения варьированием.

Варианты будем обозначать малыми буквами конца латинского алфавита с соответствующими порядковому номеру группы индексами.

Для каждой группы сгруппированного ряда данных можно подсчитать их численность, т.е. определить число, которое показывает, сколько раз встречается соответствующий вариант в ряде наблюдений. Такие числа называют частотой варианта.

  Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых  данных называется частотой или весом  соответствующего варианта и обозначается т_i , где i—индекс варианта.                  

В ряде случаев представляет практический интерес относительная  частота того или иного варианта, называемая частостью.

  Отношение частоты данного  варианта к общей сумме частот всех вариантов называется частостью  или долей этого варианта и  обозначается р_i , где i—индекс варианта, т.е.  

  

Нетрудно заметить, что  частость является статистической вероятностью появления варианта. Естественно  считать частость  выборочным аналогом (вычисленной по выборочным данным) вероятности р_i появления значения х_i, случайной величины X. Подсчитав частоты и частости для каждого варианта, наблюдаемые данные представляют в виде таблицы, которую называют дискретным вариационным рядом. В первой строке расположены- варианты , во второй- соответствующие частоты , в третьей- соответствующие частости.

  Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариантов х_i с соответствующими им частотами или частностями.

Для рассмотренного примера  ряд имеет вид:

xi	0	1	2	3	4	5	7
mi	8	17	16	10	6	2	1
	8/60	17/60	16/60	10/60	6/60	2/60	1/60

По данным дискретного  вариационного ряда строят  

 полигон частот или относительных  частот: ломаную, отрезки которой соединяют точки

Полигон относительных  частот  

 

 

3.2. Интервальный вариационный ряд.

Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то ранжирование и группировка наблюдаемых значений зачастую не позволяют выделить характерные черты варьирования ее значений. Это объясняется тем, что отдельные значения случайной величины могут как угодно мало отличаться друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения величины могут встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга.

Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует построить интервальный (вариационный) ряд распределения. Для построения такого ряда весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.

 Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная  совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.

Построение интервального вариационного  ряда рассмотрим на примере.

При измерении диаметра валиков  после шлифовки получены следующие результаты:

6,75; 6,77; 6,77; 6,73; 6,76; 6,74; 6,70; 6,75; 6,71; 6,72; 6,77; 6,79; 6,71; 6,78;

6,73; 6,70; 6,73; 6,77; 6,75; 6,74; 6,71; 6,70; 6,78; 6,76; 6,81; 6,69; 6,80; 6,80;

6,77; 6,68; 6,74; 6,70; 6,70; 6,74; 6,77; 6,83; 6,76; 6,76; 6,82; 6,77; 6,71; 6,74;

6,77; 6,75; 6,74; 6,75; 6,77; 6,72; 6,74; 6,80; 6,75; 6,80; 6,72; 6,78; 6,70; 6,75;

6,78; 6,78; 6,76; 6,77; 6,74; 6,74; 6,77; 6,73; 6,74; 6,77; 6.74; 6,75; 6,74; 6,76;

6,76; 6,74; 6,74; 6,74; 6,74; 6,76; 6,74; 6,72; 6,80; 6,76; 6,78; 6,73; 6,70; 6,76;

6,76; 6,77; 6,75; 6,78; 6,72; 6,76; 6,78; 6,68; 6,75; 6,73; 6,82; 6,73; 6,80; 6,81;

6,71; 6,82; 6,77; 6,80; 6,80; 6,70; 6,70; 6,82; 6,72; 6,69; 6,73; 6,76; 6,74; 6,77;

6,72; 6,76; 6,78; 6,78; 6,73; 6,76; 6,80; 6,76; 6,72; 6,76; 6,76; 6,70; 6,73; 6,75;

6,77; 6,77; 6,70; 6,81; 6,74; 6,73; 6,77; 6,74; 6,78; 6,69; 6,74; 6,71; 6,76; 6,76;

6,77; 6,70; 6,81; 6,74; 6,74; 6,77; 6,75; 6,80; 6,74; 6,76; 6,77; 6,77; 6,81; 6,75;

6,78; 6,73; 6,76; 6,76; 6,76; 6,77; 6,76; 6,80; 6,77; 6,74; 6,77; 6,72; 6,75; 6,76;

6,77; 6,81; 6,76; 6,76; 6,76; 6,80; 6,74; 6,80; 6,74; 6,73; 6,75; 6,77; 6,74; 6,76;

6,77; 6,77; 6,75; 6,76; 6,74; 6,82; 6,76; 6,73; 6,74; 6,75; 6,76; 6,72; 6,78; 6,72;

6,76; 6,77; 6,75; 6,78.

