Расчёт электрических фильтров

 

 

Федеральное агентство связи

 

Сибирский Государственный Университет  Телекоммуникаций и Информатики

 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

 

                                 

                                 Курсовая работа

          По дисциплине: теория электрических цепей

                                  

                   Расчёт электрических фильтров

 

 

 

 

Выполнил: ххххххх

Группа: ххххххх

Вариант:_24_____________

    

 

 

 

Проверил: ___________________

 

 

 

 

 

 

 

 

                                           

 

                                      

                                      Новосибирск, 2012_ г

 

Содержание.

 

Введение...............................................................................................................3

Техническое задание…………………………………………………………...4

 

Расчёт полосового LC-фильтра  

 

1. Расчет амплитудного  спектра радиоимпульсов………………………5

2. Формирование требований к полосовому фильтру………………......9

3. Формирование передаточной  функции НЧ-прототипа……………...10

4. Реализация LC-прототипа……………………………………………..12

5. Реализация пассивного полосового фильтра………………………....14

 

 

 

Расчёт активного  полосового фильтра 

 

6. Расчет полюсов ARC-фильтра…………………………………………16

7. Формирование передаточной функции………………………………..17

8. Расчет элементов схемы фильтра………………………………………18

 

9.  Проверка результатов  расчёта………...…………………………………….20

 

Заключение..…………………………………………………………………….25

 

Литература...…………………………………………………………………….25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Электрические фильтры  – это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ). Между этими полосами находится переходная область.

Обычно выделяют следующие  четыре типа фильтра:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), пропускающий все частоты  ниже выбранного значения частоты и подавляющий высшие частоты

- фильтр верхних частот (ФВЧ), пропускающий все частоты  выше выбранного значения и  подавляющий нижние частоты

- режекторный или заграждающий  фильтр, подавляющий выбранную полосу  частот и пропускающий нижние и верхние частоты

- полосовой фильтр (ПФ), пропускающий выбранную полосу  частот  и подавляющий нижние и верхние частоты.

В соответствии с элементной базой можно выделить различные  типы фильтров. Пассивные фильтры, содержащие элементы L и C. Они носят название LC-фильтры.

Требования микроминиатюризации  аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые  имеют большие габаритные размеры, особенно на низких частотах. Появились  активные RC-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов). 

Данная курсовая работа посвящена расчёту полосового фильтра  для выделения главного “лепестка  спектра” периодических радиоимпульсов. Фильтр рассчитывается в двух вариантах: по схеме пассивного LC-фильтра и по схеме активного RC-фильтра.

Фильтр аппроксимируется полиномом  Чебышева. В ходе работы осуществляется его реализация, рассчитывается ожидаемая  характеристика ослабления, а также  приводится его схема.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Техническое задание.

На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы (рис. 1) с параметрами: =50мкс – длительность импульсов,  = 150мкс – период следования; =10мкс  – период несущей частоты;

= 10В – амплитуда несущего колебания, имеющего форму гармонического ;

Полное ослабление , максимально допустимое ослабление .

Сопротивления генератора радиоимпульсов Rг и сопротивление нагрузки Rн пассивного фильтра одинаковы:

Требуется рассчитать двусторонне  нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эффективной части  спектра радиоимпульсов, лежащей  в полосе частот от до ( )  (главный «лепесток спектра»).

 

 

                Рис.1

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчёт полосового LC-фильтра.

1.Расчёт и построение графика амплитудного спектра радиоимпульсов.

 

Определим частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитаем и построим график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов.

Вначале находится несущая частота:

                                  (1.1)       

Затем рассчитывают частоты нулей  огибающей спектра. Они зависят  от длительности импульса:

 

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее  частоте , находится по формуле:

                               (1.2)    

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот.

Внутри огибающей находятся  спектральные составляющие или гармоники  спектра с частотами , где – номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

                                                           (1.3)

Учитывая, что

рассчитываем частоты  гармоник, лежащих только справа от :

 

Частоты гармоник, лежащих слева  от будут:

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся  по формуле:

                                              (1.4)

 

где – количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

Т.к. ,

 

Для

 

 

от величины угла вычитаем количество градусов, кратное периоду (360 )

                         

, т.к. совпадает с нулём огибающей  спектра.

