Вариационные ряды

Пример. Построить эмпирическую функцию  по данному распределению выборки:

xi	2	6	10
mi	12	18	30

Объем выборки n = 12+ 18+ 30 =60. Х_наим= 2, значит при Х £ 2,

Х<6 наблюдалось 12 раз, следовательно, при Х< 6

 .

Значение Х<10 наблюдалось 12+18= 30 раз, значит при Х<10

Так как х_наиб =10, то при Х ³ 10

Искомая эмпирическая функция имеет  вид:

График строится так же, как и график интегральной функции распределения.

Если результаты наблюдений представлены в виде интервального вариационного  ряда, то в качестве х принимают концы частичных интервалов и , пользуясь данным выше определением вычисляют значения эмпирической функции. Причем, при Х< х_нач

 ,

а при Х ³ х_кон   

 .

Для рассмотренного примера получим  таблицу:

х	6,67	6,69	6,71	6,73	6,75	6,77	6,79	6,81	6,83	6,85
	0	0,01	0,085	0,17	0,39	0,65	0,87	0,94	0,995	1

 

 

Так как таблица определяет функцию  не полностью, то при изображении графика доопределяем функцию, соединяя точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками. Графикэмпирической функции для интервального вариационного ряда есть непрерывная линия.

4.2. Выборочная дифференциальная функция.

Выборочным аналогом дифференциальной функции f(x) является функция

 , где

есть  частость попадания наблюдаемых значений СВХ в интервал [x, x + Dx), следовательно,

характеризует плотность  частости на этом интервале.

 - частость попадания наблюдаемых  значений СВХ в частичный интервал , длина которого h, тогда выборочная дифференциальная функция

 .

При х £ х_нач и  х ³ х_кон                                         

 .

При построении графика выборочной функции плотности в качестве х принимают середину каждого частичного интервала. Удобно совмещать на одной координатной плоскости гистограмму частостей с графиком выборочной плотности.

Для рассматриваемого примера гистограмма  частостей и график выборочной плотности имеют вид:  

 

 

 

 

 

3.

Числовые характеристики  
 
вариационных рядов 
 
 
Основная характеристика вариационного ряда – это средняя арифметическая, которая также называется выборочным средним.  
 
Для дискретного выборочного ряда средняя арифметическая равна 
 
 
. (1) 
 
 
Для интервального ряда 
 
 (2) 
 
 
В последней формуле за  принимают середину 1-го интервала. 
 
 
Свойства средней арифметической: 

1.  
   Если  , то  .
2.  
   Если все варианты умножить на одно и то же число, то средняя арифметическая умножается на то же число:

 
 
 
3) Средняя арифметическая отклонений  вариант от средней равна нулю. 
 
 
 
 
4) Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков: 
 
 
 
 
5) Если ряд состоит из нескольких групп, то общая средняя арифметическая равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются относительные объемы групп: 
 
 
 
где  — групповые средние, 
 
— объемы групп,  
 
— число групп. 
 
 
Показатели рассеивания (вариации) признака 
 
 
Показателем вариации является вариационный размах R: 
 
 
 
 
Более содержательными являются меры рассеивания вариант вокруг своих средних величин. 
 
 
^ Средним линейным отклонением вариационного ряда называется величина 
 
 
 
 
Чаще всего в статистических исследованиях мерой рассеивания служит выборочная дисперсия. 
 
 
^ Выборочной дисперсией называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариант от их выборочной средней: 
 
(3) 
 
 
Для несгруппированного ряда (m_i = 1) выборочная дисперсия равна 
 
 
 
Дисперсию  часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она (в отличие от дисперсии случайной величины ) находится по опытным или статистическим данным. 
 
Для практических вычислений   более удобной является следующая формула: 
 
 
 
 
Свойства выборочной дисперсии: 

1.  
   Дисперсия постоянной равна нулю.
2.  
   Если ко всем вариантам добавить постоянное число, то дисперсия не изменится.
3.  
   Если все варианты умножить на одно и то же число  , то дисперсия умножится на  .
4.  
   Правило сложения дисперсий:

 
 
Обозначим через  , количество различных вариант в i-й группе, через   — частоту j-й варианты в этой группе.  
 
Тогда i-я группа ряда записывается в виде  , при этом значение  повторяется   раз. Обозначим через  групповые средние арифметические: 
 
 
 
 
Групповые дисперсии   равны 
 
 
 
 
Ряд может состоять из нескольких групп наблюдений. 
 
Средняя арифметическая групповых дисперсий равна 
 
 
 
 
Межгрупповая дисперсия равна 
 
 
 
 
 
^ Правилом сложения дисперсий называется равенство 
 
 
 
Это равенство служит основой для дисперсионного анализа  
 
Мерой вариации признака является выборочное среднее квадратическое отклонение, которое определяется как корень из дисперсии: 
 
 (4) 
 
 
В статистическом анализе рассматривается также коэффициент вариации, равный процентному отношению выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней: 
 
 
 
 
^ Упрощенный способ вычисления  
 
средней арифметической   и выборочной дисперсии   
 
 
Введем новые варианты  , по формуле 
 
, (5) 
 
где C и h специально подобранные константы. 
 
Вычислив среднее арифметическое  и выборочную дисперсию   для вариант  , находим затем   и  : 
 
 (6) 
 
 
Формулы (5) и (6) дадут заметное упрощение расчетов, если: 
 
для интервального ряда в качестве h взять длину Δ интервала, а в качестве С — середину вариационного ряда. 
 
 
Пример 1. В табл. 1приведены данные об урожайности ржи на различных участках поля. 
 
Таблица 1

^ Урожай-ность ржи, ц/га	[9-12]	[12-15]	[15-18]	[18-21]	[21-24]	[24-27]
^ Доля участка в общей площади, %	6	12	33	22	19	8

 
 
Найти выборочную дисперсию, коэффициент вариации и размах вариации признака X, обозначающего «урожайность ржи». 
 
Решение. Выборочное среднее по формуле (2) равно 
 
 
 
^ Комментарий: (9 +12)/2 =10,5 
 
По формуле (3) вычислим выборочную дисперсию: 
 
 
 
 
Тогда S =  =3,9 и коэффициент вариации по формуле (4) равен 
 
 
 
Размах вариации 
 
R = 27 – 9 = 18 
 
 
Пример 2. Выполнение норм выработки рабочих характеризуется данными, приведенными в табл. 2. Найти средний процент выполнения норм выработки, дисперсию и коэффициент вариации. 
 
 
Таблица 2

Процент выполнения норм выработки, %	90-100	100-110	110-120	120-130	130-140
Число рабочих	10	160	100	60	20

 
 
Решение. Для упрощения расчетов введем новые варианты  , где С = 115, h = 10. Тогда   принимают значения   
 
Комментарий: (95 - 115)/10 = -2 
 
и  
 
 
 
 
Пример 3. В табл. 3 приведено распределение n = 50 рабочих по производительности труда X (единиц за смену), разделенных на две группы. Найти общие и групповые средние и проверить «правило сложения дисперсий». 
 
Таблица 3

	Прошедшие техническое обучение (группа 1)					Не прошедшие техническое обучение (группа 1)
	34	85	96	102	103	63	69	83	89	106
	5	2	11	8	4	2	6	8	3	1

 
 
Решение. Для вычисления средних и дисперсий введем новые варианты  . Тогда распределение U задается таблицей (табл. 4). 
 
Таблица 4

	-4,6	0,5	1,6	2,2	2,3	-1,7	-1,1	0,3	0,9	2,6
	5	2	11	8	4	2	6	8	3	1

 
 
 

 

 

4.