Для построения интервального ряда необходимо определить величину частичных интервалов. Считая, что все частичные интервалы имеют одну и ту же длину, для каждого интервала следует установить его верхнюю и нижнюю границы, а затем в соответствии с полученной упорядоченной совокупностью частичных интервалов сгруппировать результаты наблюдении. Длину частичного интервала h следует выбрать так, чтобы построенный ряд не был громоздким и в то же время позволял выявить характерные черты изменения значений случайной величины.

Просматривая результаты наблюдений, находим, что наибольшим значением случайной величины х _наиб является 6,83, а наименьшим  х _наим - 6,68. Найдем размах варьирования R. :

R=6,83-6,68=0,15.

Выберем число интервалов . Для того чтобы вариационный ряд  не был слишком громоздким, обычно число интервалов берут от 7 до 11. Положим предварительно v=7, тогда длина частичного интервала

За начало первого  интервала рекомендуется брать  величину

х_нач = х_наим - 0,5h.

В данном случае х_нач = 6,67. 

Конец последнего интервала  должен удовлетворять условию

 

Промежуточные интервалы получают прибавляя к концу предыдущего  интервала длину частичного интервала h (в рассматриваемом случае h=0,02).

Теперь, просматривая результаты наблюдений, определяем, сколько значений признака попало в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения случайной величины, большие или равные  нижней границе и меньшие верхней границы.

В таблице частота m_i , показывает, в скольких наблюдениях случайная величина приняла значения, принадлежащие тому или иному интервалу, причем нижний конец интервала входит в него, а верхний—нет. Такие частоты обычно называют интервальными, а их отношение к общему числу наблюдений—интервальными частостями.

При вычислении интервальных частостей  округление результатов следует  проводить таким образом, чтобы  общая сумма частостей была равна 1:

Для данного примера интервальный вариационный ряд имеет вид:

№	xi - xi+1	mi		mi/h	/h
1	6,67-6,69	2	0,01	100	0,5
2	6,69-6,71	15	0,075	750	3,75
3	6,71-6,73	17	0,085	850	4,25
4	6,73-6,75	44	0,22	2200	11
5	6,75-6,77	52	0,26	2600	13
6	6,77-6,79	44	0,22	2200	11
7	6,79-6,81	14	0,07	700	3,5
8	6,81-6,83	11	0,055	550	2,75
9	6,83-6,85	1	0,005	50	0,25
		200	1

По данным интервального ряда строят гистограмму частот или гистограмму  относительных частот:

 Ступенчатая фигура, состоящая  из прямоугольников, основания которых- частичные интервалы, высоты равны  отношению частоты к длине  частичного интервала( плотность частоты) (частости к длине частичного интервала (плотность частости)).Гистограмма частостей имеет вид:

Для гистограммы частот: площадь каждого прямоугольника равна частоте интервала, сумма площадей всех прямоугольников равна объему выборки.

Для гистограммы частостей: площадь  каждого прямоугольника равна частости интервала, сумма площадей всех прямоугольников  равна 1.

 Вариационные  ряды задают статистическое распределение выборки: соответствие между вариантами и частотами или частостями.  

4.      Выборочные аналоги интегральной и дифференциальной функций распределения

4.1.  Эмпирическая функция распределения.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного  признака X. Введем обозначения:

m_x- число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п- общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события     Х < х равна. m_x/n. Еслих изменяется, то изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота  есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

 Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х, т.е.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки  функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события    Х < х, а эмпирическая функция  определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события Х < х, т. е. эмпирическая функция стремится по вероятности к вероятности F (х) этого события. Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Эмпирическая функция  обладает всеми свойствами F(x):

1) ее значения принадлежат  отрезку [0, 1];

2) неубывающая;

3) если х_i  -наименьшая варианта, то  

если x _k - наибольшая варианта, то  

Итак, эмпирическая функция  распределения выборки служит для  оценки теоретической функции распределения  генеральной совокупности.