Расчёт электрических фильтров

 

5. Реализация пассивного полосового фильтра.

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ-прототипа и частотами полосового фильтра существует соотношение:

                                                                (5.1)

где находится по формуле (2.1).

 

На основании (5.1) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами

 и  ,                                       (5.2)

 

а емкостное сопротивление  НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами

 и                                          (5.3)                                                           

 

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 6 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 7. Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (5.2) и (5.3).

 

;

 

;

                                    

 Рис.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет активного  полосового фильтра.

6. Расчет полюсов ARC-фильтра.

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что  и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра, полученными в разделах 1 3. Причем, не самой нормированной передаточной функцией (3.9), а только ее полюсами (3.8), и, согласно

 формуле пересчета полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:

 ,                    (6.1)

где (6.2)

полюсы передаточной функции  НЧ-прототипа:

 

найти полюсы денормированной  передаточной функции ПФ.

Согласно (6.1) одной паре комплексно-сопряженных полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов денормированной передаточной функции полосового фильтра. Одному вещественному полюсу  нормированной H(р) соответствует одна пара комплексно-сопряженных полюсов денормированной H(р) полосового фильтра. В результате общий порядок ПФ удваивается по сравнению с порядком НЧ-прототипа.

 

Значения всех полюсов в таблице 2.

Таблица 2. Полюса нормированной передаточной функции НЧ-прототипа.

Номер полюса	Значение полюса Н(р)
1,2	-52442 j622411
3,6	-30614 j714847
4,5	-21828 j543751

 

7. Формирование  передаточной функции.

 Передаточную функцию  ПФ удобно представлять произведением  сомножителей второго порядка H1(р), H2(р), H3(р) и т. д. Каждый из этих сомножителей реализуется в виде активного RC-звена второго порядка, а полученные звенья соединяются каскадно, образуя полную схему ПФ.

Они имеют вид:  

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет: 

   (7.1)

Коэффициенты в числителе  могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле:

, данные берём из (6.2), (3,6), (3.7)

 

Коэффициенты в знаменателе  находятся по формулам:   

                                                                        

где   – значение полюсов (таблица 2).

Например,

 

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 3. 

 

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
	ai1	bi1	bi0
1	149760	104884	390145616285
2	149760	43656	296141611585
3	149760	61228	511943450405

Таблица 3. Значение коэффициентов  

 

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (7.1) получим для: 

 

 

                                             (7.2)

 

8. Расчет элементов схемы фильтра.

 

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 7). 

 

Рис. 7 Простейшая схема ПФ на одном операционном усилителе. 

 

Если составить эквивалентную  схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рисунке 7, в виде:

            (8.1)

Из формулы видно, что  рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для  реализации функции Н(р) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1; R2; С3; С4; R5 ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах Н(р).

Для первого звена  ПФ берутся коэффициенты из первого  сомножителя

формулы (7.2): 

 

 

 

В системе пять неизвестных  и только три уравнения. Система  не решаема. Поэтому задаемся значениями С3 = С4 = 2 нФ.

 

R1 = 3338.7Ом = 3,34 кОм,  R5 = 9534,3Ом = 9,534 кОм,  R2 = 68,6Ом. 

 

Составим аналогичную систему для второго звена при тех же С3 = С4 = 2 нФ

и получим: 

 

R1 = 3338,7Ом = 3,34 кОм,  R5 = 22906Ом = 22,9 кОм,  R2 = 37,3Ом. 

 

Аналогично для третьего звена:  

 

R1 = 3338,7Ом = 3,34  кОм,  R5 = 16332Ом = 16,332 кОм, R2 = 30,2 Ом. 

 

Рассчитанные сопротивления  не соответствуют стандартным номиналам  резисторов. Поэтому для сопротивлений R1 и R5 в каждом звене берутся резисторы  с номиналом, ближайшим к рассчитанному  значению. Сопротивление R2 берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.        

 

 

 9. Проверка результатов расчета.

Проверка расчетов может  быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходных требованиям по ослаблению в ПП и в ПН.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (3.12) и  в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе  активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой  схемы фильтра (8.1). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет:

                                                           (9.1)

где значения каждого  сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений  звеньев фильтра. Итак, формула (9.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью в (8.1) производится замена переменной вида , в результате чего получают выражение:

 

Находится модуль в виде:

                          (9.2)

Зная  , легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

                                                                        (9.3)

где                                                                                (9.4)

Выполним расчет первого звена фильтра.

Из раздела 4.3 берем  значения элементов:

С3 =  С4 = 2 нФ, 

R1 = 3338,7Ом = 3,34 кОм,  R5 = 9534,3Ом = 9,5 кОм,  R2 = 68,6Ом.

 

Подставляем эти значения в (9.2)

 

На частоте границы  ПП , находим :

= 0,77

На частоте границы ПН находим :

= 0,46

 Кроме того находим и на частотах: и

,а также  на частоте

= 0,74; = 0,45; = 1,42

Затем рассчитаем для всего фильтра

 для каждой частоты.

Аналогичные расчеты выполняем для второго(С3 =  С4 = 2 нФ, R1 = 3338,7Ом = 3,34 кОм, ,  R5 = 22906Ом = 22,9 кОм,  R2 = 37,3Ом)

и третьего (С3 =  С4 = 2 нФ, R1 = 3338,7Ом = 3,34  кОм, R5 = 16332Ом = 16,33 кОм, R2 = 30,1Ом) звеньев. Ослабления рассчитываются по формулам (9.3) и (9.4). Все результаты сводятся в таблицу 4

 

Полученные значения занесем в таблицу 4.

 

 

 

 

 

f, кГц	fз1	fп1	f0	fп2	fз2
	77,55	86,67	99,11	113,33	126,67
H1(ω)	0,45	0,74	1,42	0,77	0,46
H2(ω)	1,16	3,43	0,98	0,5	0,35
H3(ω)	0,26	0,37	0,72	2,44	0,9
H(ω)	0,14	0,94	1,0	0,93	0,14
A1(ω)	6,93	2,61	-3,05	2,26	6,74
A2(ω)	-1,31	-10,71	0	6,02	9,12
A3(ω)	11,7	8,6	2,85	-7,78	0,92
A(ω)	17,32	0,5	-0,2	0,5	16,78

Таблица 4. Значения зависимости  А(ω) и Н(ω)

 

Анализируя табличные данные, видим, что зависимость ослабления от частоты у разных звеньев фильтра носит разный характер.

Рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах ( , ) совпадает.

 

При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается  операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.

Значение  наиболее сильно зависит от величины сопротивления R2, поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.

 

На рис. 8 приведена примерная кривая зависимости ослабления фильтра от частоты.

На рис. 9 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.  

сопротивления первого звена, сопротивления второго звена, сопротивления третьего звена.

 

Рис. 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения курсовой работы была рассчитана ожидаемая характеристика ослабления фильтра, осуществлена его реализация и приведена принципиальная схема. Рассчитанный фильтр удовлетворяет поставленным условиям.

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА 

 

1)    Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589с.

2)    Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 1998. – 444с.

3)    Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 1986. – 544с.

4)    Зааль Р. Справочник по расчёту фильтров.– М.: Радио и связь, 1983. – 752с.