, т.к. совпадает с нулём огибающей  спектра.

 

 

Так как скважность, т.е. отношение периода следования импульсов  Т_и к длительности импульсов t_и

                                                              (1.5)

равна целому числу, то в спектре отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности. Так как здесь q = 3, поэтому в спектре будут отсутствовать 3,6,9 и т.д. гармоники слева и справа от несущей частоты. Поэтому спектр имеет вид:

 

 

Рис. 2 График амплитудного спектра радиоимпульсов.

 

 

 

2.Формирование требований к полосовому фильтру.

Рис.3

Амплитуды спектральных составляющих на частотах 80 и 120 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 86,67  кГц до 113,33 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра fп1 и fп2 соответственно. Граничную частоту полосы непропускания fз2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (fн + 1/tи) = 120 кГц. Этой частотой является частота f4 = 126,67 кГц. Следовательно, fз2 = f4 = 126,67 кГц.

Найдем центральную частоту ПП:

                                (2.1)

Тогда граничная частота fз.1 полосы непропускания будет

                                                        (2.2)

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f2 и f4 спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной Апол – полного ослабления: ,

где     (2.3)

                                              (2.4)

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к  следующему:

, ;

, ;

, ;

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с  помощью полинома Чебышева.

 

 3. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

 

Находим граничные частоты  ПП и ПН НЧ-прототипа.

                       (3.1)

                       (3.2)

Для унификации расчетов вместо угловой частоты w вводят понятие нормированной частоты W = w/w , где w – нормирующая частота. Обычно в качестве w выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда

;                                  (3.3)

 Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 4.

 

Рис.4

 

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из формулы: 

 

А(Ω)=10lg[1+ε²ψ²(Ω)]                               (3.5) 

 

 

 при A = ∆A и Ω = 1, когда ψ(1) = Тm(1) = 1: 

 

 

  0,349311                            (3.6)

Порядок фильтра Чебышева находится также из формулы 3.5, но при A = A_min и Ω = Ω_з, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПП полином Чебышева Т_m(Ω) = ch(m archΩ), поэтому

    (3.7)

Расчетное значение m необходимо округлить в бóльшую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3. 

 

Пользуясь таблицей, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа: 

 

∆A, дБ	Порядок m=3
0,2 0,5 1,0 3,0	-0,814634;  -0,407317±j1,11701 -0,626457; -0,313228±j1,021928 -0,494171; -0,247085±j0,965999 -0,29862;  -0,14931±j0,903813

Таблица 1. Полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа.

 

 

        (3.8)

Полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р.

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде

,                    (3.9)

где          (3.10)

v(р) – полином Гурвица, который  можно записать через полюсы:

=

                                                                                                              (3.11)

Тогда подставляем 3.10 и 3.11 в 3.9

 

          

                                                                                                                (3.12) 

 

 

 4. Реализация LC-прототипа

Для получения схемы  НЧ-прототипа воспользуемся методом  Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 5) составляется выражение для входного сопротивления .

,                                   (4.1)

где полином                         (4.2)

Рис. 5

Подставляем формулы 3.11 и 4.2 в 4.1

 

                                   (4.3)

Формула 4.3 описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 5 фильтр, нагруженный на сопротивление Rн, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Zвх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, (4.3) преобразуется к виду:

  ,     (4.4)

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

В Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных  по частоте и по сопротивлению  элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа  первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (4.4) можно записать в виде цепной дроби:

                               (4.5)

По формуле 4.5 составляем схему (рис.6) согласно первой схеме Кауэра, где = 1,596; =1,097;

= 1,596; = =

 

 

                             

Рис.6

Денормируем элементы схемы  НЧ-прототипа, используя соотношения:

; ;    , где                               (4.6)

нормирующая частота,

 = 600Ом – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения (4.6) и значения и получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа: