Переходные процессы в электрической цепи

Министерство образования российской федерации

грозненский государственный нефтяной технический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

курсовая работа

по дисциплине: «Основы теории цепей»

на тему: «Переходные процессы в электрической цепи»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент гр. СК-09 Татриев Джабраил

Проверил: преподаватель  Хасамбиев И.В.

 

 

 

 

Грозный, 2010г. 

Введение

При всех изменениях в электрической  цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней  возникают переходные процессы, которые  не могут протекать мгновенно, так  как невозможно мгновенное изменение  энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием  величины запасенной энергии в магнитном  поле катушки и электрическом  поле конденсатора ее значению для  нового состояния цепи.

При переходных процессах  могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С  другой стороны, переходные процессы находят  полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

 

Переходные процессы в электрической цепи

Переходные процессы не являются чем-то необычным и характерны не только для электрических цепей. Можно привести ряд примеров из разных областей физики и техники, где случаются такого рода явления.

Например, налитая в сосуд  горячая кода постепенно охлаждается и ее температура изменяется от начального значения до установившегося, равного температуре окружающей среды. Выведенный из состояния покоя маятник совершает затухающие колебания и, в конце концов, возвращается в исходное стационарное неподвижное состояние. При подключении электроизмерительного прибора его стрелка перед остановкой на соответствующем делении шкалы совершает вокруг этой точки шкалы несколько колебаний.

Установившийся  и переходный режим электрической  цепи

При анализе процессов  в электрических цепях приходится встречаться с двумя режимами работы: установившемся (стационарным) и переходным.

Установившимся режимом  электрической цепи, подключенной к  источнику постоянного напряжения (тока), называется режим, при котором  токи и напряжения в отдельных  ветвях цепи неизменны во времени.

В электрической  цепи, подключенной к источнику переменного  тока, установившийся режим характеризуется  периодическим повторением мгновенных значений токов и напряжений в  ветвях. Во всех случаях работы цепей в установившихся режимах, которые теоретически могут продолжаться неограниченно долгое время, предполагается, что параметры воздействующего сигнала (напряжения или тока), а также структура цепи и параметры ее элементов не изменяются.

Токи и напряжения установившегося  режима зависят от вида внешнего воздействия  и от параметров электрической цели.

Переходным режимом (или переходным процессом) называется режим, возникающий в электрической цепи при переходе от одного стационарного состояния к другому, чем-либо отличающемуся от предыдущего, а сопутствующие этому режиму напряжения и токи — переходными напряжениями и токами. Изменение стационарного режима цепи может происходить в результате изменения внешних сигналов, в том числе включения или отключения источника внешнего воздействия, или может быть вызвано переключениями внутри самой цепи.

Любое изменение в электрической  цепи, приводящее к возникновению  переходного процесса называют коммутацией. В большинстве случаев теоретически допустимо считать, что коммутация осуществляется мгновенно, т.е. различные  переключения в цепи происходят без  затраты времени. Процесс коммутации на схемах условно показывается стрелкой возле выключателя.

Переходные процессы в  реальных цепях являются быстропротекающими. Их продолжительность составляет десятые, сотые, а часто и миллионные доли секунды. Сравнительно редко длительность этих процессов достигает единицы  секунды.

Естественно возникает вопрос, надо ли вообще принимать во внимание переходные режимы, имеющие столь  короткую длительность. Ответ может  быть дан только для каждого конкретного  случая, так как в различных  условиях роль их неодинакова. Особенно велико их значение в устройствах, предназначенных  для усиления, формирования и преобразования импульсных сигналов, когда длительность воздействующих на электрическую цепь сигналов соизмерима с продолжительностью переходных режимов.

Переходные процессы являются причиной искажения формы импульсов  при прохождении их через линейные цепи. Расчет и анализ устройств  автоматики, где происходит непрерывная смена состояния электрических цепей, немыслим без учета переходных режимов.

В ряде устройств возникновение  переходных процессов, в принципе, нежелательно и опасно. Расчет переходных режимов  в этих случаях позволяет определить возможные перенапряжения и увеличения токов, которые во много раз могут  превышать напряжения и токи стационарного  режима. Это особенно важно для  цепей со значительной индуктивностью или большой емкостью.

Причины возникновения  переходного процесса

Рассмотрим явления, возникающие  в электрических цепях при  переходе от одного установившегося  режима к другому.

Включим лампу накаливания  в последовательную цепь, содержащую резистор R1, выключатель В и источник постоянного напряжения Е. После замыкания выключателя лампа сразу же загорится, так как разогрев нити и нарастание яркости ее свечения на глаз оказываются незаметными. Можно условно считать, что в такой цепи ток стационарного режима, равный Iо=E/(R1+Rл), устанавливается практически мгновенно, где Rл — активное сопротивление накаленной нити лампы.

В линейных цепях, состоящих  из источников энергии и резисторов, переходные процессы, связанные с  изменением запасенной энергии, вообще не возникают.

 

 

Рис. 1. Схемы цепей для иллюстрации переходных процессов: а - цепь без реактивных элекментов, б - цепь с катушкой индуктивности, в - цепь с конденсатором.

 

Заменим резистор катушкой L, индуктивность которой достаточно велика. После замыкания выключателя  можно заметить, что нарастание яркости  свечения лампы происходит постепенно. Это свидетельствует о том, что  из-за наличия катушки ток в  цепи постепенно достигает своего установившегося  значения I'о=E/(rк+Rл), где rк— активное сопротивление обмотки катушки. Следующий эксперимент проведем с цепью, состоящей из источника постоянного напряжения, резисторов и конденсатора, параллельно которому подключим вольтметр (рис. 1,в). Если емкость конденсатора достаточно велика (несколько десятков микрофарад), а сопротивление каждого из резисторов R1 и R2 несколько сотен килоом, то после замыкания выключателя стрелка вольтметра начинает плавно отклоняться и только через несколько секунд устанавливается на соответствующем делении шкалы.

Следовательно, напряжение на конденсаторе, а также и ток  в цепи устанавливаются в течение  относительно продолжительного промежутка времени (инерционностью самого измерительного прибора в данном случае можно  пренебречь).

Что же препятствует мгновенному  установлению стационарного режима в цепях рис. 1,б, в и служит причиной возникновения переходного процесса?

Причиной этому являются элементы электрических цепей, способные  запасать энергию (так называемые реактивные элементы): катушка индуктивности (рис. 1,б) и конденсатор (рис. 1,в).

 

Возникновение переходных процессов связано с  особенностями изменения запасов  энергии в реактивных элементах  цепи. Количество энергии, накапливаемой в магнитном поле катушки с индуктивностью L, в которой протекает ток iL, выражается формулой: WL = 1/2 (LiL2)

Энергия, накапливаемая в  электрическом поле конденсатора емкостью С, заряженного до напряжения uC, равна: WC = 1/2 (CuC2)

Поскольку запас магнитной  энергии WL определяется током в катушке  iL, а электрической энергии WC — напряжением на конденсаторе uC, то во всех электрических цепях три любых коммутациях соблюдаются два основных положения: ток катушки и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком. Иногда эти положения формулируются иначе, а именно: потокосцепление катушки и заряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков.

Физически переходные режимы представляют собой процессы перехода энергетического состояния цепи от докоммутационного к послекоммутационному режиму. Каждому стационарному состоянию цепи, имеющей реактивные элементы, соответствует определенный запас энергии электрического и магнитного полей. Переход к новому стационарному режиму связан с нарастанием или убыванием энергии этих полей и сопровождается возникновением переходного процесса, который заканчивается, как только прекращается изменение запаса энергии. Если при при коммутации энергетическое состояние цепи не изменяется, то переходные процессы не возникают.

Переходные процессы наблюдаются  при коммутациях, когда изменяется стационарный режим электрической  цепи, имеющей элементы, способные  запасать энергию. Переходные процессы возникают при следующих операциях:

 

а) включении и выключении цепи,

б) коротком замыкании отдельных ветвей или элементов цепи,

в) отключении или подключении ветвей или элементов цепи и т. д.

Кроме того, переходные процессы возникают при воздействии на электрические цепи импульсных сигналов.

 

 

Методы расчёта  переходных процессов

Основные методы анализа  переходных процессов в линейных цепях:

Классический  метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.

Метод расчета с помощью  интеграла Дюамеля, используемый при  сложной форме кривой возмущающего воздействия.

Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

 

Классический  метод расчета

Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:

Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений  путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами:

(1.4)

где i(t) - искомая переменная; f(t) - правая часть, обусловленная возмущающими силами, т.е. функциями источников.

Напомним известные из курса математики сведения о решении  линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (1.4) определяется в виде суммы двух составляющих:

i(t) = i_св(t) + i_вын(t) .

(1.5)

Первая составляющая называется свободной или собственной и  определяется как общее решение  соответствующего однородного уравнения, которое получается из (1.4) путем  приравнивания нулю правой части  f(t) = 0:

(1.6)

Для определения общего решения (1.6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (1.6) путем замены k -той производной на pk . При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение

pⁿ + b_n-1 p^n-1 + ........... +b1p + b0 = 0

(1.7)

является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:

(1.8)

где Ak - постоянные интегрирования.

Решение (1.8) записано для  случая различных корней pk . Входящие в (1.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.

Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (1.6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т.е. источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным  запасом энергии. Физически очевидно, что для реальных цепей собственная  составляющая iсв(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного процесса.

Вторая составляющая iвын(t) решения (1.5) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.4) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть f(t) - константа, то и частное решение ищется в виде константы. Если правая часть является гармонической функцией с определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и начальную фазу.

Таким образом, вынужденная  составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t ®Ґ искомая переменная i(t) ® iвын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации

i_вын(t) = i_уст(t) (1.9)

Необходимо отметить, что  определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более  сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.

В заключении приведем рекомендуемый  порядок расчета переходных процессов  классическим методом.

1. Определить независимые  начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.

 

2. Для цепи после коммутации  составить систему уравнений  Кирхгофа с использованием уравнений  для элементов.

3. Полученную систему  разрешить относительно искомой  переменной. При этом получится  одно дифференциальное уравнение  n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.